遵循認知規律 促進數學思考

郝秀英 申武廣

《義務教育數學課程標準》明確指出，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，并把動手實踐、自主探索與合作交流作為重要的學習方式，從而有效培養學生的實踐能力和創新意識。在此理念指導下，許多教師在課堂實踐中非常重視讓學生經歷知識的形成即“再創造”過程。但筆者在多次的聽評課活動中發現一些簡單化處理的做法，部分教師把經歷的過程誤認為由幾個步驟組合而成，于是課堂就發生了一幕幕不易察覺的“分解”現象。本篇文章嘗試從幾個相關案例深入剖析此類現象，并提出相應的解決對策。

一、“分解式匯報”

過程簡述：《循環小數》

課始，學生先計算400÷75，然后同桌交流自己的發現。接著計算28÷18和78.6÷11，之后全班交流計算情況。老師提出問題：通過計算，你發現了什么？學生的答案可謂花樣繁多，但每個學生的回答都有可取之處。有的學生說有一個數字重復出現;有的說是兩個數字重復出現;有的說是依次不斷地出現;有的說從第一位開始就重復;有的說從第二位開始重復;有的說余數總是重復出現某個數字……每當學生的回答與課本定義相符時，老師就及時給予肯定，趕緊板書出來，不大一會兒，黑板上就呈現出循環小數的定義。而當學生遺漏了“一個數的小數部分”時，老師立即指著一個循環小數提醒學生：這樣的小數是從整數部分開始還是從小數部分開始？學生很快知道是從小數部分開始的。最后，老師讓學生齊讀黑板上完整的循環小數定義。

【問題分析】

書上對循環小數是這樣定義的：“一個數的小數部分，從某一位起，一個數字或者幾個數字依次不斷重復出現，這樣的小數叫作循環小數?！比绱碎L的句子在小學數學概念中是少見的，學生對概念的本質把握確實有一定的困難，常常會出現顧此失彼的現象，即抓住其中一方面特征卻考慮不到另一方面，以致無法獨立完成對循環小數的整體性認識?？紤]到這個概念屬于“合取概念”，即幾種屬性聯合在一起來對概念下定義，在教學中多數老師都會注意到循環小數的幾個屬性：小數部分、從某一位起、一個數字或幾個數字、依次不斷、重復出現。為了克服以上學習困難，就將概念“分解”，通過不同的匯報促成概念的逐步“形成”。但這種定義的得出與其說是經歷了名義上的“概括”過程，不如說是學生答案的羅列組合。板書雖然是完整的，但這種完整卻是通過零碎的部分拼湊，是靠集體匯報而成，并沒有使學習個體形成完整認識，學生對循環小數的認識仍然停留在初級階段，對于小數系統的結構把握也是不穩定的。

【解決對策】

學生學習數學概念的基本方式，包括概念的形成與概念的同化兩種形式。在數學教育學上，概念的形成過程從低到高一般概括為幾個階段：辨別、分化、類化、抽象、檢驗、概括、形式化。根據此理解，我們在教學中進行不斷嘗試，采取合理策略達到了較好的效果。簡要過程是：第一，感知重復。教材上例題8就是為了認識循環小數提供的感性材料，學生在計算400÷75中，體驗到重復現象，通過師生、生生之間的交流表述來促進對重復特點的感悟，為循環小數的出現做好鋪墊。第二，分類比較。有了以上基礎，讓學生計算28÷18和78.6÷11，一種是從某位起出現某個數字;另一種是從某位起幾個數字依次不斷重復出現。從而讓學生明確同樣是重復，但從哪一位重復是不一樣的。既知本質相同，又明細節區別。第三，概括提升。老師提出問題：觀察三個算式的計算結果，你發現了什么？它們有什么相同和不同？進而讓學生總結相同特征，概括這種小數的本質特征，揭示循環小數的定義。第四，建立聯系。老師引導學生思考，循環小數跟我們以前學過的小數有何不同？引出有限小數和無限小數的概念，從而建立小數的系統結構，進一步加深對循環小數的理解。

二、“分解式操作”

過程簡述：《角的度量》

出示兩個不同顏色和大小的角讓學生比較大小，當有的學生提出用量角器量時，老師沒有理會，轉而引導利用小角比大小。在判斷出大角比小角大1個小角后，老師讓學生判斷某一個更大的角含有幾個小角，學生立即感到麻煩，于是想出辦法把小角粘合起來，這樣就形成18個小角。接下來又要求學生用小角量2個大角，第一個角正好有6個小角，第二個角在量中發現有4個角多一點，這樣在操作中又發現了問題，怎么辦呢？學生馬上想到把每個小角再平分成10份，一共是180份，然后出示一個角再量，學生很快發現角度數起來太麻煩。給半圓形工具標上一圈度數就是一個好辦法，接著又出現了一個角兩個度數的情況，學生提出建議兩圈都標上度數，此時的半圓形工具終于形成即量角器的“制作”完成了。此時一節課已過一多半時間，老師開始教學生如何量角，然后做練習。

【問題分析】

聽罷此課，我的腦海里不時翻滾著三個問題：（1）學生一開始提出用量角器比大小，老師為何不理會？那個小男孩可是滿臉疑惑?。。?）為什么一節課有那么多操作上的“障礙”？好多學生早已疲憊不堪了呀！（3）這節課的教學目標到底是什么？我怎么覺得是講量角器的來歷呢！下面我們從這三個問題逐一分析。第一個問題，老師置學生的真實想法于不顧，其目的無非是使其進入自己的思維邏輯軌道，即從量角器的產生過程思考，最初的思想是用小角來度量大角。可這種無視學生實際情況、以成人思維替代學生想法的做法，會產生不利的負面影響，比如那個小男孩會很疑惑，我們有量角器為什么不用呢？量角器難道不是量角最簡單的工具嗎？第二個問題旨在讓學生經歷知識產生過程，所以老師將量角器“分解”成諸多的操作“障礙”，通過這些操作“障礙”的引導無疑縮短了量角器產生的時間?？墒?，老師有沒有想過，這些問題是否由學生自主提出的，或者說瑣碎的障礙能否調動起學生解決問題的動力呢？從課堂現場來看，我們看到更多的是老師牽著學生一步一步地質疑解惑，違背了學生認知規律，是一種將長期的形成過程簡單灌輸到學生頭腦中的錯誤做法。第三個問題直擊本課的教學價值，不同的目的會出現不同的設計，但無論是教知識技能還是方法思想，都要圍繞“度量”做文章，但本課卻在量角器的產生上大費周折，無疑會造成本末倒置、事倍功半的不良后果。

【解決對策】

基于以上分析，我們首先要從三維目標的角度來制定教學目標，經過教研組和網絡研討，大家達成一致共識：（1）認識量角器和角的度量單位;（2）會用量角器量角;（3）感受量角的意義，形成度量意識。所以，本課的教學過程主要把握三點：第一，重點放在量角方法上，因為本課是角的度量，重在“度量”。但不可被“度量”所局限，即不要單純技能化。第二，要滲透度量意識，感受量角的意義，可以從量角中回顧反思，從日常生活中積累感悟，比如滑梯、椅子、風箏和射球等。第三，為防止量角方法的機械記憶，可以充分發揮學生探究的潛能和學習的主動性，在獨立量角中發現問題并集體交流，聚焦于量角的方法。總之，“角的度量”一課既要避免演化成“技能”課，只注重學生的方法習得;又要防止偏離教學目標，置學生的學情于不顧，影響課堂三維目標的整體落實。

三、“分解式問題”

過程簡述：《平行四邊形的面積》

課始，老師在小黑板上呈現了幾個問題：

（1）圖中的兩個花壇哪個大？你是怎么思考的？（書上的情境圖）

（2）通過填寫表格你發現了什么？

（3）通過剪拼圖形，拼成的長方形和原來的平行四邊形相比，面積變了沒有？

（4）拼出的長方形與原來的平行四邊形有什么關系？你發現了什么？

（5）你能根據長方形面積的計算公式推導出平行四邊形的面積計算公式嗎？

沒有創設豐富的情境，沒有多余的引入語，老師直接讓學生邊看書邊解決上面的幾個問題。每解決一個問題，老師就引導學生交流得出正確結論，不對的地方進行指導和修正，直至最后推導出平行四邊形的面積=底×高。整堂課進行得非常順利。

【問題分析】

琢磨黑板上幾個問題的設計目的，不難發現，問題（1）由“花壇大小比較”情境引出平行四邊形的面積公式，同時聯系了長方形的面積，為接下來的推導奠定基礎。問題（2）是在數方格得出面積的基礎上，促使學生形成初步猜想，為平行四邊形的面積公式蓄勢。問題（3）、（4）和（5）是為推導公式所進行的引導，通過三個問題學生很容易把握推導的主線，順利推出平行四邊形的面積公式。這樣分析下來，老師設計的問題并非隨意而為，對學生的學習具有很大的幫助。同時，我們也看得出該老師注重學生的自主學習，符合當前的新課程理念。但是老師把公式的推導“分解”成三個明確的思考路線，提前出示給學生，暗示過于明顯，無疑降低了探究難度，不僅難以激發探究的興趣，而且使得學生對公式理解不深，“自主探究”也就變成了“越俎代庖”。

【解決對策】

基于以上設計，我們稍做修改，變動問題的呈現時機，避免這些問題一下子全部出現。首先，創設花壇大小比較的情境，提出問題（1），達到引出課題和回憶長方形面積公式的目的。然后讓學生采用以前學過的數方格方法得出平行四邊形的面積，提出問題（2），形成平行四邊形的面積等于底乘高的初步猜想。接下來，老師提出問題：如果不數方格，你能想出辦法來推導平行四邊形的面積公式嗎？此問題一出，猶如點燃了學生探究的導火索，既激發了探究的熱情，又把探究方向巧妙轉移，有效統領了整個探究過程。在問題的驅動下，通過給學生提供學具材料，放手讓學生自主探究或小組合作。在探究中，針對比較困難的個人或小組，老師于巡視中適時提出問題（3）和問題（4），進行關鍵時刻的點撥，便可達到四兩撥千斤的功效。

以上“分解”現象，不僅在日常教學中司空見慣，甚至在公開課、優質課中也屢見不鮮。不難發現，這些現象普遍存在的原因是，老師主觀假設教學內容不論知識、方法抑或思想都可實施“分解”以體現其形成過程，只要讓學生攀登“分解式教學”這個階梯，就可以像積木一樣將教學內容搭建而成。其實，這種做法不但沒有理論根據，更無實踐驗證，甚至導致課堂教學陷入誤區。那么為什么卻被老師不自覺地運用于教學呢？透析背后原因，我們發現這種現象之所以在當前課堂教學中大量出現，與教師對時下新課改提倡的“過程性教學”的錯誤認識有很大關系。如何能夠充分實踐新課改理念又不致走向“分解”誤區呢？筆者認為首先要遵循學生的認知規律，順應學生的發展需求，以學定教;同時教師要注意從課堂中學生出現的各種問題入手，深入反思，抓住數學本質，促進數學思考，實現真正意義上的有效教學。

編輯 杜元元