矩陣對角化的案例教學

詹環　羅俊芝　李慧珍

【摘要】矩陣對角化在求解微分方程組、曲面的標準形以及動力系統中有著非常廣泛的應用.選取貼近生活的案例引入矩陣對角化的概念，引導學生將實際問題轉化為數學問題，建立并求解防御支出模型.采用探究式教學方法，可以激發學生的學習興趣，提高學生數學建模應用能力.

【關鍵詞】矩陣;對角化;案例

矩陣的對角化是矩陣運算的重要方法，它在電路網絡、振動理論及控制論等應用領域被廣泛地應用.當前矩陣對角化教學中存在的問題是教材中的矩陣對角化概念方法經過高度的抽象脫離了相似對角化產生的背景，學生容易感到枯燥、困難，不利于培養學生的探索精神.選取現實生活的熱點作為矩陣對角化案例，通過學生的自主思維探究討論達到拓展學生知識，培養學生解決問題能力的目的.

一、創設情境，引入案例

軍備競賽是指和平時期國家之間為了應對未來可能發生的戰爭在軍事裝備方面展開的質量和數量上的競賽，是一種預防式的軍事對抗.激烈軍備競賽必須選擇在必要的時候進行，沒有必要的激烈軍備競賽會延緩自身經濟的發展，一定程度上引發不必要的敵意.裁減軍備的行動必須是在有利于自身國家整體戰略的前提之下進行的，需要保留的力量要足以對潛在敵人形成足夠威懾又能夠通過時間作用轉移潛在敵人的矛頭，以換取自身的更大生存空間，防御支出模型可以為軍備競賽提供一定的參考依據.

例1 考慮甲、乙、丙之間的軍備競賽，防御支出率是指國家在時刻t的防御支出變化量.定義甲、乙、丙之間的防御支出與時間t（以年為單位）的關系分別為x1（t），x2（t），x3（t）.試建立防御支出模型.

分析 乙、丙軍備越大，出于安全的考慮，甲的防御支出增加得越快，則國家的防御支出的變化量與其他國家的防御支出成正比.其次，在一定的財政收入下，軍費增加會擠占其他產業的需求，甲的防御支出越多，經濟對軍備的制約越大，軍費的增加變慢，所以國家的防御支出率與已支出的防御費用成反比，防御支出模型為一個常系數微分方程組.

四、小 結

矩陣對角化不僅可以簡化矩陣運算，化二次型為標準形，還可以用來求解線性常系數微分方程組.為了使學生能夠更好地理解矩陣對角化的概念，本文從一個軍事案例入手引出矩陣對角化的概念，引導學生運用所學概念解決問題，在運用中鞏固概念，使學習過程成為探究過程.從而激發學生興趣，拓展學生思維，培養學生的創新能力.

【參考文獻】

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