初中數學教學中數形結合思想的應用探究

黃金輝

（成都市龍泉驛區四川師大附屬第一實驗，四川 成都 610000）

本文以數學教學為切入點，分析數形結合思想的特點，從以數助形與以形助數等方面，探討初中數學教學中數形結合思想的應用策略，旨在為學生數學實踐能力與數學素養的提升予以參考。

一、數形結合思想的特點

基礎教育課程改革背景下，初中數學的教學標準有所提高，強調學生數學素養與綜合能力的培養。數形結合思想是數學中一種常用的思想，是指通過有效結合代數與幾何相關知識解決數學問題。初中階段，形象性、直觀性與雙向性是數形結合思想具有的特點，而利用圖形的形象性對隱藏在圖形中的數據的聯系進行揭示，以及使用代數闡述函數圖像的性質，是數形結合思想的兩種主要應用思路。

在初中階段數學問題解答過程中，根據數形結合思想，借助形象的圖形與相應數據對數學問題進行推導，利用圖形的直觀性與生動性等優點實現數學概念與圖像之間的轉化，綜合使用數量關系與圖形，從而幫助學生形成形象思維，提升初中生對數學問題的分析與解答能力。例如在二次函數的教學中，考慮到數形結合思想對學生理解數學知識的積極作用，數學教師依托具體的二次函數問題，引導學生應用數形結合思想進行相關問題的推導與解答，借助圖形反映二次函數圖像的特點，使用代數闡述二次函數圖像的性質，幫助學生理解二次函數的圖形的變化規律，以提升學生的數學解題能力。

二、初中數學教學中數形結合思想的應用策略

（一）以數助形

構建數形結合思想能夠幫助學生更加系統地認識數與形，深入了解數學問題。使用代數闡述函數圖像的性質是應用數形結合思想的一種思路，可以幫助初中學生理解比較抽象的數學概念，以數助形，解決幾何與函數的綜合性問題。初中學生在學習數學過程中使用數形結合思想的以數助形這一思路去解決相關數學問題，需要借助數將圖形補充完整，深入挖掘圖形中的更多信息，如圖形隱含的條件，充分利用幾何圖形中的有用信息，分析問題的本質，實現復雜數學問題的簡單化，借助幾何圖形找出相關數學問題的正確解題思路，利用代數解決有關函數圖像的問題，以提升學生解題的效率與正確率，夯實學生的數學基礎。

以函數問題的解答為例，“有邊長分別為1 與2 的兩個等邊三角形，最開始兩個等邊三角形的左邊相重合，大三角形固定不動，小三角形向右平移直至移出大三角形為止。設小三角形移動的距離為x，兩個三角形重疊部分的面積為y，請畫出y 關于x 的函數圖像。”

解題思路：在解答上述題目時，依據數形結合思想中的以數助形理念，結合題目給出的已知條件，學生可以先畫出兩個三角形以及小三角形移動的軌跡，在畫y 關于x 的圖像時表示出“x ＜1”時y 的圖像。根據題目給出的已知條件可知，在1 ＜x ≤2 時，重疊三角形的邊長為2-x 且高為，由此計算出兩個三角形重疊部分的面積為y=x2-x+，從而求出y 的函數解析式并畫出函數圖像。

利用數形結合思想的以數助形理念，革新傳統的解題思路，引導學生結合已知條件與所學的數學知識，將復雜的函數問題簡單化，系統整理函數問題的解題思路，從而幫助學生掌握這類數學問題的解題方法。

（二）以形助數

幾何與代數是初中數學的重點學習內容，初中數學教材對概念的表述比較抽象，而初中學生的數學基礎相對比較薄弱，對抽象數學知識的理解難度較大。從數學教學的實際情況來看，直觀生動的圖形符合初中學生的認知規律，也更容易理解。對于比較抽象的數學問題，學生在學習數學過程中利用直觀的圖形加以輔助，可以更準確地找出問題考察的數學知識點，將問題看得一清二楚，更快速地理清問題的解題思路，這也凸顯出數形結合思想的以形助數方法。學生在解決相關數學問題過程中，引入函數圖像與數軸等直觀的圖形，使用以形助數的方法，直觀呈現相關數以及數的變化，簡化解題過程，從而提升學生的解題效率。

以函數內容的學習為例，“已知二次函數y1=x2+bx+c 的圖像與一次函數y2=kx+m 的圖像相較于點A（-2，4），B（8，2），則能使x2+bx+c ＞kx+m成立的x 的取值范圍是多少？”

解析：在上述問題解答過程中，學生根據題目給出的已知條件，可以直接將A與B兩點帶入函數中解出b與c等系數，但這種解題思路比較傳統。學生可以運用以形助數的方法進行上述二次函數問題的解題，將復雜的問題簡單化。

解題思路：根據已知條件，學生可以先依據A 與B 兩點坐標畫出一次函數的圖像，使用數形結合思想的以形助數方法，理清解答上述二次函數的思路，再經過A 與B 兩點畫出二次函數的大致圖像。通過分析函數值y1 大于函數值y2 時圖像的樣子，得出y1 的圖像在y2 的上面這一結論，據此找出滿足題目要求的x 的取值范圍。借助以形助數的方法可以幫助學生將抽象的問題直觀化，使解題過程更加嚴謹周密，有助于提升學生的解題能力。

結束語：

新課改背景下，將數形結合思想滲透到初中數學教學中，優化傳統的數學教學設計，充分利用代數與幾何相結合的優勢，引導學生理解并掌握以數助形的理念與以形助數的方法，學習運用數形結合思想解決抽象且復雜的數學問題，簡化解題過程，保證學生解題效率與正確率的提升。