淺談數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

鄒宜軍

（江西省奉新縣赤岸初中，江西 宜春 330700）

數(shù)學(xué)是一門非常有用的科學(xué)。它具有比其他科學(xué)更高的抽象特征。為了有效地發(fā)展它，改進(jìn)它，應(yīng)用它或傳遞給學(xué)生，你需要掌握這門科學(xué)的發(fā)展規(guī)律，研究方法，發(fā)現(xiàn)和發(fā)明。徐立志教授是中國(guó)著名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)方法論的倡導(dǎo)者，對(duì)這門新學(xué)科有更準(zhǔn)確的定義：數(shù)學(xué)方法論主要是研究和討論數(shù)學(xué)發(fā)展規(guī)律，思維方法數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)和發(fā)現(xiàn)。研究發(fā)明和創(chuàng)新的規(guī)律。所謂的數(shù)學(xué)思維不僅是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的理解，而且是對(duì)理性層面的數(shù)學(xué)規(guī)律的匯編和理解。

數(shù)學(xué)思維方法是數(shù)學(xué)的本質(zhì)。它堅(jiān)持展示，開發(fā)和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的過程。它不僅是對(duì)一些數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)概念，定理，公式，規(guī)律等的基本理解，而且是學(xué)生熟練程度的形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)的標(biāo)志和數(shù)學(xué)思維方法的正確運(yùn)用可以培養(yǎng)學(xué)生的熟練程度。分析和解決問題，可以很好地反映數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，幫助學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)寫作。在當(dāng)前中國(guó)高中數(shù)學(xué)教育階段，數(shù)學(xué)方法論為教師提供了數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐理論指導(dǎo)。通過他的學(xué)習(xí)，教師能夠更好地運(yùn)用數(shù)學(xué)思維方法來促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和學(xué)習(xí)，并促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提高教學(xué)效率。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，與以前的高中數(shù)學(xué)教學(xué)相比，高中數(shù)學(xué)的難度相對(duì)較大。學(xué)生對(duì)這個(gè)主題沒有深刻的理解。有些學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)相對(duì)較差。即使他們提出了很多問題，他們?nèi)匀徊焕硐搿Ｉ踔恋搅恕罢務(wù)摳淖冾伾钡挠^點(diǎn)。對(duì)于高中生來說，數(shù)學(xué)教學(xué)不是一次性的。因此，掌握數(shù)學(xué)方法論對(duì)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)具有積極的指導(dǎo)意義。

一、回歸思考

返回方法是解決數(shù)學(xué)問題的一般方法。它是一種廣泛用于研究數(shù)學(xué)問題和解決數(shù)學(xué)問題的方法。它是高中數(shù)學(xué)的基本思想方法之一。回歸和諧原則應(yīng)遵循協(xié)調(diào)原則，簡(jiǎn)化原則，可視化原則和專業(yè)化原則。返回法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用主要有三個(gè)方面：未知是已知的，化學(xué)數(shù)是形式，實(shí)際問題是數(shù)學(xué)問題。使用return 方法學(xué)習(xí)新知識(shí)，使用返回原理來闡明知識(shí)結(jié)構(gòu)，并使用返回方法來指導(dǎo)解決問題。

轉(zhuǎn)換的本質(zhì)是用曲折的方式實(shí)現(xiàn)從未知到熟悉，從難以輕松，從復(fù)雜到簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)換。高中數(shù)學(xué)教科書幾乎無處不在地滲透著轉(zhuǎn)型和轉(zhuǎn)型的思想，例如未知的轉(zhuǎn)變；特別是整體轉(zhuǎn)型；復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單；高階轉(zhuǎn)變?yōu)榈碗A；多維一維變換等轉(zhuǎn)變思想的體現(xiàn)。

分析：有些方程未知數(shù)在根號(hào)里面，這類根號(hào)下含有未知數(shù)的方程，叫做無理方程。解無理方程，就是將方程兩邊同時(shí)平方或利用換元法，把無理方程化為有理方程來求解的。

二、功能和方程論

函數(shù)和方程的概念是最重要的數(shù)學(xué)思維類型，是高中數(shù)學(xué)解決的常用思維方法。大學(xué)入學(xué)考試的比例巨大，知識(shí)更全面，問題更多，應(yīng)用技巧更多。函數(shù)的思想很簡(jiǎn)單，即通過建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造中間函數(shù)，結(jié)合基本函數(shù)的圖像和屬性，來評(píng)估，轉(zhuǎn)換和解決要研究的問題，進(jìn)行評(píng)估。求解（包括）不等式，求解方程式并討論參數(shù)。問題的價(jià)值范圍；方程的思想是通過在方程模型中使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來解決與問題的定量關(guān)系。

例（1）已知關(guān)于x的方程x2-2cosx+a2=0有唯一解，求a的值；

分析：（1）構(gòu)造函數(shù)f(x)=x2-2cosx+a2，則問題轉(zhuǎn)化為求f(x)的零點(diǎn)唯一時(shí)的a。

解：（1）令f(x)=x2-2cosx+a2，x∈R∵f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函數(shù)。

∴f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，而題設(shè)方程f(x)=0由唯一解，從而此解必為x=0（否則必有另一解），∴f(0)=0-2+a2=0,解得a=±。

分析：有關(guān)不等式、方程及最值之類的問題，通過構(gòu)造函數(shù)關(guān)系式，借助函數(shù)的圖像與性質(zhì)，常可使問題簡(jiǎn)單得解。

三、數(shù)學(xué)模型的思想

所謂的數(shù)學(xué)模型是通過在數(shù)學(xué)語(yǔ)言和方法中抽象或模仿各種實(shí)際對(duì)象而形成的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。通過建立數(shù)學(xué)模型，將當(dāng)前的研究問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。通過研究和求解數(shù)學(xué)模型，可以解決原始的實(shí)際問題。該問題解決方法稱為數(shù)學(xué)模型方法。設(shè)置數(shù)學(xué)模型的方法在職業(yè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有廣泛的應(yīng)用。它也是一種數(shù)學(xué)思維方法，學(xué)生在解決問題時(shí)必須掌握。

例如，到2002年底，某一城市的人口約為100萬，人均面積為8平方米。計(jì)劃到2006年底人均住宅面積將達(dá)到10 平方米。如果城市控制年均人口增長(zhǎng)率為1%，那么就應(yīng)該實(shí)現(xiàn)。根據(jù)上面的計(jì)劃，城市至少每年應(yīng)該增加多少面積？（結(jié)果在10，000 平方米，保持2 位小數(shù)）

分析：根據(jù)問題的標(biāo)題，“過去四年居民區(qū)的年均增長(zhǎng)”和“平均年人口增長(zhǎng)率控制在1%”的條件，可以看出這是算術(shù)進(jìn)展和幾何級(jí)數(shù)的問題。根據(jù)問題的含義，模型假定并創(chuàng)建相應(yīng)的模型。其中一個(gè)是2002年底該市的第一個(gè)住宅區(qū)。住宅區(qū)的年均增長(zhǎng)率是公差系列；一個(gè)基于100 萬人，1.01 對(duì)于比率的幾何比率，兩者之間存在不等式關(guān)系。

解：由題意，設(shè)該城市每年至少增加的住房面積為d 萬平方米，從2002年起這個(gè)城市每年年底的住房面積組成一個(gè)以800 萬平方米為首項(xiàng)，d為公差的等差數(shù)列{an}，每年年底人口數(shù)組成一個(gè)以100 萬為首項(xiàng)，1.01為公比的等比數(shù)列{bn}。

建立模型：因?yàn)閍5=800+4d，b5=100×1.014，所以800+4d ≥100×1.014×10，

模型求解：解得d ≥60.15（萬平方米）

答：該城市每年平均至少新增住房60.15 萬平方米。

分析：通過對(duì)模型的計(jì)算結(jié)果60.15 萬平方米進(jìn)行分析檢驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)數(shù)據(jù)在實(shí)際情況下是有可能實(shí)現(xiàn)的。在數(shù)學(xué)建模的思想下，問題很容易就得到了解決。

數(shù)學(xué)思維方法是一些學(xué)科的靈魂。它反映在數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容中，并反映在問題解決過程中。它是將知識(shí)轉(zhuǎn)化為技能的橋梁。只有運(yùn)用數(shù)學(xué)思維方法，才能將數(shù)學(xué)的知識(shí)和技能轉(zhuǎn)化為分析和解決問題的能力。密切關(guān)注數(shù)學(xué)思維方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透，可以加深學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解，進(jìn)一步提高學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，優(yōu)化思維品質(zhì)，提高學(xué)生分析問題，解決問題，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力。