隨機場模型下相關距離及參數變異系數對邊坡穩定可靠度的影響

盛建龍 楊 博 翟明洋

（1.武漢科技大學資源與環境工程學院，湖北武漢 430081；2.冶金礦產資源高效利用與造塊湖北省重點實驗室，湖北武漢430081）

邊坡失穩問題一直是學者們所關注的領域，近些年來對邊坡穩定性的研究也越發的成熟。土的結構十分復雜，因此，土的性質在空間上隨著時間是不斷地變化的，即土性的表現為空間各向異性。由于變化的不確定性，土體性質也會表現出不確定性，用確定性的方法很難反映這種隨機的變化。邊坡的不確定性得到了大量學者的重視，其中，楊繼紅等［1］在對黃河邊坡進行可靠度分析時采用了隨機場計算模型，總結出在邊坡穩定性計算時，計算邊坡失效概率并采用隨機場計算模型更加合理；Griffiths［2］在進行邊坡穩定性分析時，提出隨機有限元強度折減法計算方法，并證明了計算方法的合理性；白桃等［3-7］采用Morgenstern-Price簡明算法編制程序對邊坡破壞概率進行了研究，總結出邊坡在相同安全系數條件下，破壞概率也是可能不同的，即在判斷一個邊坡是否失穩時，計算可靠度會更加合理；薛亞東等［8-11］運用隨機場理論，將隨機場離散中的局部平均法與FLAC3D計算軟件結合，總結出隨機場計算模型中，相關距離對邊坡穩定可靠度的影響在垂直與水平方向上比較時，垂直方向的影響更為顯著；李典慶等［12-14］在研究中，采用隨機場計算模型，比較了不同變異系數下的參數對失效概率變化的影響，總結出參數變異系數存在一定的變化范圍，即參數的變異系數在隨機場模型中也會對邊坡失穩造成一定程度的影響。各種研究都對研究隨機場做出了有益的推進，但是大多數的研究僅僅關注了相關距離對邊坡穩定性的影響，而忽略了參數的變異性。本研究利用C++語言以及FLAC3D軟件，實現邊坡土體參數在空間分布上的隨機性，在對邊坡失效概率的分析中，考慮土體黏聚力變異系數以及隨機場計算模型對結果的影響。

1 隨機場基本理論

1.1 局部平均法

設X(t1,t2)為二維的連續性隨機場，得到隨機場模型，最重要的工作是要將變量之間的關系轉換為數值來表示，也就是隨機場的離散。設μ和σ2分別為隨機場的均值與方差。可以將隨機場劃分為有限個矩形單元A,A1,A2,…建立隨機場模型，即將隨機數據離散到隨機場的每個單元中，按照離散后隨機變量與離散單元隨機場的關系，隨機計算模型的建立有很多方法，其中局部平均法以其對數據要求低，收斂快，精度高的優點得到廣泛的應用。本文采用該離散方法進行各向異性隨機模型的分析。隨機場中，劃分的每個單元邊長可表示為T1T2、，就其中一個矩形單元A=T1T2為例，用此法計算隨機場在局部單元A內的結果為

同理，可以算出各個單元的局部XA1(t1,t2),XA2(t1,t2),…。

設X(t1,t2)為一個穩定的空間隨機模型。則對應局部單元的計算結果可以用各單元均值E[XA]、方差Var[XA]、協方差Cov[XA,XA1]等來近似表述。由式（1）可以得到用此法的計算過程中，并不會對原隨機模型的均值有所改變，因此可以得到

計算中，設γ(T1,T2)為X(t1,t2)的方差折減函數，為在隨機場離散過程中造成的“點方差”σ2到“局部平均方差”的折減程度，則方差

同理，可以算出其他單元的方差。

A,A1為隨機模型中2個單元，則協方差在這2個單元中可表示為

其中，T1k,T2i(k=0,…,3;i=0,…,3)所表示的意義由圖1［15］所表示，γ(T1k,T2i)為方差折減函數。

1.2 相關距離

Vanmarcke［16］給出了如下關系來表示相關距離：

式中，T表示隨機場空間中任意朝向的局部平均長度；γ(T)則為向量T所對應的方差折減函數。受相關性影響，土的結構性質在特定的范圍里是基本相似的。超過此范圍的土體之間，其性質大體沒有聯系。

1.3 相關函數

設ρ(τ1,τ2)，用來表示相關函數。其所表示的意義是隨機場中的任意2個隨機單元之間的土性參數的相關性。表1列舉了在計算中比較常見的幾種二維相關函數。

表1中，τ1,τ2表示隨機場中任意2個單元所代表的坐標的水平以及垂直方向上的距離。可以用下式描述上述函數與各自方差折減函數之間的聯系。

選取不同的函數對局部平均法的結果所帶來的變化很小。表中所列舉的以上表達方式有較大區別，但是所對應的方差折減函數在形式方面上差別實際不大［17］。因此，對隨機模型記性分析計算時，相關函數采取簡單的選取可以很大程度上簡化過程。

按照一定的比例進行隨機場的網格劃分后，即可用協方差矩陣來表示每個網格之間的關系。從而根據統計參數的均值以及標準差對每個網格進行隨機場數據的映射處理，形成隨機場模型。

2 土性參數的空間各向異性

受到各種自然條件影響，土體特征理應為空間各向異性。Vanmarcke［18］首次提出了隨機場模型，隨后大量的學者對隨機場進行了研究。一般來說隨機場模型中用相關距離以及參數的變異系數表示，研究表明［19］，在空間中，水平方向上的相關距離對于垂直方向而言，要大很多。在垂直方向上，相關距離一般介于0.2～2 m之間。而在水平方向上，相關距離一般是介于20～80 m之間，有的甚至更大。參數變異系數一般用來表示不同數據之間的數值分散程度的大小，其定義為標準差和均值的比對于一般土坡，均值即使相同，其性質其實也有較大的差別，用變異系數來表征其中的區別程度會更加的合理。

由相關函數的表達式可以得出，當隨機場中倆坐標的垂直與水平距離不相等時，即δ1≠δ2，根據上文中所表述的內容所建立的模型各土性參數的特征均表現為明顯的空間各向異性。相比較于指數與高斯函數，可分離的指數函數所對應的方差折減函數更容易求得。上節中提到，對于相關函數的選取，局部平均法并不敏感。所以，為簡化計算過程，減少計算量，對于模型的建立，所取的是可分離的指數函數。則有：

將式（7）代入式（5）則可以得到

3 隨機場模型下邊坡可靠度計算

對邊坡失穩分析計算中，由于在隨機場模型中，各個網格中的材料的賦予都是不確定的，因此用極限平衡法時，很難對邊坡滑移面做出預先的確定。采取了有限元計算中的強度折減法進行分析，有效解決了上述問題。強度折減法就是：在邊坡分析時，使其處于臨界破壞狀態，對其參數進行折減，以至使其失穩，相應數值軟件自動根據計算結果得到安全系數。

對邊坡進行分析時，采取了有限差分法對網格劃分，并將響應面法與Monte-Carlo法相結合，其主要步驟如下：

（1）利用C++語言根據相關函數以及方差折減函數將隨機場劃分為均勻的矩形單元，生成協方差矩陣。本文為計算的簡便，未考慮網格的劃分對隨機場模型下計算結果的影響，生成協方差矩陣。

（2）利用協方差矩陣和參數均值以及標準差，生成出隨機場變量。

（3）在FLAC3D中將邊坡進行有限差分，并根據局部平均法的坐標位置，將步驟（2）中生成的隨機場變量賦予到有限差分網格中，完成對計算模型的建立。

（4）利用強度折減法對邊坡進行有限差分計算，得到安全系數Fs并利用拉丁超立方抽樣計算出響應面函數。

（5）結合Monte-Carlo法，利用響應面函數對邊坡進行穩定計算，計算出實效概率Pf。計算流程見圖2。

4 算例分析

以文獻［2］中均勻土坡為例，采用本文所提方法進行分析。邊坡坡比為1∶2，邊坡高10 m，模型為20 m×60 m。土體飽和重度為20 kN/m3，土體彈性模量為100 MPa，泊松比為0.3，不排水抗剪強度為Cu（取φ=0）。為減少計算量，僅對黏聚力系數進行不確定性模擬，假設c服從對數正態分布，均值μc=0.25，標準差σc=0.125。

分析了在δx=30 m時，δy從1 m變化到10 m，與δy=2 m時，δx從5 m變化帶80 m時，在不同黏聚力變異系數下其對邊坡破壞所造成的影響。

利用邊坡各條件，生成模型，并將其劃分為1 m×1 m的規則網格。對隨機場進行劃分，如圖3所示，為2 m×2 m的均勻矩形網格在有限差分網格中的映射，即建立的隨機場模型圖。

在FLAC3D中，利用強度折減法對邊坡進行穩定性分析，圖4所表示的為δx=30 m，δy=2 m時邊坡失穩時的滑移面。

在δx、δy分別為30 m與2 m時，采用本文中的方法對失效概率進行計算，得到的結果Pf=0.032 6，對照文獻［16］的結果0.035，絕對誤差僅有0.002 4，相對誤差僅有6%，說明所用研究理論是合理的。

圖5反映了在垂直相關距離δy=2 m時，水平方向上在5～80 m變化時，對隨機場模型下邊坡失效概率的影響。分析比較得出，在相同變異系數條件下，水平相關距離越大，邊坡破壞的幾率也越大。在相同的水平相關距離條件下，黏聚力變異系數增大，邊坡失穩的可能性同樣也呈現出上升趨勢，并且變異系數在0.1～0.4的上升過程中，失效概率的變化趨勢比較平穩，δx=5 m時，變異系數由0.1上升到0.4，失效概率僅從0.002上升到0.003 4，增幅為0.001 4。而當從0.4變化到0.5時，失效概率由0.003 4上升到0.006 1，增幅為0.002 7，為0.1～0.4時的1.93倍。

圖6反映了在δx=30 m，δy在1～10 m范圍內變化時，對隨機場模型下邊坡失效概率的影響。從圖中可以總結出以下結論：在參數變異系數相同時，隨垂直相關距離增加，邊坡發生失穩的可能性也會增大。相同垂直相關距離下，失效概率也隨著黏聚力變異系數的增大而增加。變異系數在0.1上升到0.3的過程中，破壞概率的增加較為平緩，當變異系數由0.3增加到0.5，其數值呈現出顯著增加趨勢，尤其當δy在3 m以上時，這種變化尤為明顯。在δy=10 m時，黏聚力變異系數由0.1增加到0.3時，失效概率由0.065上升到0.072，而黏聚力變異系數從0.3變化到0.5時，失效概率增加了0.08，為0.1～0.3的11倍以上。同樣，對于垂直方向而言，其距離越大，在變異系數變化時，失效概率的變化程度越大。

通過分析比較圖5和圖6可知，在相同變異系數下垂直相關距離對邊坡失穩可能性大小的影響遠大于水平相關距離。在變異系數為0.5時，δx從5 m變化到80 m時，邊坡的失效概率從0.68%上升到8%。對于垂直方向相關距離而言，當δy從1 m增加到10 m時，邊坡失效概率由1.22%提升到15.21%。垂直相關距離的增幅僅為水平相關距離增幅的，而在失效概率上的增幅卻是其2倍以上。在對2個圖相關距離、變異系數變化曲線進行比較時，發現垂直與水平相關距離的差距并不明顯，都呈現出一種上升趨勢。垂直方向上，從變異系數為0.3開始，增幅有增大的趨勢，而在水平方向上，這種趨勢是從變異系數為0.4時開始的。在變異系數從0.1變化到0.3時，2個圖的上升都較為平緩。

5 結論

基于局部平均法等隨機場基本理論，采用C++語言編制了土體邊坡隨機場離散程序，在此基礎上結合有限差分強度折減法及可靠度分析方法，研究了隨機場模型的相關距離以及黏聚力變異系數對邊坡可靠度的影響。所得結論如下：

（1）在相同變異系數下，通過比較相關距離在空間上的變化可以得出邊坡失效概率在空間相關距離增大時呈現出一種上升的變化。

（2）在相同相關距離的條件下，通過變化曲線可以得出邊坡失效概率由于變異系數的上升呈現出一種上升趨勢。對于水平方向相關距離而言，變異系數在0.4以上時，這種變化趨勢顯著增大；對于垂直方向而言，變異系數在0.3以上時，這種變化表現出增大趨勢。

（3）通過對空間中各方向上的相關距離對邊坡失穩概率的變化程度進行比較分析。發現其在垂直方向上的影響程度遠大于水平方向。

（4）對土性參數空間各向異性的研究還存在著許多不足之處。比如說，本文僅考慮了黏聚力系數的變化對失效概率的影響；同時建立的隨機場模型只是黏聚力系數的單因素隨機場，未考慮多因素隨機場下對邊坡失效概率的影響。