實踐波利亞的“怎樣解題表”，培養學生反思性學習的能力

張瑤

【摘要】解題研究是溝通數學理論與實踐研究的橋梁，是數學教學和學習的永恒主題，深受廣大教師和學生的關注.然而解題思維具有動態、內隱等特征，借助波利亞的“怎樣解題表”將解題程序和自我調節的監控系統有機結合，使解題活動成為有目標、有方法的主動行為.通過對解題思維過程的內省，培養學生反思性學習和創造性活動的能力.

【關鍵詞】“怎樣解題表”;反思性學習;解題研究

一、問題的提出

反思性學習是應課程改革而產生的一種嶄新的學習方式，是“學會學習”的突破口，是適應人的終身發展需要的重要學習方式.反思性數學學習是指通過對數學學習活動過程的反思來進行數學學習的一種有效學習方式[1].它是對已完成的思維過程進行周密且有批判性的再思考，以求得新的深入認識，或提出疑問，作為新的思考起點的一種數學學習方式[2].然而不論是從上一輪小課題對學生自我反思維度的調查結果來看，還是從教學實際本身考慮，反思性數學學習都是較為薄弱的環節.面對這一現實問題，筆者試圖從解題教學這一深受廣大教師關注，符合學生學習心理，較易入手的方式作為突破口，借助波利亞的“怎樣解題表”將解題思維過程外顯化，使學生的數學解題活動成為有目標、有方法的主動行為，增強學生的解題能力，并通過對解題思維過程的內省，提高思維的創造性，進而培養學生反思性學習的能力.

二、波利亞和他的“怎樣解題表”

喬治·波利亞（Geoge Polya，1887—1985），美籍匈牙利數學家、數學方法論大師，對數學思想的理解與解題方法的歸納形成了自己獨特的數學教育思想，尤其是他的著作《怎樣解題》一書更堪稱解題教學的經典之作，被數學教育工作者廣泛應用于教學研究[3].

波利亞通過自己數十年的教學與科研經驗，致力于探索解題過程的一般規律，具體表現在他的“怎樣解題表”上.它把解題過程概括為四個階段：弄清題意、擬訂方案、執行方案、回顧.這四個階段并不是彼此孤立的，而是一個四步驟的宏觀解題程序，其中“弄清題意”是認識問題、并對問題進行表征的過程，它是成功解題的必要前提;“擬訂方案”需要反復思考探索，把握住題目的核心和解題關鍵，尋找快捷有效地解題思路;“執行方案”則需要認真貫徹落實擬定的方案，且不斷解決在解題實際過程中遇到的意料之外的難題;“回顧”是解題過程中最容易被忽視的一個環節，是不斷總結和反思的環節，也是引導學生不斷進步的重要環節，波利亞也將回顧視為解題的必要環節[4].這四個步驟不但能促成解題思路的形成，提高解題成功的可能性，還能誘發數學靈感，形成好的念頭，更重要的是他將自我調節的監控系統植入解題過程中，是進行反思性學習的良好契機.

三、實踐波利亞“怎樣解題表”的教學片段

為了使大家對“怎樣解題表”的實踐過程有更直觀的感受和深刻的理解，筆者節選了教學案例的部分實踐過程，以期更好地分享“怎樣解題表”教學實踐成果.下面是在解題教學中實踐波利亞的“怎樣解題表”的教學片段，以期邊實踐，邊反思，邊調整，邊完善.

題目：已知正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E是AC上一點，連接EB，過點A作AM⊥BE，垂足為M，AM交BD于點F.求證：OE=OF.

（一）弄清題意

師：這是一個什么問題？

生：這是一個平面幾何的證明題.

師：已知條件是什么？把條件的各個部分分開，你能否把它說出來？

生：已知條件有四個：① 四邊形ABCD是正方形;② AC，BD是其對角線，并相交于點O;③ E是AC上一點;④ 連接EB，過點A作AM⊥BE，垂足為M，AM交BD于點F.

師：要求證什么？

生：要求證兩段線段OE，OF相等.

師：滿足條件是否可能？

生：顯然滿足條件是可能的，只是對條件③E是AC上一點還有些不明確，AC是指線段還是直線，如果條件③確定，那么條件④也就確定了.

師：若假設題目中沒有給出圖形，條件③明確為E是線段AC上一點，你會把E點畫在哪呢？

生：E點有可能在AO之間，也有可能在OC之間（也就是本題圖中給出的位置），E點也有可能就在O點處.

師：根據上述考慮能按E點的不同位置畫出圖形嗎？

生：能，應該是三種情況分別畫出三種圖形.

生：可是正方形是軸對稱圖形，它的兩條對角線也是它的對稱軸，根據對稱性E點在AO之間與E點在OC之間應屬于同種情形.對E點在O點處，點E，O，F，M四點重合，顯然OE=OF是成立的.因此，我們只需研究題中圖形即可.

師：很好！我們找到了這道題的一般圖形和它的一個特例.回到題中給出的圖形，要確定未知，所給條件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？

生：條件感覺是充分的，但不是十分確定.

師：好，讓我們繼續往下走.

（二）擬訂方案

師：要證明兩條線段相等，你能想到哪些方法呢？

生：全等三角形的性質，等腰三角形的性質，線段中垂線的性質等.

師：這道題應該從哪個方法入手呢？

生：全等三角形.

師：為得到線段OE，OF相等，我們需證哪對三角形全等呢？

生：△BOE和△AOF.

師：用紅筆將這兩個三角形勾畫出來，你能找到證明這對三角形全等的條件嗎？

生：首先這兩個三角形都是直角三角形，有直角相等的條件.

生：根據正方形的性質又可以得到OA=OB.

師：僅憑上述兩個條件能證明△BOE≌△AOF嗎？

生：不能，還需一個邊的條件或一個角的條件.

師：能找到這個條件嗎？

生：（沉默）

師：回到題目中看看條件都用完了嗎？或者圖形中還有隱含條件嗎？或者聯想一下，你以前做過與這道題相像的題目嗎？

生：我記得在學直角三角形全等時曾經做過一道題，與此題有點像.題目是這樣的：在△ABC中已知EH=EB，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D，E，AD，CE交于點H，求證△BEC≌△AEH.

師：還記得當時是怎么證明的嗎？

生：∠AEH=∠BEC=90°，EH=EB這兩個條件是顯然的，對，還利用了圖中的隱含條件∠AHE=∠DHC（對頂角相等）從而得到∠EAH=∠ECB（等角的余角相等）.

生：找到了，我們現在這道題也可以用圖中的隱含條件，從而得到∠OBE=∠OAF，利用角邊角條件可以證明△BOE≌△AOF，從而得到OE=OF.

（三）執行方案

師：太好了，詳細說出你求證的過程，并嘗試找到每一步的幾何依據.

（有了上述分析過程，具體解題步驟略）

（四）回顧

師：這道題的證明都用到了哪些知識？

生：正方形的性質，垂直的定義，等角的余角相等，判斷三角形全等的條件，全等三角形的性質等.

師：你還有其他的方法證明嗎？

生：還可以用角角邊條件證明那兩個三角形全等.

師：你能不能僅從圖中一下子看出要證明的結論來.

生：E，F可看作正方形對角線AC，BD上的兩個動點，F點跟隨E點的運動變化而變化.

師：回到先前的問題，若條件③E是直線AC上一點，結論會有變化嗎？畫圖看看.

生：E點不論在AC的延長線上還是反向延長線上，結論不變，證明的方法也相同.

師：整理你的思路，總結解題所用的思想方法.

四、“怎樣解題表”實踐運用中值得注意的問題

首先，教學實踐表明波利亞的“怎樣解題表”是指導學生準確掌握解決數學問題的行動指南，學生只有依照科學的數學理論，反復訓練提高，才能不斷有效提高分析數學問題、解決數學問題的能力，并逐漸形成科學有效的數學思維習慣[5].

其次，波利亞在他的解題理論著作中給出了很多提示語，這些提示語能引導學生的思維方向.而且這些提示語是在數學問題中自然而然形成的，具有一般性和常識性的特點，符合學生的數學思維習慣和思維方式，這就要求教師不僅要善于提煉提示語，更要進一步引導學生逐漸學會提煉學生自己的提示語.

再次，波利亞解題表中的大量提示語是針對主體自身思維活動的反詰，自我監察、自我預測、自我調節.在解題教學中應注重訓練學生將這些提示語內化為自己的一種解題習慣，久而久之形成適合自己的解題程序.

最后，波利亞的解題理論及“怎樣解題表”畢竟是從國外引進的，我們應結合學生的實際將其本土化，使其更好的運用于我們的數學教學.

五、波利亞“怎樣解題表”對培養學生反思性學習能力的幾點思考

（一）弄清問題，加強對理解題意的反思

在培養學生反思性學習能力的實踐中，學生的個體差異主要集中表現在理解題意時自我反思的能力差異上，從而導致對題意的理解不準確、不全面.教師在培養學生反思性學習能力時，應注重從以下幾個方面著手，理解題意是否有偏差？能否以恰當的形式描述題目中的條件？能否對題目進行符號表征？對問題含義的設問是否清楚？有關對象即概念、性質、方法的意義是否清晰？所用概念、定理的條件是否正確？對相近對象的異同是否認識清楚？

（二）擬訂方案，實施方案，加強對解題思維策略的反思

學生解題思維策略的選取，直接影響了“怎樣解題表”實踐運用的實際效果.解題思維策略的反思可從以下幾個角度考慮：看到題目后最初的想法？走過哪些彎路？為什么原先的思路行不通？有什么規律性的經驗可以吸取？我的思考與教師、同學的思考有什么不同？中途是否做過某些預測和調節？這些調節對自己的思考是否起到作用[5]？

（三）回顧，加強對解題結果的反思

做好“怎樣解題表”實踐運用過程中解題結果的反思，對培養學生縝密的思維，誘發數學靈感及培養反思性學習能力都有很好的促進作用.作為教師一定要特別注重引導學生加強對解題結果的反思.具體講我們可以從探討解法、挖掘規律、引申結論等方面思考[6].

從探討解法的角度反思：能否利用不同的知識，通過不同的途徑求得問題的解？通過對不同解法的比較，能否找到更滿意的解法？是否有更一般的方法？是否有更特殊的方法？這些方法各有什么特征？

從挖掘規律角度的反思：這個問題能否導出一些有用的東西？這個結果或解法能否用于解決其他問題？我們的方法是否有需要改進的地方[6]？

從引申結論的角度反思：結論合理嗎？有沒有反例？結論可以一般化嗎？可以推廣嗎？可以引申嗎？是否有變式問題？解題關鍵在哪里？

總之，“怎樣解題表”對培養學生反思性學習能力有較好幫助，最終這種幫助會體現在學生的數學思維方面，只有從鍛煉思維的角度來看待數學學習，才會真正關注想法中深層次的東西，關注思維的深度與高度，從而自覺形成反思性學習的能力.筆者主要在教學實踐過程中，借助波利亞的“怎樣解題表”對培養學生反思性學習能力進行了一些有益嘗試和探索，取得的成果是基于教學過程中所涉及的學生.在不同的地區、不同的學校，學生具有不同的背景和特點，需要廣大教師認真分析掌握學生的特殊情況，掌握一些必要的增強反思能力的教學策略，才能有針對性的運用好“怎樣解題表”，真正發揮其實效性.

【參考文獻】

[1]鄭菊萍.反思性學習簡論[J].上海教育科研，2002（8）：43-45.

[2]趙玉香.反思性學習理論與實踐探索[M].濟南：山東大學出版社，2006：108.

[3]梁紅娥.波利亞的數學解題思想及其在中學數學教學中的應用[D].呼和浩特：內蒙古師范大學，2005.

[4]G·波利亞著.怎樣解題[M].涂泓，馮承天，譯.上海：上海科技教育出版社，2002.

[5]唐劍琴.利用波利亞“怎樣解題表”提高習題教學價值[J].新課程，2015（7）：23

[6]羅增儒，羅新兵.波利亞的怎樣解題表[J].中學數學教學參考教師版，2004（4）：23-25.