超分辨TOA/TDOA估計(jì)算法

高才才 丁 慶 藍(lán)永海

(深圳市華訊方舟微電子科技有限公司 廣東 深圳 518101)

0 引言

對(duì)于雷達(dá)和傳感器觀測(cè)系統(tǒng)而言，當(dāng)被觀測(cè)目標(biāo)處于密集目標(biāo)環(huán)境中或者存在較強(qiáng)的多徑效應(yīng)時(shí)，需要較高的距離或者角度分辨率，從而在空間維或者時(shí)間維上，分辨相鄰的目標(biāo)或者區(qū)分直到信號(hào)與多次反射信號(hào)。為了估計(jì)每個(gè)信號(hào)源的到達(dá)角(Direct of Arrival，DOA)，且提高角度分辨率，研究者在空間維度上，提出了許多基于陣列天線的方法，比如最小方差無(wú)失真響應(yīng)法(Minimum Variance DistortionlessResponse，MVDR)[1]、多信號(hào)分類算法(Multiple Signal Classification，MUSIC)[2]以及旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)信號(hào)參數(shù)估計(jì)法(Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Technique，ESPRIT)[3]等。

在時(shí)間維度上，對(duì)于目標(biāo)和輻射源定位而言，到達(dá)時(shí)間(Time of Arrival，TOA)和到達(dá)時(shí)間差(Time Difference of Arrival，TDOA)是尤其重要的參數(shù)。傳統(tǒng)的TOA/TDOA估計(jì)算法，一般基于匹配濾波或者互相關(guān)函數(shù)[4]，其距離分辨率與所使用信號(hào)的帶寬成反比，即可獲得的距離分辨率為c/2B，其中，c為自由空間中光傳播速度，B為信號(hào)帶寬。因此，較為直接且有效的增加距離分辨率的方法是增加TOA/TDOA估計(jì)中所使用的信號(hào)的帶寬。但是，在某些頻段，頻譜相對(duì)比較擁擠，很大一部分頻段已分配給其他應(yīng)用，可使用的連續(xù)頻段受到一定的限制。另外，無(wú)源定位系統(tǒng)中，接收到的源于輻射源的信號(hào)一般不可知，且其帶寬是不可控的。

類似于角度超分辨算法，為了突破信號(hào)帶寬對(duì)距離分辨率的限制，已有學(xué)者提出了一些超分辨的TOA/TDOA估計(jì)算法。比如：自適應(yīng)正則最小二乘法(Adaptive Regularization Least Squares，ARLS)[5-6]、逆濾波器法(Inverse Filter，IF)[7-8]、迭代自適應(yīng)算法(Iterative Adaptive Approach，IAA)[9-10]、基于互相關(guān)函數(shù)的MUSIC算法(MUSIC using Cross-Correlation，MUSIC-CC)[11]以及基于信道響應(yīng)的MUSIC算法(MUSICbased on Channel Response，MUSIC-CR)[12]等。在一定條件下，以上算法可得到的距離分辨率均可以突破c/2B的限制；且某些算法，比如MUSIC-CC，不需要已知發(fā)射信號(hào)的類型和參數(shù)。但是，沒(méi)有相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)以上算法進(jìn)行完整且詳細(xì)地歸納總結(jié)以及性能對(duì)比。本文中，我們首先對(duì)上述提及的算法進(jìn)行了簡(jiǎn)要的原理介紹，然后利用多種指標(biāo)比較其性能，包括分辨率、估計(jì)精度、信噪比(Signal-to-Noise-Ratio，SNR)需求以及計(jì)算量等。性能對(duì)比中使用的數(shù)據(jù)既包括了仿真數(shù)據(jù)，也包括了通過(guò)軟件無(wú)線電平臺(tái)(Universal Software Radio Peripheral，USRP)發(fā)射和接收到的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)。

本文組織結(jié)構(gòu)如下：第一章回顧了多種距離超分辨算法的基本原理和處理流程；第二章和第三章分別通過(guò)仿真數(shù)據(jù)和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，比較和分析了以上提到算法的性能；最后對(duì)全文進(jìn)行了總結(jié)。

1 距離超分辨算法

假設(shè)發(fā)射信號(hào)為x(t)，則多目標(biāo)或者多徑環(huán)境中的接收信號(hào)可以用如下公式表示：

(1)

其中，K表示目標(biāo)或者信號(hào)傳播路徑的數(shù)量，ak和τk分別表示每路回波信號(hào)對(duì)應(yīng)的幅度以及時(shí)延，n(t)表示高斯白噪聲。傳統(tǒng)算法中，通過(guò)發(fā)射信號(hào)和接收信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)即可以估計(jì)TOA,公式如下：

(2)

距離超分辨算法中，公式(1)可以改寫(xiě)為如下矩陣形式：

y=Ah+n

(3)

(4)

距離估計(jì)算法，轉(zhuǎn)換為通過(guò)估計(jì)信道響應(yīng)矢量h，來(lái)獲得TOA的估計(jì)，且基于特定的處理算法提高估計(jì)值的分辨率和精度。

1.1 自適應(yīng)正則最小二乘法(ARLS)

在高斯白噪聲的假設(shè)下，且如果AHA可逆，公式(2)的最小二乘解可以表示為：

(5)

(6)

其中，α是尺度參數(shù)，W為矢量w表示的對(duì)角矩陣。正則化后的二乘解為：

hi=(AHA+αWi)-1AHy

(7)

該算法實(shí)質(zhì)上是自適應(yīng)的對(duì)角加載，且加載量是通過(guò)迭代算法得到的。矢量wi可以通過(guò)如下公式得到：

(8)

其中，I為全1的向量，⊙表示點(diǎn)乘，γ和η為影響到算法收斂速度的參數(shù)。僅使用一個(gè)脈沖就可以估計(jì)出信道響應(yīng)，但是可以通過(guò)多個(gè)脈沖的積累來(lái)提高信噪比，且積累后的信道響應(yīng)可以表示為：

(9)

其中，L表示積累脈沖的個(gè)數(shù)，hl表示基于單個(gè)脈沖估計(jì)得到的信道響應(yīng)。

1.2 逆濾波器法(IF)

不同于公式(2)中的矩陣乘積形式，接收信號(hào)也可以通過(guò)信號(hào)卷積的形式表示：

y(t)=x(t)·h(t)+n(t)

(10)

其中，h(t)為信道響應(yīng)的時(shí)域表示，且可以通過(guò)沖擊響應(yīng)表示[7]：

(11)

其中，bk=|ak[ejθk表示第k路信號(hào)的幅度和相位。假設(shè)Y(ω)和X(ω)分別表示接收信號(hào)和發(fā)射信號(hào)的頻域表示，即y(t)和x(t)的傅里葉變換，可以得到如下公式：

(12)

因此，信道響應(yīng)的估計(jì)可以表示為：

(13)

其中，IFFT[·]表示傅里葉反變換。和自適應(yīng)正則最小二乘法類似，IF算法也可以通過(guò)積累增加信噪比。

1.3 迭代自適應(yīng)算法(IAA)

(14)

hi=[hi(1),hi(2),…,hi(M)]T

(15)

(16)

其中，A(:,m)表示公式(3)中矩陣A的第m列，diag(·)表示由對(duì)應(yīng)矢量構(gòu)成的對(duì)角矩陣。迭代算法的初始值可以由如下公式計(jì)算得到：

(17)

公式(16)需要進(jìn)行矩陣求逆操作，為了避免出現(xiàn)奇異或者病態(tài)矩陣，需要進(jìn)行對(duì)角加載處理。

1.4 基于互相關(guān)的MUSIC算法(MUSIC-CC)

該算法是基于原應(yīng)用于角度超分辨的MUSIC算法的，其問(wèn)題轉(zhuǎn)換為如何獲得協(xié)方差矩陣，即：

(18)

其中，Rl表示由每個(gè)脈沖估計(jì)得到的協(xié)方差矩陣，且可以表示為[10]：

(19)

XA=X⊙Y*

(20)

其中，(·)*表示復(fù)共軛。X和Y分別表示發(fā)射信號(hào)和接收信號(hào)傅里葉變換的采樣，即X(ω)和Y(ω)的采樣。需要注意的是，僅獲取了信號(hào)頻帶內(nèi)的采樣。信號(hào)源的個(gè)數(shù)可以通過(guò)最小描述長(zhǎng)度法(Minimum Description Length，MDL)估計(jì)。協(xié)方差矩陣的特征值分解可以表示為：

Rl=VΛsVH+UΛnUH

(21)

其中，Λs和Λn分別表示信號(hào)和噪聲對(duì)應(yīng)的特征值矩陣，V和U分別表示信號(hào)和噪聲對(duì)應(yīng)的特征向量矩陣。MUSIC-CC算法得到的虛擬譜為：

(22)

其中，Γ(τ)為如下公式定義的向量：

(23)

其中，Δf表示兩個(gè)連續(xù)采樣點(diǎn)之間的頻率間隔，Np表示XA的采樣點(diǎn)數(shù)。虛擬譜是時(shí)延τ的函數(shù)，可以通過(guò)譜上峰值的位置估計(jì)出信號(hào)對(duì)應(yīng)的TOA。

1.5 基于信道響應(yīng)的MUSIC算法(MUSIC-CR)

基于信道響應(yīng)的MUSIC算法與前面提到的基于互相關(guān)函數(shù)的MUSIC算法類似，區(qū)別在于計(jì)算協(xié)方差矩陣的方式。和IF算法類似，信道響應(yīng)是由頻域的發(fā)射信號(hào)和接收信號(hào)估計(jì)得到的[11]：

Ψ=Y/X=[ψ1,ψ2,…,ψNp]T

(24)

初步協(xié)方差矩陣定義為：

(25)

(26)

為了改善協(xié)方差矩陣，可使用如下矩陣平滑技術(shù)：

(27)

其中，J是Nq×Nq的交換矩陣，即：

(28)

參照公式(21)計(jì)算虛擬譜，但是區(qū)別于MUSIC-CC算法，矢量Γ(τ)按照如下公式得到：

Γ(τ)=[1,e-j2πΔfτ,…,e-j2πΔfτ(Np-1)]

(29)

2 仿真數(shù)據(jù)比較

本章通過(guò)仿真數(shù)據(jù)，對(duì)以上提到的五種距離超分辨算法的性能進(jìn)行對(duì)比。首先比較ARLS、IF和IAA算法。仿真中使用的信號(hào)是帶寬為5MHz，脈寬為100μs的線性調(diào)頻信號(hào)，且脈沖積累數(shù)為500，采樣率為20MS/s。假設(shè)有兩個(gè)來(lái)自于不同路徑的回波到達(dá)接收機(jī)，且兩路回波信號(hào)的到達(dá)時(shí)間差為100ns，即在當(dāng)前采樣率假設(shè)條件下為2個(gè)采樣點(diǎn)。

將帶內(nèi)信噪比依次設(shè)置為20dB，10dB和0dB，圖1(a)，圖1(b)和圖1(c)給出了傳統(tǒng)互相關(guān)算法、ARLS算法、IF算法和IAA算法的性能對(duì)比。由于信號(hào)帶寬為5MHz，傳統(tǒng)互相關(guān)算法可以獲得的時(shí)間分辨率為200ns，因此互相關(guān)算法輸出曲線上只有一個(gè)明顯的峰值。當(dāng)SNR設(shè)置為20dB時(shí)，ARLS、IF和IAA算法具有相似的結(jié)果；輸出曲線上可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)明顯的峰值，且峰值的間距為2個(gè)采樣點(diǎn)，分別對(duì)應(yīng)于兩路回波信號(hào)。當(dāng)SNR由20dB下降為10dB時(shí)，ARLS和IAA算法的性能基本維持不變，但是IF算法的旁瓣上升比較明顯。當(dāng)SNR下降為0dB時(shí)，只有IAA算法仍然維持較好的性能；IF算法雖然可以檢測(cè)出兩個(gè)峰值，但是其旁瓣電平比較高，將會(huì)導(dǎo)致弱小目標(biāo)無(wú)法檢測(cè)。

為了更好地展示算法的分辨率和估計(jì)精度，將原始的發(fā)射信號(hào)和接收信號(hào)進(jìn)行升采樣，升采樣系數(shù)為5，即等效的采樣率為100MS/s。將帶內(nèi)信噪比設(shè)置為20dB，圖2給出了傳統(tǒng)互相關(guān)算法、ARLS算法、IF算法和IAA算法的性能對(duì)比。IAA算法具有最高的分辨率和最低的旁瓣電平；ARLS算法和IF算法具有相近的分辨率。相較于圖1(a)，使用升采樣信號(hào)的IF算法具有更高的旁瓣電平，這是因?yàn)镮F算法對(duì)信號(hào)質(zhì)量較為敏感。使用ARLS、IF和IAA算法估計(jì)得到的TDOA分別為110ns、105ns和100ns，IAA算法具有最高的估計(jì)精度。

接下來(lái)比較兩種MUSIC算法的性能。將帶內(nèi)信噪比分別設(shè)置為20dB和0dB，圖3(a)和圖3(b)給出了傳統(tǒng)互相關(guān)算法、IAA算法、MUSIC-CC算法和MUSIC-CR算法的性能對(duì)比。需要注意的是，MUSIC算法的搜索間隔設(shè)置為10ns，即采樣點(diǎn)之間的間隔是10ns；為了獲得相同的采樣間隔，互相關(guān)算法和IAA算法中使用的信號(hào)的等效采樣率為100MS/s。由圖可見(jiàn)，IAA、MUSIC-CC和MUSIC-CR算法的分辨率遠(yuǎn)高于傳統(tǒng)互相關(guān)算法。IAA和MUSIC-CR算法具有類似的分辨率，且高于MUSIC-CC算法。當(dāng)信噪比從20dB下降到0dB時(shí)，MUSIC-CR算法的分辨率基本維持不變，但是MUSIC-CC算法的分辨率出現(xiàn)了較為明顯的下降。

將兩路回波信號(hào)之間的TDOA設(shè)置為50ns，SNR設(shè)置為20dB，圖4給出了傳統(tǒng)互相關(guān)算法、IAA、MUSIC-CC和MUSIC-CR算法的性能對(duì)比。MUSIC-CR和IAA算法可得到兩個(gè)明顯峰值，且峰值間凹口低于0.15(16dB)；MUSIC-CC算法的凹口較淺，只有3dB。

最后比較算法的計(jì)算量。ARLS和IAA算法直接使用了回波的時(shí)域信號(hào)。一般來(lái)說(shuō)，信號(hào)的時(shí)域采樣點(diǎn)數(shù)較多，公式(6)、(13)和(15)中矩陣的尺寸較大；另外，需要進(jìn)行矩陣求逆，導(dǎo)致算法計(jì)算量較大。IF、MUSIC-CC和MUSIC-CR算法使用的是回波的頻域信號(hào)，且僅使用了信號(hào)頻段內(nèi)的采樣點(diǎn)，因此計(jì)算量得到了明顯的下降。由于MUSIC-CR中使用了矩陣平滑技術(shù)，導(dǎo)致其計(jì)算量略微高于MUSIC-CC算法。

3 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)比較

實(shí)驗(yàn)中，使用NI的USRP-2953R發(fā)射和接收信號(hào)。同一臺(tái)USRP的發(fā)射端口與接收端口是完全時(shí)間同步以及頻率同步的。由于自然空間中，信號(hào)傳播路徑不可控，實(shí)驗(yàn)中利用不同長(zhǎng)度的傳輸線來(lái)構(gòu)造不同時(shí)延的回波信號(hào)，圖5給出了實(shí)驗(yàn)配置示意圖。USRP的發(fā)射端連接到功分器的輸入端，功分器的兩個(gè)輸出端分別通過(guò)不同長(zhǎng)度的線纜連接到合成器的兩個(gè)輸入端，合成器的輸出端連接到USRP的接收端。圖5中功分器和合成器之間的實(shí)現(xiàn)和虛線即表示兩條不同長(zhǎng)度的線纜。

發(fā)射信號(hào)是線性調(diào)頻脈沖串，其信號(hào)帶寬為5MHz，脈寬為100μs，脈沖積累數(shù)為500。發(fā)射端口和接收端口的采樣率均設(shè)置為20MS/s。采用兩種不同實(shí)驗(yàn)配置：

1)配置一：線纜長(zhǎng)度差為25m；

2)配置二：線纜長(zhǎng)度差為10m。

區(qū)別于自由空間，電磁波在線纜中的傳播速度不是3×108m/s，而是存在一定程度的衰減；根據(jù)廠商提供的資料，本實(shí)驗(yàn)中線纜的速度衰減為27%。因此，可以計(jì)算出配置一和配置二條件下，兩路回波信號(hào)的到達(dá)時(shí)間差分別是115ns和45ns。為了更好地模擬真實(shí)環(huán)境，在數(shù)據(jù)處理之前，接收機(jī)收到的信號(hào)額外疊加了高斯白噪聲，且信噪比設(shè)置為20dB。

圖6給出了不同配置條件下互相關(guān)算法、IAA算法和MUSIC-CR算法的性能對(duì)比。配置一中，25m線纜導(dǎo)致的信號(hào)幅度的衰減大概是20dB，即后抵達(dá)接收機(jī)的回波信號(hào)的幅度比早到回波的幅度低了約20dB。使用IAA算法時(shí)，雖然仍然可以探測(cè)到兩個(gè)峰值，但是對(duì)應(yīng)于第二路回波信號(hào)的峰值并不明顯；使用MUSIC-CR算法時(shí)，可以檢測(cè)出兩個(gè)明顯的峰值，虛擬譜中峰值的幅度與信號(hào)的強(qiáng)度沒(méi)有明顯的關(guān)系。配置二中，IAA算法和MUSIC-CR算法仍然可以將兩路到達(dá)時(shí)間差為45ns的信號(hào)分開(kāi)，即當(dāng)前SNR條件下，分辨率達(dá)到了傳統(tǒng)互相關(guān)算法(5MHz帶寬對(duì)應(yīng)的時(shí)間分辨率是200ns)的四倍以上。

不同配置條件下，使用IAA算法時(shí)，估計(jì)得到的到達(dá)時(shí)間差分別為120ns和50ns；使用MUSIC-CR算法時(shí)，估計(jì)得到的TDOA分別為130ns和60ns。IAA算法具有更高的估計(jì)精度，而MUSIC-CR算法的估計(jì)誤差較大。這是因?yàn)椋琈USIC-CR算法的輸入是信道響應(yīng)的估計(jì)值；該算法中信道響應(yīng)是直接由接收信號(hào)和發(fā)射信號(hào)傅里葉變換的比值估計(jì)得到的，因此，信道響應(yīng)估計(jì)的準(zhǔn)確度對(duì)信號(hào)質(zhì)量有較高的要求。雖然實(shí)驗(yàn)中發(fā)射端和接收端是直接通過(guò)線纜連接的，但是由于USRP硬件本身的限制，比如IQ通道不平衡等，接收信號(hào)仍然存在一定程度上的失真。

表1 性能對(duì)比

算法分辨率估計(jì)精度SNR需求計(jì)算量ARLS低低中高IF低中高低IAA高高低高M(jìn)USIC-CC中高中低MUSIC-CR高中低中

4 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)多種距離/時(shí)間超分辨算法進(jìn)行了比較和分析，主要包括了自適應(yīng)正則最小二乘法、逆濾波器法、迭代自適應(yīng)算法、基于互相關(guān)的MUSIC算法以及基于信道響應(yīng)的MUSIC算法。通過(guò)仿真數(shù)據(jù)和NI-USRP獲得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了各種算法的性能。表1從不同的指標(biāo)角度，詳細(xì)地比較了上述提到的算法，包括了分辨率、估計(jì)精度、信噪比需求和計(jì)算量。可見(jiàn)，所有的算法都是優(yōu)缺點(diǎn)并存的。總的來(lái)說(shuō)，自適應(yīng)正則最小二乘法和逆濾波器法的分辨率和估計(jì)精度相對(duì)較低；迭代自適應(yīng)算法和基于信道響應(yīng)的MUSIC算法具有最高的分辨率和最低的信噪比需求；迭代自適應(yīng)算法和基于互相關(guān)的MUSIC算法具有最高的估計(jì)精度，但是前者的計(jì)算量較大。另外，距離/時(shí)間超分辨算法對(duì)信號(hào)較為敏感，其算法性能需要自由空間信號(hào)的進(jìn)一步驗(yàn)證。