趣而有味 厚而有用
——“烙餅問(wèn)題”教學(xué)實(shí)踐與思考

安徽合肥市廬陽(yáng)區(qū)教研室 李玲玲

“烙餅問(wèn)題”是人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)上冊(cè)“數(shù)學(xué)廣角”的內(nèi)容。安排這一內(nèi)容主要是通過(guò)生活中烙餅這一簡(jiǎn)單事例，讓學(xué)生嘗試從優(yōu)化的角度在解決問(wèn)題的多種方案中尋找最優(yōu)方案，初步體會(huì)運(yùn)籌思想在實(shí)際生活中的應(yīng)用。優(yōu)化問(wèn)題是我們生活中經(jīng)常遇到的問(wèn)題，這節(jié)課顯而易見(jiàn)的目標(biāo)是要討論烙餅時(shí)怎樣操作最節(jié)省時(shí)間，通常的教學(xué)思路是先提出問(wèn)題，再通過(guò)動(dòng)手操作和交流探索去解決問(wèn)題，直至發(fā)現(xiàn)規(guī)律，最后建構(gòu)模型。但是，這樣的規(guī)劃思路突出的是發(fā)現(xiàn)規(guī)律和建構(gòu)模型，而帶來(lái)的后果則是數(shù)學(xué)味太濃，實(shí)踐味不足。烙餅這一問(wèn)題情境只是借以發(fā)現(xiàn)規(guī)律的跳板，而當(dāng)規(guī)律“水落石出”的時(shí)候，它就完成了使命，退居幕后了，留下的卻是干癟而抽象的數(shù)學(xué)規(guī)律和公式。然而，我們不要忘了，作為數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)的烙餅問(wèn)題應(yīng)該有它特殊的要求，在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中明確指出：“要讓學(xué)生經(jīng)歷有目的、有設(shè)計(jì)、有步驟的綜合與實(shí)踐活動(dòng)，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。”也就是說(shuō)積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)應(yīng)該是處在第一位的目標(biāo)，所以，在探究烙餅問(wèn)題的過(guò)程中，我們雖然要用數(shù)學(xué)的方法去研究，并最終用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言去表達(dá)，經(jīng)歷一個(gè)將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題數(shù)學(xué)化的過(guò)程，但是，這樣的過(guò)程始終沒(méi)有脫離生活經(jīng)驗(yàn)，始終與生活實(shí)際休戚相關(guān)，對(duì)于烙餅方法不能簡(jiǎn)單地訴求于最節(jié)省時(shí)間，而更要考慮最省事、最省力等生活實(shí)際習(xí)慣。這個(gè)過(guò)程是“運(yùn)籌思想”的領(lǐng)悟過(guò)程，更是優(yōu)化應(yīng)用的經(jīng)驗(yàn)積累過(guò)程。

基于以上考慮，筆者在設(shè)計(jì)這一課教學(xué)時(shí)，沒(méi)有把著力點(diǎn)放在抽象出數(shù)學(xué)規(guī)律，甚至建構(gòu)出數(shù)學(xué)公式上，而是還原它的生活厚度，著重體現(xiàn)如何讓學(xué)生真正感受到“運(yùn)籌思想”的價(jià)值所在，體會(huì)到數(shù)學(xué)有用，數(shù)學(xué)有味，數(shù)學(xué)有溫度。

一、妙趣橫生，熔鑄數(shù)學(xué)味與生活味

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)的、有趣的和富有挑戰(zhàn)性的。越是貼近生活實(shí)際的問(wèn)題，就越能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，所以問(wèn)題的現(xiàn)實(shí)性是激發(fā)興趣的基礎(chǔ)。但是，在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，如何保持興趣，讓學(xué)生始終能夠積極投入，參與其中呢？這就要靠問(wèn)題的挑戰(zhàn)性，要有探究的深度和廣度，引領(lǐng)學(xué)生深入其中，愈變愈奇，愈探愈妙，讓他們感受到發(fā)現(xiàn)的樂(lè)趣。所以，問(wèn)題的挑戰(zhàn)性和數(shù)學(xué)味是充滿(mǎn)妙趣的根本原因。

1.以生活所需和模擬操作突出生活味

要讓學(xué)生充滿(mǎn)興趣地參與到活動(dòng)中來(lái)，選擇恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題情境是關(guān)鍵，同時(shí)，這樣的問(wèn)題情境又能夠讓學(xué)生積極地動(dòng)手、動(dòng)腦，注重學(xué)生的實(shí)踐感受，體現(xiàn)學(xué)生的全程參與。

【片段一】

烙餅，你們見(jiàn)過(guò)嗎？

學(xué)校附近新開(kāi)了一家烙餅店，生意好得不得了。這不，人手不夠了實(shí)在忙不過(guò)來(lái)，店里需要請(qǐng)幾位烙餅小幫手。你們覺(jué)得這請(qǐng)的幫手該是什么樣的？（勤快、麻利、聰明……）

的確，老板和你們想的一樣。為了選到合適的幫手，老板就考了大家一個(gè)“烙餅問(wèn)題”，你們想試試嗎？

（呈現(xiàn)烙餅要求：每次最多只能烙兩張餅，兩面都要烙，每面3分鐘）

引導(dǎo)：請(qǐng)說(shuō)說(shuō)你對(duì)這幾句話(huà)的理解。

提問(wèn)：行，要求明確了，考核開(kāi)始。烙熟1張餅，需要幾分鐘？

操作：用圓片當(dāng)餅，動(dòng)手烙一烙。1-2-3，1-2-3，烙好了就立即舉手說(shuō)“完工”。

史寧中教授指出：“我們必須清楚，世界上很多東西是不可傳遞的，只能靠親身經(jīng)歷。”選擇學(xué)生熟悉的“烙餅店”招手腳麻利的小幫手為引入，是基于生活所需而產(chǎn)生的，真實(shí)而自然。為每個(gè)學(xué)生準(zhǔn)備學(xué)具“鍋”和“餅”，讓學(xué)生在“1-2-3”的烙餅聲中，動(dòng)手做，動(dòng)腦思。趣味盎然地操作體驗(yàn)，把靜態(tài)的知識(shí)轉(zhuǎn)化成活動(dòng)狀態(tài)，賦知識(shí)以“生命”，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)參與、主動(dòng)思考。

2.以數(shù)學(xué)符號(hào)和語(yǔ)言表達(dá)突出數(shù)學(xué)味

在問(wèn)題情境引領(lǐng)下，學(xué)生積極參與、動(dòng)手實(shí)踐，并將自己的發(fā)現(xiàn)用語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，在比較和分析過(guò)程中，抽象出數(shù)學(xué)符號(hào)，最終發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，從而經(jīng)歷一個(gè)數(shù)學(xué)化的過(guò)程。

【片段二】

（在發(fā)現(xiàn)2張餅和3張餅的烙法之后）

思考：如果烙4張、5張餅，或者更多的餅，怎樣烙最節(jié)省時(shí)間？（要求：不用學(xué)具，獨(dú)立思考，在練習(xí)本上畫(huà)畫(huà)寫(xiě)寫(xiě)，把你的方案用喜歡的方式表示出來(lái)。）

（1）雙數(shù)張餅

烙4張餅：交流得出烙4張餅都是轉(zhuǎn)化成2和2解決的。

（若有3+1，對(duì)比交流，沒(méi)有最好，只有最適合）

類(lèi)推：除了4張餅，你認(rèn)為還有幾張餅也能像這樣兩張兩張的同時(shí)烙？（雙數(shù)張餅）

小結(jié)：交流中引導(dǎo)小結(jié)出烙雙數(shù)張餅的最優(yōu)方案。

（2）單數(shù)張餅

思考：解決了雙數(shù)張餅的問(wèn)題，那單數(shù)張餅?zāi)兀?/p>

①5張餅

交流：交流中引導(dǎo)對(duì)“2+2+1”烙法評(píng)價(jià)：你們認(rèn)為這會(huì)是最節(jié)省時(shí)間的方案嗎？

強(qiáng)化：只要鍋里一次只烙1張餅，就肯定不省時(shí)

思考：5張餅，怎樣烙才最節(jié)省時(shí)間？（把5轉(zhuǎn)化2和3）。

小結(jié)：看來(lái)，烙餅的數(shù)量越來(lái)越多，我們只要利用已有經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行合理組合、合理安排就可以啦！

②7張餅

明確：7張餅，你打算怎么組合？

轉(zhuǎn)化為一個(gè)3和兩個(gè)2，這種方法最節(jié)省時(shí)間。

學(xué)生已經(jīng)能夠?qū)?張餅和3張餅的烙法遷移到4張、5張、7張餅之中，從而透過(guò)烙餅活動(dòng)的表象，發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)規(guī)律。并將餅數(shù)歸納為雙數(shù)和單數(shù)兩種，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的分類(lèi)思想，也是為了方便總結(jié)“運(yùn)籌思想”在烙餅問(wèn)題上的具體方法。用“2+2”和“2+3”這樣的數(shù)學(xué)的符號(hào)來(lái)表達(dá)烙餅方法，進(jìn)一步完成對(duì)“運(yùn)籌思想”的數(shù)學(xué)表達(dá)。

二、厚積薄發(fā)，體味實(shí)用性與廣泛性

通過(guò)烙餅問(wèn)題，并在一系列的探究實(shí)踐活動(dòng)中，最終要總結(jié)出的方法或規(guī)律是以數(shù)字加算式這樣簡(jiǎn)單而抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)總結(jié)概括的，這是數(shù)學(xué)“厚積薄發(fā)”的必然結(jié)果。但是，這樣的方法或規(guī)律要應(yīng)用到生活中去才能實(shí)現(xiàn)它的真正價(jià)值，從而讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)不僅有趣，而且有用。

1.從生活習(xí)慣體味有溫度的實(shí)用性

數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值并不是體現(xiàn)在解決一道道練習(xí)題上，而是體現(xiàn)在能夠解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，與生活息息相通，并且能夠根據(jù)生活的實(shí)際需要以及人們的生活習(xí)慣而加以靈活運(yùn)用。

【片段三】

（烙9張餅）

交流：方法多樣化。

對(duì)比：雖然兩種方法都要27分鐘，可是結(jié)合實(shí)際考慮，你們會(huì)選擇哪種方案？

（組織對(duì)“3+3+3”和“2+2+2+3”烙法進(jìn)行評(píng)價(jià)）

明確：9張餅，轉(zhuǎn)化一個(gè)3和三個(gè)2，這種方法既節(jié)省時(shí)間，又省事、省力。

在探索9張餅的烙餅方法時(shí)，出現(xiàn)了“3+3+3”和“2+2+2+3”兩種烙餅方法，雖然它們用時(shí)都是27分鐘，從省時(shí)的角度看，兩種方法并沒(méi)有區(qū)別。可是，從生活習(xí)慣的角度看，又存在著既要考慮“省時(shí)”，還要考慮“省事”“省力”等實(shí)際情況。如果僅從純數(shù)學(xué)的角度看，省時(shí)似乎是唯一的訴求，但是忽略了生活習(xí)慣和實(shí)際需求的省時(shí)未免過(guò)于僵化，因?yàn)橐彩チ藬?shù)學(xué)背后的生活厚度。而當(dāng)學(xué)生選擇“2+2+2+3”這一烙餅方法時(shí)，這樣的數(shù)字背后就蘊(yùn)含著更多的生活內(nèi)涵，也就充滿(mǎn)了生活的底蘊(yùn)，賦予了它鮮活的生命，還原了其應(yīng)有的溫度。

2.從引申拓展感受應(yīng)用的廣泛性

要讓學(xué)生感到數(shù)學(xué)有用，就必然要談到數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)，對(duì)此，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年級(jí)）》指出：“要有意識(shí)利用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象，解決現(xiàn)實(shí)世界中的問(wèn)題。”當(dāng)然，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與生活實(shí)際之間可能存在著距離，所以，要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)回歸生活，運(yùn)用數(shù)學(xué)的眼光去觀(guān)察周?chē)澜纾M量設(shè)計(jì)一些有生活味的問(wèn)題讓學(xué)生去解決。

【片段四】

（1）回顧我們的烙餅過(guò)程，我們是怎么解決這么多問(wèn)題的？（動(dòng)手動(dòng)腦；簡(jiǎn)單入手、轉(zhuǎn)化應(yīng)用、利用已有；合作交流……）

（2）你們覺(jué)得我們用了這么多的時(shí)間來(lái)研究烙餅問(wèn)題有什么用？真的只為了烙餅？（用數(shù)學(xué)的眼光觀(guān)察世界；用數(shù)學(xué)的思想和方法解決問(wèn)題）

3.生活回歸，應(yīng)用規(guī)律

問(wèn)題：老師辦公室只有2臺(tái)電腦可以上網(wǎng)，甲、乙、丙3位老師每人都要上網(wǎng)2次查資料，每次1小時(shí)，怎樣安排可使3人最快完成查資料的任務(wù)？時(shí)間是多少？

教師引導(dǎo)學(xué)生反思“研究烙餅問(wèn)題有什么用”是有意識(shí)地讓數(shù)學(xué)回歸生活，當(dāng)然，更有可能引起學(xué)生的聯(lián)想和類(lèi)推，并運(yùn)用今天所學(xué)的烙餅的優(yōu)化方法去解釋其他相關(guān)的生活問(wèn)題，如燒開(kāi)水等。不過(guò)，生活畢竟是瑣碎的、復(fù)雜的，要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)更多地應(yīng)該在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中完成，而不是解答一道道練習(xí)題。?