對合情推理的思與行

嚴彪

[摘要]學生推理能力的發展應貫穿于整個數學學習過程。由兩次“加法運算律”的對比教學得出，引導學生進行合情推理，培養學生思必有源、推必有理、言必有據的思維品質，才能真正落實學生數學核心素養的培養目標。

[關鍵詞]加法運算律;合情推理;類比推理;歸納推理

[中圖分類號]

G623.5

[文獻標識碼]A

[文章編號] 1007-9068（ 2019）35-0067-02

推理是由一個或幾個已知判斷（前提）推出新判斷（結論）。推理在數學中則更純粹、更直接，也更徹底，它是數學基本的，也是主要的思維方式，從這一角度來看，數學教學活動的過程可以視作數學推理教學的過程。

關于推理，依據不同的分類標準，其分類結果也各不相同。課程標準指出：推理一般包括合情推理和演繹推理。小學階段是學生推理能力發展與形成的重要時期，針對小學生的思維特征和數學知識的特點，小學數學中的推理及其教學具有一定的特殊性。

合情推理是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結果。它是一種合乎情理的推理，常與感知、遷移、聯想和想象等心理活動相伴，其過程也體現思維的跳躍性和結論的或然性。因此，它不但是啟動和推進思維的小船，還能幫助學生發現事物的規律，給學生提供研究的線索和思路，從而猜想和發現結論。

【教學片段】加法交換律

第一次教學

師：28個男生跳繩，17個女生跳繩，跳繩的有多少人？解決這個問題時你是怎樣想的？

生1：把男、女生人數合起來，就是跳繩總人數。

師：能用數量關系式來表示解題思路嗎？

生2：男生跳繩人數+女生跳繩人數=跳繩總人數。

生3：女生跳繩人數+男生跳繩人數=跳繩總人數。

生4：男生跳繩人數+女生跳繩人數=女生跳繩人數+男生跳繩人數。

師：能列式計算嗎？

生5：28+17=45。

生6：17+28=45，即28+17=17+28。

師：你能再寫幾個這樣的等式嗎？（類比推理）

（學生匯報;教師評價學生寫出的等式）

第二次教學

師：還記得我們很小的時候是怎樣做加法的嗎？（如圖1）兩盤一共有多少個桃？

師：要求一共有多少個桃，我們常常是這樣數的。從左往右數，得到3+2=5;也可以倒過來數，得到2+3=5。你從中發現了什么？

生1：3+2=2+3。

師：明明是交換加數的位置，為什么結果都不變呢？

生2：無論先數哪一堆，桃子總量保持不變。

師：（如圖2）改變數的先后順序，桃子的總量會不會變化呢？

生3：這回不用數，可以列式計算。28+17=45。

生4：17+28=45，即28+17=17+28。

師：（如圖3-1）如果桃子的數量再增加，多到數也數不清;（如圖3-2）或者是桃子的數量減少，少到只剩下零零碎碎的部分，還是求一共有多少個桃。數的順序改變，桃子的總量會改變嗎？

師：我們得出的幾道算式中，交換加數的位置后和不變。像這樣的情況，還能舉出別的例子嗎？

生5：3+2=2+3。

生6：28+17=17+28。

生7：1/2+1/4=1/4+1/2。

師：觀察、比較這些等式，你有什么發現？

生8：兩數相加，交換加數的位置，和不變。

師：為了表示這無窮多的情況，可以用字母來表示。用a+b表示任意兩個數相加，交換加數的位置就變成了b+a，結果不變。這條加法運算律就可以寫成a+b=b+a，它就叫作“加法交換律”。

【評析：類比推理簡稱類推、類比，是從特殊到特殊的推理。它是兩個或兩類對象在某些屬性相同或相似的前提下，通過比較而推斷出它們在其他屬性上也相同或相似的結論。上述的兩次教學都是在同類對象之間進行推理的，學生“再寫幾道這樣的等式”，都是以對象所具有的“兩數相加，交換位置”的共同屬性為前提，推出它們具有相同屬性，即“和不變”的結論。其中，第一次教學中的類比推理顯得層次單一，而第二次教學中的類比推理則從有限到無限，從整數到非整數，在都具有“兩數相加，交換位置”的共同屬性的前提下，推出它們都具有“和不變”的共同屬性。通過這樣層層遞進、螺旋上升的思維訓練，學生自然而然地學會用推理去分析和解決問題。

類比推理在思維方面是橫向的，雖然推出的結論可能是或然的，但它有提供思路，進而引出猜想、發現結論的效用。在教學活動中，學生常常需要聯系新舊知識的某些相同或相似之處進行類比遷移、自主探索。如蘇教版教材五年級下冊轉化策略中的要求“1/2+1/4+1/8+1/16”

的結果，就可以運用數形結合的數學思想，將其轉化為“把正方形看作單位‘1，求其中的涂色部分”來解決;求“15+16+17+18+19+20+21+22+23+24”這幾個連續自然數的和時，運用遷移的規律，將求“幾個連續自然數的和”轉化為求“上底15、下底24、高10的梯形的面積”。以上類比推理，都是在兩類不同對象具有“數列中各數之間有一定的規律”這一相似屬性的前提下，推出它們又都具有相同屬性——可以轉化成相應的圖形面積的結論。】

【教學片段】加法結合律

師：之前是增加每堆桃的個數，如果增加桃子的堆數呢（如圖4）？

生1：28+17+23=68。

生2：17+28+23=68。

生3：28+（17+23）=68。

生4：17+23+28=68。

師：對于28+17+23=68和17+28+23=68，你有什么想法？

生5：結果相同，位置改變，說明加法交換律也適用于三個數相加。

師：對于28+（17+23）=68和17+28+23=68，你有什么想法？這樣兩個算式什么相同，什么又不同了呢？是什么變化了呢？

生6：多了小括號，順序就變了。先數前兩堆，或先數后兩堆，并不改變桃子的總量。

生7：不需要再計算，桃子的總量肯定不會變化，因為桃子的總數不會因為數的先后順序而發生變化。

生8：也就是說，像（28+17）+23=28+（17+23）這樣的算式，我們還可以寫出很多很多。

生9：如果用a+b+c來表示任意的三個數相加，那么改變運算的順序，結果不變。可以表示為（a+b）+c=a+（b+c），這個規律就叫作“加法結合律”。

師：加法交換律和加法結合律，統稱為“加法運算律”。

【評析：歸納是通過對某類事物中的若干特殊情形的分析得出一般結論的思維方法，歸納推理則是由特殊到一般的推理，是以個別對象的屬性為前提，推出此類對象一般屬性的結論。歸納推理都是以各自之前的每一個類比推理中具有特殊或個性屬性的結論為前提，得出具有一般和共性屬性的結論，即“兩數相加，交換加數的位置，和不變”與“三個數相加，改變運算的順序，和不變”。而“加法運算律”也是對“加法交換律”和“加法結合律”的歸納概括。歸納推理又可以分為完全歸納推理和不完全歸納推理。】

【總評】

1.自主推理，替代被動接受

小學數學中有許多定理和規則。對于規則的教學，可以直陳其然，但對小學生來說，這是一種簡單的、被動的接受性學習。要有利于學生的認知和思維的發展，就應賦規則教學以理性思考。教師應積極尋找和發掘教材中適合學生推理的內容，善于引導學生從對象的現象到本質進行思考和推理，或由因導果，或執果索因，并有意識地培養學生思必有源、推必有理、言必有據的思維品質，使學生“在游泳中學會游泳”，在運用和思辨中發展能力，在感悟和積累中逐步形成關于推理的數學核心素養。

2.借助推理，培養創新意識

推理的過程常常伴隨著聯想和遷移等心理活動。開展推理活動，尤其是合情推理活動，也利于培養學生的創新意識。讓學生在推理活動中憑借直覺、運用遷移、展開聯想、發揮想象，乃至突發靈感、達成頓悟，得出創新性的結論或觀點。雖然這些結論或觀點可能是粗糙的，但經過一定的加工和完善，也許就成了學生學習中和思維上的金點子。

（責編金鈴）