超分辨TOA/TDOA估計算法

高才才 丁 慶 藍永海

(深圳市華訊方舟微電子科技有限公司 廣東 深圳 518101)

0 引言

對于雷達和傳感器觀測系統而言，當被觀測目標處于密集目標環境中或者存在較強的多徑效應時，需要較高的距離或者角度分辨率，從而在空間維或者時間維上，分辨相鄰的目標或者區分直到信號與多次反射信號。為了估計每個信號源的到達角(Direct of Arrival，DOA)，且提高角度分辨率，研究者在空間維度上，提出了許多基于陣列天線的方法，比如最小方差無失真響應法(Minimum Variance DistortionlessResponse，MVDR)[1]、多信號分類算法(Multiple Signal Classification，MUSIC)[2]以及旋轉不變技術信號參數估計法(Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Technique，ESPRIT)[3]等。

在時間維度上，對于目標和輻射源定位而言，到達時間(Time of Arrival，TOA)和到達時間差(Time Difference of Arrival，TDOA)是尤其重要的參數。傳統的TOA/TDOA估計算法，一般基于匹配濾波或者互相關函數[4]，其距離分辨率與所使用信號的帶寬成反比，即可獲得的距離分辨率為c/2B，其中，c為自由空間中光傳播速度，B為信號帶寬。因此，較為直接且有效的增加距離分辨率的方法是增加TOA/TDOA估計中所使用的信號的帶寬。但是，在某些頻段，頻譜相對比較擁擠，很大一部分頻段已分配給其他應用，可使用的連續頻段受到一定的限制。另外，無源定位系統中，接收到的源于輻射源的信號一般不可知，且其帶寬是不可控的。

類似于角度超分辨算法，為了突破信號帶寬對距離分辨率的限制，已有學者提出了一些超分辨的TOA/TDOA估計算法。比如：自適應正則最小二乘法(Adaptive Regularization Least Squares，ARLS)[5-6]、逆濾波器法(Inverse Filter，IF)[7-8]、迭代自適應算法(Iterative Adaptive Approach，IAA)[9-10]、基于互相關函數的MUSIC算法(MUSIC using Cross-Correlation，MUSIC-CC)[11]以及基于信道響應的MUSIC算法(MUSICbased on Channel Response，MUSIC-CR)[12]等。在一定條件下，以上算法可得到的距離分辨率均可以突破c/2B的限制；且某些算法，比如MUSIC-CC，不需要已知發射信號的類型和參數。但是，沒有相關文獻對以上算法進行完整且詳細地歸納總結以及性能對比。本文中，我們首先對上述提及的算法進行了簡要的原理介紹，然后利用多種指標比較其性能，包括分辨率、估計精度、信噪比(Signal-to-Noise-Ratio，SNR)需求以及計算量等。性能對比中使用的數據既包括了仿真數據，也包括了通過軟件無線電平臺(Universal Software Radio Peripheral，USRP)發射和接收到的實測數據。

本文組織結構如下：第一章回顧了多種距離超分辨算法的基本原理和處理流程；第二章和第三章分別通過仿真數據和實驗數據，比較和分析了以上提到算法的性能；最后對全文進行了總結。

1 距離超分辨算法

假設發射信號為x(t)，則多目標或者多徑環境中的接收信號可以用如下公式表示：

(1)

其中，K表示目標或者信號傳播路徑的數量，ak和τk分別表示每路回波信號對應的幅度以及時延，n(t)表示高斯白噪聲。傳統算法中，通過發射信號和接收信號的互相關函數即可以估計TOA,公式如下：

(2)

距離超分辨算法中，公式(1)可以改寫為如下矩陣形式：

y=Ah+n

(3)

(4)

距離估計算法，轉換為通過估計信道響應矢量h，來獲得TOA的估計，且基于特定的處理算法提高估計值的分辨率和精度。

1.1 自適應正則最小二乘法(ARLS)

在高斯白噪聲的假設下，且如果AHA可逆，公式(2)的最小二乘解可以表示為：

(5)

(6)

其中，α是尺度參數，W為矢量w表示的對角矩陣。正則化后的二乘解為：

hi=(AHA+αWi)-1AHy

(7)

該算法實質上是自適應的對角加載，且加載量是通過迭代算法得到的。矢量wi可以通過如下公式得到：

(8)

其中，I為全1的向量，⊙表示點乘，γ和η為影響到算法收斂速度的參數。僅使用一個脈沖就可以估計出信道響應，但是可以通過多個脈沖的積累來提高信噪比，且積累后的信道響應可以表示為：

(9)

其中，L表示積累脈沖的個數，hl表示基于單個脈沖估計得到的信道響應。

1.2 逆濾波器法(IF)

不同于公式(2)中的矩陣乘積形式，接收信號也可以通過信號卷積的形式表示：

y(t)=x(t)·h(t)+n(t)

(10)

其中，h(t)為信道響應的時域表示，且可以通過沖擊響應表示[7]：

(11)

其中，bk=|ak[ejθk表示第k路信號的幅度和相位。假設Y(ω)和X(ω)分別表示接收信號和發射信號的頻域表示，即y(t)和x(t)的傅里葉變換，可以得到如下公式：

(12)

因此，信道響應的估計可以表示為：

(13)

其中，IFFT[·]表示傅里葉反變換。和自適應正則最小二乘法類似，IF算法也可以通過積累增加信噪比。

1.3 迭代自適應算法(IAA)

(14)

hi=[hi(1),hi(2),…,hi(M)]T

(15)

(16)

其中，A(:,m)表示公式(3)中矩陣A的第m列，diag(·)表示由對應矢量構成的對角矩陣。迭代算法的初始值可以由如下公式計算得到：

(17)

公式(16)需要進行矩陣求逆操作，為了避免出現奇異或者病態矩陣，需要進行對角加載處理。

1.4 基于互相關的MUSIC算法(MUSIC-CC)

該算法是基于原應用于角度超分辨的MUSIC算法的，其問題轉換為如何獲得協方差矩陣，即：

(18)

其中，Rl表示由每個脈沖估計得到的協方差矩陣，且可以表示為[10]：

(19)

XA=X⊙Y*

(20)

其中，(·)*表示復共軛。X和Y分別表示發射信號和接收信號傅里葉變換的采樣，即X(ω)和Y(ω)的采樣。需要注意的是，僅獲取了信號頻帶內的采樣。信號源的個數可以通過最小描述長度法(Minimum Description Length，MDL)估計。協方差矩陣的特征值分解可以表示為：

Rl=VΛsVH+UΛnUH

(21)

其中，Λs和Λn分別表示信號和噪聲對應的特征值矩陣，V和U分別表示信號和噪聲對應的特征向量矩陣。MUSIC-CC算法得到的虛擬譜為：

(22)

其中，Γ(τ)為如下公式定義的向量：

(23)

其中，Δf表示兩個連續采樣點之間的頻率間隔，Np表示XA的采樣點數。虛擬譜是時延τ的函數，可以通過譜上峰值的位置估計出信號對應的TOA。

1.5 基于信道響應的MUSIC算法(MUSIC-CR)

基于信道響應的MUSIC算法與前面提到的基于互相關函數的MUSIC算法類似，區別在于計算協方差矩陣的方式。和IF算法類似，信道響應是由頻域的發射信號和接收信號估計得到的[11]：

Ψ=Y/X=[ψ1,ψ2,…,ψNp]T

(24)

初步協方差矩陣定義為：

(25)

(26)

為了改善協方差矩陣，可使用如下矩陣平滑技術：

(27)

其中，J是Nq×Nq的交換矩陣，即：

(28)

參照公式(21)計算虛擬譜，但是區別于MUSIC-CC算法，矢量Γ(τ)按照如下公式得到：

Γ(τ)=[1,e-j2πΔfτ,…,e-j2πΔfτ(Np-1)]

(29)

2 仿真數據比較

本章通過仿真數據，對以上提到的五種距離超分辨算法的性能進行對比。首先比較ARLS、IF和IAA算法。仿真中使用的信號是帶寬為5MHz，脈寬為100μs的線性調頻信號，且脈沖積累數為500，采樣率為20MS/s。假設有兩個來自于不同路徑的回波到達接收機，且兩路回波信號的到達時間差為100ns，即在當前采樣率假設條件下為2個采樣點。

將帶內信噪比依次設置為20dB，10dB和0dB，圖1(a)，圖1(b)和圖1(c)給出了傳統互相關算法、ARLS算法、IF算法和IAA算法的性能對比。由于信號帶寬為5MHz，傳統互相關算法可以獲得的時間分辨率為200ns，因此互相關算法輸出曲線上只有一個明顯的峰值。當SNR設置為20dB時，ARLS、IF和IAA算法具有相似的結果；輸出曲線上可以發現兩個明顯的峰值，且峰值的間距為2個采樣點，分別對應于兩路回波信號。當SNR由20dB下降為10dB時，ARLS和IAA算法的性能基本維持不變，但是IF算法的旁瓣上升比較明顯。當SNR下降為0dB時，只有IAA算法仍然維持較好的性能；IF算法雖然可以檢測出兩個峰值，但是其旁瓣電平比較高，將會導致弱小目標無法檢測。

為了更好地展示算法的分辨率和估計精度，將原始的發射信號和接收信號進行升采樣，升采樣系數為5，即等效的采樣率為100MS/s。將帶內信噪比設置為20dB，圖2給出了傳統互相關算法、ARLS算法、IF算法和IAA算法的性能對比。IAA算法具有最高的分辨率和最低的旁瓣電平；ARLS算法和IF算法具有相近的分辨率。相較于圖1(a)，使用升采樣信號的IF算法具有更高的旁瓣電平，這是因為IF算法對信號質量較為敏感。使用ARLS、IF和IAA算法估計得到的TDOA分別為110ns、105ns和100ns，IAA算法具有最高的估計精度。

接下來比較兩種MUSIC算法的性能。將帶內信噪比分別設置為20dB和0dB，圖3(a)和圖3(b)給出了傳統互相關算法、IAA算法、MUSIC-CC算法和MUSIC-CR算法的性能對比。需要注意的是，MUSIC算法的搜索間隔設置為10ns，即采樣點之間的間隔是10ns；為了獲得相同的采樣間隔，互相關算法和IAA算法中使用的信號的等效采樣率為100MS/s。由圖可見，IAA、MUSIC-CC和MUSIC-CR算法的分辨率遠高于傳統互相關算法。IAA和MUSIC-CR算法具有類似的分辨率，且高于MUSIC-CC算法。當信噪比從20dB下降到0dB時，MUSIC-CR算法的分辨率基本維持不變，但是MUSIC-CC算法的分辨率出現了較為明顯的下降。

將兩路回波信號之間的TDOA設置為50ns，SNR設置為20dB，圖4給出了傳統互相關算法、IAA、MUSIC-CC和MUSIC-CR算法的性能對比。MUSIC-CR和IAA算法可得到兩個明顯峰值，且峰值間凹口低于0.15(16dB)；MUSIC-CC算法的凹口較淺，只有3dB。

最后比較算法的計算量。ARLS和IAA算法直接使用了回波的時域信號。一般來說，信號的時域采樣點數較多，公式(6)、(13)和(15)中矩陣的尺寸較大；另外，需要進行矩陣求逆，導致算法計算量較大。IF、MUSIC-CC和MUSIC-CR算法使用的是回波的頻域信號，且僅使用了信號頻段內的采樣點，因此計算量得到了明顯的下降。由于MUSIC-CR中使用了矩陣平滑技術，導致其計算量略微高于MUSIC-CC算法。

3 實驗數據比較

實驗中，使用NI的USRP-2953R發射和接收信號。同一臺USRP的發射端口與接收端口是完全時間同步以及頻率同步的。由于自然空間中，信號傳播路徑不可控，實驗中利用不同長度的傳輸線來構造不同時延的回波信號，圖5給出了實驗配置示意圖。USRP的發射端連接到功分器的輸入端，功分器的兩個輸出端分別通過不同長度的線纜連接到合成器的兩個輸入端，合成器的輸出端連接到USRP的接收端。圖5中功分器和合成器之間的實現和虛線即表示兩條不同長度的線纜。

發射信號是線性調頻脈沖串，其信號帶寬為5MHz，脈寬為100μs，脈沖積累數為500。發射端口和接收端口的采樣率均設置為20MS/s。采用兩種不同實驗配置：

1)配置一：線纜長度差為25m；

2)配置二：線纜長度差為10m。

區別于自由空間，電磁波在線纜中的傳播速度不是3×108m/s，而是存在一定程度的衰減；根據廠商提供的資料，本實驗中線纜的速度衰減為27%。因此，可以計算出配置一和配置二條件下，兩路回波信號的到達時間差分別是115ns和45ns。為了更好地模擬真實環境，在數據處理之前，接收機收到的信號額外疊加了高斯白噪聲，且信噪比設置為20dB。

圖6給出了不同配置條件下互相關算法、IAA算法和MUSIC-CR算法的性能對比。配置一中，25m線纜導致的信號幅度的衰減大概是20dB，即后抵達接收機的回波信號的幅度比早到回波的幅度低了約20dB。使用IAA算法時，雖然仍然可以探測到兩個峰值，但是對應于第二路回波信號的峰值并不明顯；使用MUSIC-CR算法時，可以檢測出兩個明顯的峰值，虛擬譜中峰值的幅度與信號的強度沒有明顯的關系。配置二中，IAA算法和MUSIC-CR算法仍然可以將兩路到達時間差為45ns的信號分開，即當前SNR條件下，分辨率達到了傳統互相關算法(5MHz帶寬對應的時間分辨率是200ns)的四倍以上。

不同配置條件下，使用IAA算法時，估計得到的到達時間差分別為120ns和50ns；使用MUSIC-CR算法時，估計得到的TDOA分別為130ns和60ns。IAA算法具有更高的估計精度，而MUSIC-CR算法的估計誤差較大。這是因為，MUSIC-CR算法的輸入是信道響應的估計值；該算法中信道響應是直接由接收信號和發射信號傅里葉變換的比值估計得到的，因此，信道響應估計的準確度對信號質量有較高的要求。雖然實驗中發射端和接收端是直接通過線纜連接的，但是由于USRP硬件本身的限制，比如IQ通道不平衡等，接收信號仍然存在一定程度上的失真。

表1 性能對比

算法分辨率估計精度SNR需求計算量ARLS低低中高IF低中高低IAA高高低高MUSIC-CC中高中低MUSIC-CR高中低中

4 結束語

本文對多種距離/時間超分辨算法進行了比較和分析，主要包括了自適應正則最小二乘法、逆濾波器法、迭代自適應算法、基于互相關的MUSIC算法以及基于信道響應的MUSIC算法。通過仿真數據和NI-USRP獲得的實驗數據驗證了各種算法的性能。表1從不同的指標角度，詳細地比較了上述提到的算法，包括了分辨率、估計精度、信噪比需求和計算量。可見，所有的算法都是優缺點并存的。總的來說，自適應正則最小二乘法和逆濾波器法的分辨率和估計精度相對較低；迭代自適應算法和基于信道響應的MUSIC算法具有最高的分辨率和最低的信噪比需求；迭代自適應算法和基于互相關的MUSIC算法具有最高的估計精度，但是前者的計算量較大。另外，距離/時間超分辨算法對信號較為敏感，其算法性能需要自由空間信號的進一步驗證。