基于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的《正態(tài)分布》教學(xué)設(shè)計(jì)

素質(zhì)教育在傳授知識(shí)的同時(shí)，更加注重能力的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)。高中生面對(duì)實(shí)際背景豐富的問題往往無從下手，這就需要在教學(xué)中滲透方法，引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，并運(yùn)用所學(xué)知識(shí)求解模型。

1 內(nèi)容解析

正態(tài)分布是高中階段唯一一種連續(xù)型分布，課程安排在離散型隨機(jī)變量及其分布之后，是概率知識(shí)的重要組成，又是統(tǒng)計(jì)學(xué)的基石，在數(shù)學(xué)、物理、工程等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。

正態(tài)分布的教學(xué)中要把握以下幾個(gè)問題：（1）服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的特征；（2）正態(tài)分布密度曲線的特點(diǎn)；（3）正態(tài)分布的特點(diǎn)。

2 教學(xué)目標(biāo)

（1）觀察高爾頓板試驗(yàn)，分析數(shù)據(jù)分布的特點(diǎn)，建立鐘形曲線的直觀印象。

（2）理解正態(tài)分布密度曲線函數(shù)解析式的由來，借助圖形分析曲線特點(diǎn)，理解兩個(gè)參數(shù)的含義。

（3）能運(yùn)用正態(tài)分布解決一些簡(jiǎn)單的問題。

3 教學(xué)問題診斷

在高中階段推導(dǎo)得出正態(tài)分布密度曲線有難度，因而需要考慮學(xué)生的情況，設(shè)置合理過渡幫助學(xué)生理解。對(duì)于該部分內(nèi)容的考察不會(huì)設(shè)置很難的題目，應(yīng)還原正態(tài)分布曲線密度曲線的形成，注重學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)。

4 教學(xué)過程設(shè)計(jì)

4.1 情境引入，發(fā)現(xiàn)問題

問題1 生活中我們習(xí)以為常的偶然現(xiàn)象中往往存在著必然規(guī)律。因?yàn)楦鞣N偶然因素而最終聚在一個(gè)班的我們，身邊又有什么必然現(xiàn)象呢？列出在課前收集到的全班同學(xué)身高數(shù)據(jù)，如何分析身高的分布情況？

設(shè)計(jì)意圖 對(duì)于實(shí)際問題，可以用數(shù)學(xué)方法建立模型，描述其特點(diǎn)。引導(dǎo)學(xué)生畫頻率分布直方圖分析數(shù)據(jù)，總結(jié)數(shù)據(jù)的分布特點(diǎn)：中間多，兩邊少。讓同學(xué)們列舉生活中同樣具有這樣形態(tài)特點(diǎn)的現(xiàn)象，激發(fā)學(xué)生的好奇心，去積極探索偶然現(xiàn)象中的必然規(guī)律。

4.2 講授新知，分析問題

問題2 達(dá)爾文的《物種起源》問世后，他的表弟高爾頓（Galton，1822-1911）同時(shí)也是生物統(tǒng)計(jì)學(xué)派的奠基人，嘗試用統(tǒng)計(jì)方法研究遺傳進(jìn)化問題，設(shè)計(jì)了一個(gè)叫高爾頓板的裝置模擬這種現(xiàn)象。

裝置介紹：如圖1所示，一塊木板上釘著若干相互平行且相互錯(cuò)開的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ溃懊鎿跤幸粔K玻璃。

讓小球從上方通道口落下，與層層的小木塊碰撞，最終落入下方的某一球槽中。打開高爾頓板試驗(yàn)?zāi)M器，運(yùn)行后模擬結(jié)果如圖1所示，引導(dǎo)學(xué)生建立橫、縱坐標(biāo)，繼續(xù)使用頻率分布直方圖來分析小球分布情況。

設(shè)計(jì)意圖 正態(tài)分布的模擬需要大量數(shù)據(jù)，課堂上不好實(shí)現(xiàn)，高爾頓板是一個(gè)很好的載體。對(duì)數(shù)學(xué)史進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，有利于主動(dòng)參與解決問題。對(duì)于數(shù)據(jù)特征并不明顯的實(shí)際問題，我們也可以尋找切入點(diǎn)，合理建立分析模型，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)化，運(yùn)用所學(xué)，轉(zhuǎn)化為已知問題。

問題3 如果在高爾頓板試驗(yàn)中，增加小球數(shù)量，試驗(yàn)結(jié)果會(huì)呈現(xiàn)什么特點(diǎn)？如何分析小球的分布？在使用頻率分布直方圖時(shí)，應(yīng)該做怎樣的調(diào)整？

設(shè)計(jì)意圖 對(duì)于直觀看到的實(shí)際問題，使學(xué)生熟悉數(shù)學(xué)化的方式，養(yǎng)成數(shù)學(xué)建模分析問題的習(xí)慣。學(xué)生對(duì)于正態(tài)分布密度曲線的得到是教學(xué)難點(diǎn)，結(jié)合試驗(yàn)演示，觀察實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分布變化特點(diǎn)，合理引出，理解曲線與頻率分布直方圖之間的聯(lián)系。

問題4 結(jié)合剛才的分析，正態(tài)分布密度曲線有什么特點(diǎn)呢？

設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生把握正態(tài)分布密度曲線的特點(diǎn)：

（1）位置：軸上方，與軸不相交；

（2）對(duì)稱性：?jiǎn)畏澹P(guān)于直線對(duì)稱；

（3）峰值：在處達(dá)到峰值；

（4）曲線與軸之間的面積：1.

（5）參數(shù)和對(duì)曲線的影響：

問題5 如果去掉高爾頓板底部的球槽，并沿其底部建立一個(gè)水平坐標(biāo)軸。用表示落下的小球第1次與高爾頓板底部接觸時(shí)的坐標(biāo)，是隨機(jī)變量嗎？是離散型隨機(jī)變量嗎？落在區(qū)間的概率是多少？

設(shè)計(jì)意圖 通過這些問題的思考，數(shù)學(xué)模型進(jìn)一步細(xì)化，使學(xué)生理解連續(xù)型隨機(jī)變量與離散型隨機(jī)變量的不同，在某點(diǎn)處的概率值為0。在大量重復(fù)試驗(yàn)中，隨機(jī)變量落在某個(gè)區(qū)間的頻率可以近似等于相應(yīng)概率，即對(duì)應(yīng)區(qū)間曲邊梯形的面積，可以用已經(jīng)學(xué)過的定積分來求：

接下來便可以引出正態(tài)分布的數(shù)學(xué)定義：

一般地，如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量滿足

則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布。正態(tài)分布完全由參數(shù)μ和σ確定，因此正態(tài)分布常記作。如果隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則記為。

在完成這一步之后，可以對(duì)德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯（C.F.Gauss，1777-1855）與正態(tài)分布的淵源予以介紹，相關(guān)數(shù)學(xué)史內(nèi)容的添加使得數(shù)學(xué)課堂更加豐滿。

問題6 什么樣的隨機(jī)變量服從正態(tài)分布？

設(shè)計(jì)意圖 數(shù)學(xué)源于生活，用于生活。通過對(duì)高爾頓板試驗(yàn)特點(diǎn)的分析，總結(jié)服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的特點(diǎn)，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)給我們生活帶來的巨大便利，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)能幫助我們理清思路、化繁為簡(jiǎn)。

4.3 小試牛刀，鞏固所學(xué)

某地區(qū)數(shù)學(xué)考試的成績(jī)服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)曲線如圖所示。

（1）指出和；

（2）計(jì)算的值；

（3）計(jì)算成績(jī)位于區(qū)間的概率，即的值；

（4）計(jì)算的值；

（5）若，求的值；

（6）計(jì)算的值。

設(shè)計(jì)意圖 通過具體問題的解決，進(jìn)一步了解正態(tài)分布的特點(diǎn)，能夠簡(jiǎn)單運(yùn)用。

4.4 課堂小結(jié)，回顧感悟

（1）理解正態(tài)分布密度曲線和正態(tài)分布的特點(diǎn)，會(huì)簡(jiǎn)單運(yùn)用正態(tài)分布解問題。

（2）對(duì)于生活中的實(shí)際問題，觀察特點(diǎn)，建立數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用已學(xué)知識(shí)進(jìn)行數(shù)量化分析，掌握分析問題的思路和方法，才能更加受益無窮。

5 教學(xué)反思

《正態(tài)分布》涉及知識(shí)點(diǎn)較多，如果不注重新知引入，將無法在學(xué)生現(xiàn)有水平下將概念本質(zhì)滲透，學(xué)生腦海中所接收到的信息呈現(xiàn)出碎片化的特點(diǎn)，不利于理解及應(yīng)用，而且不利于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣的培養(yǎng)。

本節(jié)課在知識(shí)考察上難度不大，在教學(xué)中應(yīng)注重能力培養(yǎng)，而不僅僅是知識(shí)傳授。數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)能幫助我們剖析問題的特點(diǎn)，將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，利用數(shù)學(xué)的方法來分析問題。為促進(jìn)學(xué)生對(duì)于知識(shí)的整體把握，還可補(bǔ)充與正態(tài)分布與二項(xiàng)分布之間的聯(lián)系。

作者簡(jiǎn)介：王咪咪（1992.1—），女，陜西渭南，陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，2017級(jí)碩士，學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）。