資產價格序列分析中的隨機擾動探究

陳金林 張學謙

摘要：隨機擾動在資產價格序列分析中具有特別重要的作用，區分其表現形式和性質不管在理論上還是在實踐中都具有較大的意義。本文通過分析穩定的和非穩定的價格序列中隨機擾動的作用，發現其在不同狀態中的形式和性質各有特點。特別是，隨機擾動在隨機趨勢價格序列中具有的表現，使得隨機趨勢與確定性趨勢在圖形上很形似，但是統計性質非常不同。隨機擾動的作用在一定程度上影響了我們對隨機趨勢和確定性趨勢的有效區別。

Abstract： Random perturbations play a particularly important role in the analysis of asset price sequences. It is of great significance to distinguish their manifestations and properties， both in theory and in practice. This paper analyzes the effects of random perturbations in stable and unstable price series and finds that their forms and properties have different characteristics in different states. In particular， the performance of random perturbations in a series of stochastic trend prices makes the stochastic trend and the deterministic trend very similar in graphics， but the statistical properties are very different. The effect of random perturbations has affected our effective distinction between random and deterministic trends to a certain extent.

關鍵詞：隨機擾動;確定趨勢;隨機趨勢;短暫沖擊;持久影響

Key words： random perturbation;determined trend;random trend;short-term impact;lasting impact

中圖分類號：F01? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1006-4311（2019）36-0269-03

1? 引言和文獻綜述

自資產價格出現那一刻起，人們就沒有停止過對其研究，它是較早被人們進行實證分析的經濟變量之一。從已有的文獻看，一般是通過資產價格序列進行的。這種序列最顯著的特征有兩點：其一，與“時間”緊密相關，序列按照時間自然排序。其二，隨著時間的變化，價格序列相互之間可能存在相關性，展示出各種各樣的動態路徑。價格間可能存在的動態關系表明即期價格的變化，會對未來一期或者多期的變量本身或者其他變量產生影響。

分析價格序列的文獻非常多，通常用確定性模型來描述價格序列或者其收益率。有一個共同的特點是，在確定性模型后面引入隨機擾動，這也是幾乎有的回歸模型共有的。高鐵梅等（2016）認為，人們解釋隨機擾動的出現歸于以下幾個原因，主要是無論模型如何復雜，也不能將對因變量產生影響的所有因素都找到合適的解釋變量包含到模型中。同時，測量誤差也是隨機擾動項所包含的另外一個因素。因此，在實證研究中，利用統計數據準確度量經濟指標以完全表達經濟理論中定義的變量是很困難的。①這應該表達了大多數學者的看法，畢竟建立的模型不可能是完美的。李子奈和李鯤鵬（2009）指出，引入隨機擾動，并不是為了掩蓋確定性模型的不足之處。如果未被解釋的隨機擾動并不是真正的不能解釋的因素，模型就是不適當的。引入隨機因素后，對預期結果的描述從確切的表述轉化為可能性的描述，除非有占優證據，要不很難否定隨機模型。②這從模型本身的準確性方面指出了隨機擾動引入的必要性。

我們認為，在任何實證模型分析中引入隨機擾動是非常重要的。隨機擾動不是掩蓋模型不足的遮羞布，而是模型重要的組成部分。本文論述了隨機擾動在資產價格序列分析中具有特別重要的作用，發現區分其表現形式和性質不管在理論上還是在實踐中都具有重要意義。

2? 隨機擾動和價格序列模型

考慮到時間域T內價格變化的影響通常不是瞬間產生的，因此，對于穩定序列，我們用下面式（1）描述價格序列。（1）

我們對資產價格序列{yt}定義：被解釋變量yt是被解釋變量n期滯后值的函數。式中，f（·）用來表示任意的一般函數，？啄是常數，？著t是一個隨機擾動過程。

Cramer在1961年證明任何一個時間序列都可以分解為兩部分的疊加：其中一部分是由多項式決定的確定性趨勢部分;另一部分是平穩的零均值部分。因此我們可以理解回歸分析的本質在于，被解釋變量yt可以被分解為兩個部分：有規律的部分和隨機擾動部分。對于式（1）而言，yt的有規律的部分的均值是

式（2）本身并不是隨機的，因為它是一個數學期望值。

yt的隨機擾動部分是：？著t，其表達式設定為：

我們整理式（3），可以得到如下回歸模型：

被解釋變量yt可以用n個滯后量作為解釋變量的部分和隨機擾動部分？著t來解釋。

數值上由式（3）表明，yt和隨機擾動部分？著t只相差非隨機擾動部分即均值部分給定隨機項的期望值為：

即，給定yt的滯后值，隨機擾動部分的均值為0。

由于yt和？著t之間僅差一個均值（即一個非隨機的因素），則

就是說，yt和？著t具有相同的方差。因此，除了因為均值不同而引起位置不同之外，yt和？著t的概率密度是相同的。

如上所述，對一個資產價格序列，總存在式（1）這樣的模型描述它。雖然現階段我們可能找不到它，但是并不能否認其存在。由的非隨機性，隨機擾動項？著t是我們認識價格序列的關鍵變量。

3? 隨機擾動的形式和性質

人們通過研究，發現在時間域T內，價格序列的表現形式大致有兩種：一種情況，價格序列是平穩的。價格可能是常數，或者價格統計上是平穩的。一種情況，價格序列是非平穩的，顯示出隨時間增長的趨勢，可能具有確定性趨勢，或者具有隨機趨勢。

①價格序列平穩時，如果價格為常數c，表示在時間域T內不發生任何變化。隨機擾動項的均值為0，其方差也是0。任何沖擊或者新息都不會對價格產生影響。由于下列等式成立：

②如果價格序列在統計上是平穩的，根據式（1）則有下列等式成立。

就是說，序列的均值與隨機擾動項的均值只相差一個常數？滋。對平穩序列而言隨機擾動之間的協方差為0，就是隨機擾動項為有限方差。則

因此有

且{？著t}獨立同分布，

人們通常用下面的非齊次隨機一階差分方程來表示穩定的價格序列。

其中非齊次部分？啄+？著t由常數？啄和純隨機擾動過程？著t構成。給定初始值y0，再通過對隨機一階差分方程的逐次替代，在一段有限的、較長的時間后，我們得到下式

其中， {yt}與時間相關的成分消失了。因此有

因應用幾何級數的求和公式得到常數方差

同理可得

由上可以看出，隨機擾動是描述價格波動的最主要的因素，在穩定的價格序列的分析中有著舉足輕重的作用，并不是模型中可有可無或者任意引入的變量。

當式（1）描述的是平穩價格序列中的隨機擾動項的表現形式和特點時，集合{？著t}的數值之間沒有任何相關性，是一個純隨機擾動的、沒有任何記憶的序列，過去的行為對將來的擾動項的影響非常有限。它是我們進一步分析非平穩序列的基礎。

③當價格序列的數據生成過程為非平穩的確定性趨勢過程中時，式（1）由確定性趨勢

和平穩隨機擾動過程？著t組成。由于價格序列僅僅代表其隨機過程的一次實現，因此我們僅能分析處理一些特殊形式的非平穩過程。假設序列的均值是時間t的函數。{yt}由確定性時間趨勢t所主導，并主導均值的變化。均值不再為常數，而是和有時間有關的一個數值。式（1）可以變為

其中，ut是一個穩定的隨機擾動過程。根據式（5），我們得到

可知隨機擾動項是均值為0，有限方差為？滓2的穩定過程，并且{ut}非獨立同分布。由于該過程的方差為常數，因此其實現值圍繞確定性趨勢的幅度為有限值。隨機擾動項的沖擊只有暫時性效果，不會改變確定性趨勢的方向。

我們也可以設定為以下較為熟悉的趨勢穩定過程

其中，rt表示了時間序列{yt}中的確定性趨勢。隨機擾動項的表現形式、作用和性質相同。

④如果價格序列的生成過程為非穩定的隨機趨勢過程，式（1）可以變為如下形式

其中ut為穩定的隨機擾動過程。給定初始值y0，由式（7）對yt不斷向后迭代，可得

除開yt的一階矩與隨機擾動無關外，其二階矩為

在非穩定的隨機趨勢過程中，當≠0時，其均值與確定性趨勢的變化相同，均跟隨時間的變化而變化，不再為常數。不過它的非平穩性主要來自依賴于時間的方差和協方差。當？啄=0時，E[yt]=0，隨機趨勢過程是均值平穩的，但是其與平穩過程圍繞均值波動不同，由于隨機擾動項的作用的不同，非平穩過程基本不會出現均值的回歸。

同時，yt的表現受確定性趨勢（y0+？啄t）和隨機擾動趨勢∑ui這兩個非平穩成分的影響。在隨機擾動趨勢∑ui中，每個ui沖擊都將對yt的均值產生持久的影響。沖擊或新息是解釋價格序列中短期及其長期變化的一個顯著部分。

4? 結論

在不穩定的價格序列分析中，我們已經知道隨機擾動的表現形式和特點有很大的不同。在確定性趨勢中，隨機擾動所產生的沖擊或新息的影響是短暫的，對長期趨勢沒有影響。在隨機趨勢中，價格數據的生成過程從本質上來講是純隨機的，每個隨機擾動形成的沖擊或新息對價格序列產生持久的效應。在穩定的價格序列中，隨機擾動的作用是有限的，這和不穩定的具有確定趨勢中的隨機擾動的作用相似。

但是確定趨勢的價格序列和隨機趨勢的價格序列從圖形上看很相似，盡管都含有確定性的時間趨勢，但是它們有非常不同的統計性質，尤其隨機擾動的表現形式很不相同，在資產價格上的應用也不一樣，區分價格序列分析中的隨機擾動在理論上和實踐上都具有重要意義。

注釋：

①高鐵梅，等。計量經濟分析方法與建模：Eviews應用及實例（第3版）[M].北京：清華大學出版社，2016（69-70）。

②李子奈，李鯤鵬.關于計量經濟學模型隨機擾動項的討論[J].統計研究，2009（2）：63。

參考文獻：

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