切換數(shù)學語言，彰顯建模價值

江蘇蘇州工業(yè)園區(qū)青劍湖學校 袁 紅

數(shù)學建模是數(shù)學課程的核心能力，主要包含了數(shù)學模型的儲備、形成、應用和拓展等過程。數(shù)學語言的轉(zhuǎn)換就是在解決數(shù)學問題的過程中，不改變數(shù)學課程的基本屬性，通過信息形態(tài)的轉(zhuǎn)變，著力將需要解決的問題以數(shù)學的方式轉(zhuǎn)化，最終達到從煩瑣到簡單、從未知到已知、從陌生到熟悉的境界。如果學生在建模的過程中能夠精確且靈活地運用數(shù)學語言分析問題、解決問題，對于思維的深入化就有了更加深刻的體認。否則，學生對于數(shù)學問題將難以閱讀與理解，更無法進行思考與表達，核心素養(yǎng)的培養(yǎng)自然也就談不上了。因此，教師要在建模的過程中引導學生靈活地運用數(shù)學語言，在實踐過程中促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)不斷發(fā)展。

一、激活思維，在模型儲備中強化數(shù)學語言切換

在模型儲備階段，教師要根據(jù)教學內(nèi)容和目標的設定，創(chuàng)設適切的教學情境，讓學生以專業(yè)性的數(shù)學視角提煉出其中所蘊藏的數(shù)學問題，在數(shù)學情境之中激活學生內(nèi)在的知識和活動經(jīng)驗，從而迅速輸入認知信息并靈活地轉(zhuǎn)化成為數(shù)學語言，這就形成了相對明確的模型方向，為數(shù)學模型素養(yǎng)的建構(gòu)奠定了基礎。

例如，教學釘子板上的多邊形時，兩個相鄰之間的釘子為1厘米的距離，使用一根橡皮筋在釘子上任意圍繞一個多邊形，組織學生說說這個多邊形面積，學生們的方法各不相同，有的開始數(shù)橡皮筋所圈定的方格數(shù)，有的嘗試將圈定的不規(guī)則圖形拆解成兩個或者兩個以上的規(guī)則圖形，但有的學生卻不知所措，在教師直接給出答案之后，好一會才認識到教師答案的合理性。隨后，教師再次與學生用點陣圖進行比賽，學生只要畫出一個多邊形，教師就輕松地說出答案。事實上，教師運用了著名的皮克定理——即點陣中頂點在格點的多邊形面積計算模型。教師及時創(chuàng)設了比賽的情境，激發(fā)了學生內(nèi)在的探究性欲望，其實數(shù)格子或借助其他方式計算多邊形面積，就是在解讀圖形語言，并逐步將其轉(zhuǎn)化為符號化語言的過程。在這一過程中，學生先將實物所展示的圖形轉(zhuǎn)化為點陣圖，然后再演化成為符號性語言。其中，拆解分割的方式相對較慢，而且一部分小面積圖形不規(guī)則不能精確計算，因此探尋數(shù)學性語言并及時轉(zhuǎn)換方向，就成了當時情境下學生思維內(nèi)在的迫切需求。

在這一過程中，教師所利用的比賽情境激發(fā)了學生數(shù)學語言的轉(zhuǎn)換動力，不但讓他們首次感性認知了皮克定理，更激活了他們內(nèi)在原始的認識經(jīng)驗和活動經(jīng)驗，為后續(xù)數(shù)學語言的巧妙轉(zhuǎn)換奠定了基礎。

二、驗證假設，在模型建構(gòu)中強化數(shù)學語言切換

數(shù)學模型的儲備階段是假設和驗證的階段：假設就是在原始性經(jīng)驗基礎上大膽地提出自己的猜測或者設想；而驗證則是對自己或者他人提出的設想，通過舉例或者實驗等方式對其正確程度進行評判的過程。學生的思維歷程就是要在驗證的過程中演化成為模型。這一過程中數(shù)學性語言的切換就能夠有效地幫助學生在假設或者驗證的過程中進行正確的說理或者判斷。為此，教師就需要引領(lǐng)學生通過實驗操作、抽象概括等方式，經(jīng)歷鑄造數(shù)學模型“再創(chuàng)造”的過程。

例如，教學平行四邊形面積之前，教師出示一個底邊、斜邊和高分別為5厘米、4厘米和3厘米的平行四邊形，讓學生猜測它的面積，學生的答案不一而足，有的用5×4，有的用5×3，有的用4×3……教師組織學生用面積為1平方厘米的小方塊在這個平行四邊形中按序擺放，他們發(fā)現(xiàn)擺放20次就超出了面積，因此5×4的假設順勢被否定；而擺放12 次，卻不能鋪滿平行四邊形，因此4×3 的假設也是不正確的。那剩下的15個正方形是否正確呢？此時學生的興趣高漲，收集了15 個正方形并得出了面積相等的結(jié)論。在這一擺放的過程中，學生有了全新的發(fā)現(xiàn)，平行四邊形是可以轉(zhuǎn)化為長方形的，從而根據(jù)長方形和平行四邊形的對應關(guān)系，推理出平行四邊形的面積公式，進而形成了面積模型。

在假設過程中，學生將原本的圖形語言轉(zhuǎn)化為符號語言；驗證時，則通過觀察含有面積單位個數(shù)的方式將原本的圖形語言轉(zhuǎn)化為了新的圖形語言，自然地否定兩種假設結(jié)論。隨后，學生利用自己在操作實踐過程中的發(fā)現(xiàn)，將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形，更是一種典型圖形語言之間的相互切換……這樣的過程中，學生的數(shù)學語言不斷置換，最終將平行四邊形的面積計算公式鑄造成為固定的模型，建模素養(yǎng)也得到了有效地訓練。

三、解決問題，在模型應用中強化數(shù)學語言切換

數(shù)學學習的價值不在于知識的積累，而在于問題的解決，數(shù)學建模的意義就在于運用這種模型來解決數(shù)學問題，并發(fā)現(xiàn)全新的問題，在再思考、再解決的過程中獲取新知，甚至于可以自主構(gòu)建出全新的模型結(jié)構(gòu)，學生所獲取的就不再是純粹的知識積累，同時還得到了內(nèi)在能力的訓練。

例如，幫助學生構(gòu)建了梯形面積模型之后，教師為了達到鞏固的目的設置了這樣的題型：一塊梯形空地，上底為40 米，下底為80 米，高為50 米。在這塊空地上每種上一棵青菜，需要占據(jù)2平方分米的面積，那這塊空地可以栽種多少棵青菜？這是一道典型的運用模型解決問題的應用題，題目中文字語言清晰地描述了生活中遇到的問題，在閱讀的過程中學生就需要將文字問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，并借助于梯形的面積公式，通過模型結(jié)構(gòu)下的符號語言計算這塊梯形空地的面積，并根據(jù)每棵青菜的占地面積，最終得出可以栽種的青菜棵數(shù)。尤其要指出的是，這道題中教師并沒有簡單地讓學生利用模型來計算梯形的面積，而是借助栽種青菜的情境，讓梯形的面積模型有了解決問題的原始儲備，使得模型成為了解決實際問題的有效推手。

從中可以看出，數(shù)學模型絕不是割裂而零散的，而是彼此關(guān)聯(lián)的，甚至是可以轉(zhuǎn)化和運用的。正是在這種運用的過程中，梯形的面積模型有了更加深遠的意義，使得這一知識內(nèi)容更加系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化地貯存在學生的“經(jīng)驗倉庫”中。教師所設置的有層級的訓練對不同類別的數(shù)學語言進行了多種形式的轉(zhuǎn)化，學生的建模素養(yǎng)也在這樣的過程中得到了有效的歷練。

四、拓展訓練，在模型延伸中強化數(shù)學語言切換

所謂模型延伸就是在已經(jīng)建構(gòu)的模型中進行適度地改變和推進，從而能夠衍生出更加完善或者全新的模型。在學生初步建模之后，教師可以利用一些拓展性訓練，對原本的模型進行重塑，這不僅可以推動學生對已有模型的理解，而且能夠擴展學生的數(shù)學視野，讓學生從不同角度來理解并掌握數(shù)學的基本模型，進一步培養(yǎng)學生數(shù)學語言的轉(zhuǎn)換能力。

例如，學習間隔排列時，學生在簡單的實踐運用之后就得出了這樣的數(shù)學模型：“兩種物體排成一行，兩端物體相同時，兩端物體個數(shù)-中間物體個數(shù)=1”，隨后教師出示了這樣兩道延伸題：（1）曉軍將圓形和正方形一個個地排列成一行。如果圓形有5 個，那正方形最多有幾個，最少有幾個；（2）圓形的花圃周圍一共栽種柳樹75 棵，如果每隔兩棵柳樹就栽種一棵梧桐樹，可以栽種多少棵梧桐？針對第一個問題，學生在初步構(gòu)建出來的模型下，能夠形成一條直線上物體間隔排列的基本圖式，這是他們在靈活運用原有模型的基礎上形成全新模型的過程，需要將文字語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，隨后再裂變成為文字語言；而第二個問題，學生需要封閉圖形，用文字進行描述，然后再將語義轉(zhuǎn)化成為圖形語言，這一傾吐與內(nèi)化的過程，也正是在數(shù)學語言轉(zhuǎn)換的過程中形成全新模型的過程。

從這一案例就可以看出，學生運用原始性的模型解決問題的過程不僅是運用模型的過程，更是擴展并重塑模型的過程，學生能夠從更高的層面中審視自己原始的模型結(jié)構(gòu)，有效地促進了數(shù)學語言轉(zhuǎn)換和建模素養(yǎng)的不斷提升。

在數(shù)學建模的過程中能夠有效地對數(shù)學語言進行加工、轉(zhuǎn)換，不僅可以充分地感受到數(shù)學模型思想和模型建構(gòu)的價值意義，同時也為數(shù)學語言之間的切換提供了平臺，真正為學生數(shù)學核心能力的發(fā)展奠定基礎。