用正交變換法化二次型為標準形的簡潔計算方法

楊威　高淑萍

【摘要】用正交變換法化二次型為標準形問題是線性代數的重要知識點，其計算非常煩瑣.本文針對特殊二次型，給出了特征值快速求法、特征向量快速求法，并用待定系數法替換傳統的施密特法實現向量的正交化.熟練掌握這些方法后，解決此類問題的時間將大大減少，提高了學習效率.

【關鍵詞】二次型;特征值和特征向量;施密特正交化法

一、引 言

線性代數是高等學校理、工、農、經、管等專業的重要基礎課程，它不僅是數學課程的基礎，而且也是自然科學、工程技術和經濟管理等領域應用廣泛的數學工具.線性代數概念抽象且計算煩瑣，給剛入學的大學生帶來很大的學習壓力.本文針對特殊的二次型，給出了一個用正交變換法化二次型為標準形的簡潔計算方法.

用正交變換法化二次型為標準形問題考查了學生“求行列式”“解方程組”“求特征值特征向量”“矩陣相似對角化”及“二次型”等知識點，該問題貫穿了線性代數的所有知識，所以它成為線性代數的常考題型，甚至是必考題型.

六、結 論

本文通過三道例題介紹了三種簡潔的計算方法，需要注意以下問題.

第一，“特征值的快速求法”要求矩陣A的結構為：主對角線全為a，其余元素全為b.該方法能進一步推廣出“行列式的快速求法”.

第二，“特征向量快速求法”首先要求矩陣A是n階實對稱陣，其次要求矩陣A有一個n-1重特征值和一個1重特征值.該方法不需要任何計算，可以直接寫出答案.

第三，“待定系數正交化法”是求單個齊次線性方程正交基礎解系的一個方法，該方法與施密特法計算結果一致.因篇幅有限，本文只介紹了三元齊次方程組的情況.

當熟練掌握以上方法后，針對特殊二次型，即可快速解決“用正交變換法化二次型為標準形”問題，大大提高了學習效率.

【參考文獻】

[1]楊威.線性代數名師筆記[M].西安：西安電子科技大學出版社，2014：198-215.

[2]楊威.線性代數輔導講義[M].北京：電子工業出版社，2011：174-181.