環(huán)狀多面體

黃晶　顧嘉聞　朱怡寧　應(yīng)涵宇　邱為鋼

【摘要】給出了磁棒和小球搭建起來的環(huán)狀多面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)，利用數(shù)學(xué)軟件，繪制了這些多面體的三維圖示.

【關(guān)鍵詞】磁棒;環(huán)狀多面體;三維圖

兒童玩具中可以搭建成三維造型的有雪花片，塑料長方形積木，磁棒和小球.這些東西其實(shí)隱含著比較高深的數(shù)學(xué)物理，譬如鑲嵌雪花片的滾動(dòng)模式[1]，塑料長方形積木構(gòu)造的推廣正多面體[2].磁棒和小球也能搭出以下環(huán)狀多面體，如圖1所示.

一個(gè)有趣問題是，我們能否知道這些多面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后用數(shù)學(xué)軟件繪制3維圖形？在這個(gè)探索過程中，不僅能學(xué)習(xí)用到立體幾何，解析幾何，數(shù)學(xué)軟件，還能把動(dòng)手和動(dòng)腦結(jié)合起來，融娛樂和學(xué)習(xí)與一身，實(shí)在是空間解析幾何的一個(gè)好例題.數(shù)學(xué)軟件我們并沒有采用中學(xué)教師常用的幾何畫板而是Mathematica，它比幾何畫板具有更強(qiáng)大的三維幾何繪制和表現(xiàn)能力.另外為了美觀和與實(shí)際模型切配，我們用圓柱管代替線條，小圓球代替點(diǎn)，雖然理論上嚴(yán)格推導(dǎo)坐標(biāo)的假設(shè)是線條和點(diǎn).

我們先從圖1左邊第一種類型的環(huán)狀多面體開始，這個(gè)多面體的基本單元是正五邊形雙棱錐，如圖2所示.

把這個(gè)多面體投影到桌面上，出來一個(gè)正多邊形，邊與邊的夾角（內(nèi)角）是108+60=168度.60度來自正三角形，由兩個(gè)五棱錐的兩個(gè)底邊磁棒和一個(gè)連接磁棒組成.這個(gè)正多邊形的外角是180-168=12度，所以這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是36012=30.正五邊形中心，多面體對稱中心以及正五邊形外側(cè)頂點(diǎn)組成一個(gè)三角形，內(nèi)角分別為144，6和30度.設(shè)磁棒長度為1，那么由正弦定理.原點(diǎn)（中心）到正五邊形中心距離是sin30°sin6°.圖2中的正五邊形雙棱錐的七個(gè)頂點(diǎn)相對中心的坐標(biāo)很容易求得，利用數(shù)學(xué)軟件的圖形平移和旋轉(zhuǎn)功能，得到第一類環(huán)狀多面體的模擬三維圖是：

搭建實(shí)物，仔細(xì)觀察如圖1中間第二個(gè)環(huán)狀多面體的結(jié)構(gòu)和對稱性，發(fā)現(xiàn)它具有正五邊形對稱性，基本組成單元如圖4所示：

圖3和圖5是本文的主要結(jié)果.整個(gè)探索過程，即動(dòng)手又動(dòng)腦，融娛樂與學(xué)習(xí)于一體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)好玩的特色.實(shí)際上磁棒和小球還能搭出更多形狀的多面體，讀者如有興趣的話，不妨仿照本文的思路，把這些玩具多面體也搭建，繪制，和3D打印出來，當(dāng)作數(shù)學(xué)探究課題.

【參考文獻(xiàn)】

[1]邱為鋼.玩具中的物理：鑲嵌雪花片的滾動(dòng)軌跡[J].物理教師，2014（9）：70-71

[2]邱為鋼.玩具與正多面體[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2016（12）：55-57.