壓電陶瓷疊層作動器遲滯蠕變非線性自適應混合補償控制方法

趙天，楊智春，劉昊，Kassem MOHAMMED，王巍

西北工業大學 航空學院，西安 710072

壓電陶瓷作為一種新型功能材料在航空航天領域中如結構抖振主動控制、伺服氣彈、能量回收等方面得到了廣泛的應用[1-2]。壓電陶瓷作動器是利用壓電材料的逆壓電特性，在輸入電壓或電流的作用下產生形變，達到機械運動的目的，因而能保證納米級分辨率運動，有著傳統電機驅動不可比擬的優勢。但是，壓電陶瓷作動器在輸入信號和輸出位移關系上存在復雜的遲滯非線性(Hysteresis Nonlinearities)[3]。該遲滯非線性表現為多值映射性、記憶性以及率相關動態遲滯特點[4]。在主動控制應用中，壓電作動器的遲滯蠕變非線性特性輕則影響控制系統的控制效果，重則降低系統的穩定性甚至導致控制系統失效。因此，壓電陶瓷作動器的遲滯蠕變補償控制方法的研究對提高主動控制系統穩定性以及控制精度具有重要的理論意義和實踐意義。

目前遲滯模型大致可分為基于遲滯算子的遲滯模型與基于微分方程的遲滯模型。基于遲滯算子的遲滯模型通常為簡單的分段線性遲滯環，需要多個基本算子的疊加來增加遲滯曲線光滑程度，如Preisach模型[5-6]、Prandtl-Ishlinskii (PI)模型[7-8]、Krasnosel’skii-Pokrovskii (KP)模型[9]等，但這些模型都存在著模型參數較多難以辨識、形式復雜以及無法反映遲滯現象的動態效應等缺點。基于微分方程的遲滯模型，如Dahl模型[10]、Bouc-Wen模型[11-12]、Duhem模型[13]等，可以反映遲滯動態特性，但也存在對壓電陶瓷遲滯特性描述不完整的缺點。

關于壓電作動器的遲滯蠕變補償研究，常用的方法是構造逆遲滯模型進行前饋補償。但理論上難以建立精確的逆模型，同時在實際工程應用中，輸入信號的變化以及環境因素會降低其補償精度。第2種是直接補償控制[14]，即直接設計控制器對遲滯蠕變特性進行補償控制。不需進行復雜的遲滯逆模型求解，同時可以根據參數變化進行動態補償控制，但存在控制器設計復雜、控制精度較差等缺點。另外，也有學者開展反饋控制策略的研究，如PID控制[15]、滑模控制[16]、魯棒控制[17]等。

本文提出了一種遲滯逆模型前饋補償與自適應濾波器反饋補償控制相結合的前饋-反饋混合補償方法，對壓電作動器遲滯蠕變非線性進行補償控制。基于有限脈沖響應(FIR)橫向濾波器結構的最小均方差算法，設計得到自適應濾波器進行控制反饋。并進行自適應混合補償控制實驗研究，與常規前饋補償進行對比，驗證本文方法的有效性及其在動態特性與跟蹤精度方面所具有的優勢。

1 改進PI遲滯蠕變模型

PI模型結構簡單，參數較少，且存在解析的逆模型，在遲滯非線性的建模及補償問題研究中得到較為廣泛的應用。由于傳統的PI模型具有奇對稱性，對實際的非對稱遲滯曲線描述不準確，在開環逆遲滯補償控制中對期望位移的跟蹤精度不高[18]。因此，為了精確描述非對稱的遲滯非線性特性，本節采用改進的PI遲滯蠕變(MPI)模型，并構造出相應的逆解析模型。

1.1 遲滯建模

遲滯算子H可由nH+1個基本play算子的線性加權積分得到[19]：

(1)

式中：wHi為權系數；rHi為閾值；zH0i(i=0,1,…,nH)為初值。play算子定義為分段單調時間區間t0≤t1≤…≤tj≤t≤tj+1≤…≤te的輸入信號的遞推關系，即

zH(t)=max{x(t)-rH,min{x(t)+rH,zH(tj)}}

(2)

其中：初值為

zH(t0)=max{x(t0)-rH,

min{x(t0)+rH,zH(t0)}}

(3)

疊加算子S描述遲滯算子H的奇對稱特性的偏差，可由2nS+1個SrS算子加權線性疊加[20]而得:

(4)

式中：wS i為權系數；rS i為閾值。

MPI遲滯算子定義為由遲滯算子H和疊加算子S的串聯，式(6)以向量的形式表示:

Γ[x](t)=S[H(x)](t)

(5)

(6)

式中：HrH和SrS分別為nH+1維遲滯算子向量和2nS+1疊加算子向量；wH和wS分別為相應的權系數向量；zH0為遲滯算子的初值向量。

1.2 lg(t)型蠕變建模

壓電作動器的輸出位移對時間的蠕變效應稱為蠕變特性，其位移蠕變與時間呈對數變化關系，即lg(t)型蠕變動態過程，可以由lg(t)型蠕變算子描述[21]：

(7)

式中：m為蠕變特征值個數

lg(t)型蠕變算子zK(t)=KrKaK[x,zK0](t)為式(8)所示非線性微分方程的唯一解。

min{x(t)-zK(t)+rK,0}}

(8)

式中：zK0為初值；rK∈R+為權系數；aK∈R+為蠕變特征值。

(9)

式中：Ts為時間序列的最小間隔。

MPI蠕變算子由nK+1個閾值為rKi的lg(t)型蠕變算子加權疊加得到：

(10)

式中：wKi為權系數，rKi為閾值。

將MPI蠕變算子與MPI遲滯算子結合起來，就得到MPI遲滯蠕變模型，可以完整地描述非線性過程中的遲滯特性和lg(t)型蠕變特性。

Γ[x](t)=S[H[x]+K[x]](t)=

(11)

式中：KrK為nK+1維蠕變算子向量；wK為蠕變算子權系數向量；zK0為蠕變算子的初值向量。

2 自適應混合補償控制

2.1 遲滯蠕變補償模型

采用逆模型控制理論補償壓電作動器遲滯蠕變非線性的基本思想為：建立遲滯蠕變逆模型，并將期望的輸出信號作為逆模型的輸入信號，將逆模型的輸出作為平臺的控制信號，使得期望輸出位移信號經過逆模型與平臺之后，可以實現輸入信號與輸出信號一一映射的線性關系[22]：

Γ-1[y](t)=H-1[S-1[y]](t)=

(12)

(13a)

(13b)

i=1,2,…,nH

(13c)

(13d)

(13e)

2.2 MPI遲滯蠕變模型參數辨識方法

基于測試得到的輸入信號x(t)以及其相應的輸出信號y(t)，建立MPI遲滯蠕變模型Γ及其逆模型Γ-1的誤差模型為

E[x,y](t)=H[x](t)+

K[x](t)-S-1[y](t)=

(14)

(15)

(16)

(17)

zH0i=0i=0,1,…,nH

(18)

zK0i=0i=0,1,…,nK

(19)

arg min{V(w)}

(20)

式中：

2.3 自適應混合補償控制方法

自適應濾波器主要包括數字濾波器和自適應算法2部分，數字濾波器通過自適應算法不斷調整濾波器的權系數以提高其信號處理的性能。自適應濾波器的結構分為有限脈沖響應(Finite Impulse Response, FIR) 形式與無限脈沖響應(Infinite Impulse Response, IIR) 形式。其中，FIR形式的濾波器只包含零點，具有結構簡單、始終穩定且能實現線性相位等特性的優勢。FIR自適應橫向濾波器的結構原理如圖1所示。

為提高系統跟蹤精度和抗干擾能力，在MPI逆模型前饋補償的基礎上，基于FIR橫向濾波器結構的最小均方差算法(LMS)設計自適應濾波主動控制器。以最小化誤差函數為目標，通過修正施加給壓電陶瓷作動器的電壓信號，以達到對輸出信號的精確動態跟蹤，如圖2所示。圖2中：yd(t)為參考輸入信號；y(t)為實際系統的輸出信號；e(t)為誤差信號；xc(t)為經過遲滯蠕變逆模型后轉化的電壓信號；xf(t)為自適應算法計算得到的反饋電壓信號；x(t)為用自適應混合補償控制方法得到的控制電壓輸入信號。

圖1 FIR橫向濾波器的結構原理圖Fig.1 Structure schematic of FIR transversal filter

圖2 自適應混合補償控制方法框圖Fig.2 Block diagram of adaptive hybrid compensation control method

通過建立自適應濾波反饋控制器，建立了遲滯蠕變逆模型前饋補償與自適應反饋控制結合的前饋-反饋混合補償控制方法。前饋補償在MPI遲滯蠕變辨識模型的基礎上，構造遲滯蠕變補償模塊，用來補償壓電陶瓷作動器的非線性特性。利用遲滯輸出量與參考信號構造的誤差函數建立自適應遲滯反饋補償控制器。其中，前饋補償能夠快速減弱遲滯特性，而自適應濾波反饋則可以提高補償控制的動態精度。

3 壓電作動器遲滯蠕變補償控制實驗

3.1 遲滯蠕變特性驗證實驗

實驗選用為壓電陶瓷疊層作動器，其型號為PITM PICMA P-080.391，其輸入電壓量程為-20～ 100 V，輸出應變量程為-100～800 με。實驗采用應變測試手段，沿壓電陶瓷疊層作動器軸向粘貼應變片，通過應變信號間接測量壓電陶瓷疊層作動器的輸出位移，即上文中y(t)為壓電陶瓷疊層作動器輸出應變值。通過信號發生器產生交變電壓，通過壓電陶瓷疊層作動器功放放大，施加在作動器上，作動器在逆壓電效應作用下發生變形，進而利用應變片測量變形數據，通過動態應變儀以及采集系統進行采集，同時記錄驅動電壓信號。壓電陶瓷疊層作動器遲滯蠕變特性測試與補償控制系統的實驗布置如圖3所示。

實驗和仿真采用的采樣頻率為8 192 Hz，MPI模型參數辨識中采用算子個數分別為：nH=10、nK=10、nS=2、m=5。由于壓電作動器遲滯非線性表現出記憶性、率相關性等復雜動態特性，因而MPI模型的權系數會隨著輸入信號的幅值和頻率的變化而變化。為了驗證不同輸入信號下MPI模型對遲滯蠕變曲線模擬的準確性，實驗采用的輸入信號為x=A[1+sin(2πft)]，其中：A為 輸入電壓幅值；f為輸入電壓頻率。分別進行輸入信號為f=10 Hz,A=50, 80, 100 V，以及A=100 V,f=15, 20 Hz的壓電作動器輸入輸出特性實驗。分析對比不同電壓幅值和不同電壓頻率下MPI模型參數辨識結果的仿真精度。

圖4給出了輸入信號f=10 Hz、A=100 V時的壓電作動器電壓-應變關系特性曲線。圖5給出了輸入信號f=10 Hz、A=100 V時MPI模型仿真結果與實驗結果的誤差，可以看到誤差在1%左右，表明MPI模型能夠精確地描述壓電陶瓷疊層作動器的輸出特性。對比圖4～圖7不同電壓頻率和幅值下實驗測試得到的壓電陶瓷疊層作動器輸入輸出特性曲線，可以看到MPI模型能夠對不同驅動電壓下壓電陶瓷疊層作動器的遲滯蠕變現象作出較為理想的表征，并且具有較好的仿真精度。

圖3 壓電作動器遲滯蠕變特性測試與補償控制實驗Fig.3 Test of hysteresis characteristics and compensation control experiment of piezoelectric actuator

圖4 電壓-應變關系的仿真與實驗對比Fig.4 Comparison of simulation and exprimental voltage-strain relation

圖5 MPI模型仿真結果與實驗結果的誤差Fig.5 Errors of MPI model simulation and experimental results

圖6 f=10 Hz不同電壓幅值下MPI 模型仿真與實驗結果對比Fig.6 Comparison of MPI model simulation and experimental results with different voltage amplitudes at f=10 Hz

圖7 A=100 V不同電壓頻率下MPI模型 仿真結果與實驗結果對比Fig.7 Comparison of MPI model simulation and experimental results with different voltage frequencies at A=100 V

3.2 遲滯蠕變特性自適應補償控制實驗

為驗證所設計的自適應混合控制方法的有效性，進行實時跟蹤控制實驗。在Quanser Real-time控制軟件中搭建半實物仿真補償控制平臺，對壓電作動器進行遲滯蠕變補償控制實驗，對比前饋補償與自適應混合控制方法的跟蹤精度。實驗中采用正弦信號作為參考輸入信號，改變參考輸入信號的幅值與頻率來考察遲滯蠕變補償器的動態控制效果。

首先給定應變參考信號幅值為100～600 με、頻率為10 Hz，進行遲滯蠕變前饋補償實驗。圖8為輸入電壓信號為x=50[1+sin(20πt)]時實驗測得的壓電作動器輸入輸出特性曲線。基于該輸入信號得到的實驗數據，辨識得到MPI模型參數，從而建立MPI遲滯蠕變補償模型如圖9所示。圖10 為MPI補償模型前饋補償實驗結果。從實驗結果可以看出，遲滯蠕變前饋補償器在工作狀態下，輸出應變與參考信號之間存在較好的線性關系，補償后的輸出應變與參考信號基本相同，壓電陶瓷疊層作動器的遲滯蠕變效應得到了有效的補償。

圖8 壓電作動器電壓-應變特性曲線Fig.8 Curve of voltage-strain characteristic for a piezoelectric actuator

圖9 MPI遲滯蠕變補償模型Fig.9 Compensation model of MPI hysteresis creep

圖10 MPI遲滯蠕變模型前饋補償效果Fig.10 Results of feedforward compensation for MPI hysteresis creep model

其次，改變應變參考信號的幅值與頻率進行MPI補償模型前饋控制與自適應濾波反饋混合控制實驗，對比驗證自適應混合補償控制方法的動態補償跟蹤精度。利用圖8的輸入輸出特性曲線數據，建立MPI遲滯蠕變補償模型搭建前饋補償控制器。根據前饋補償誤差函數，搭建自適應濾波器進行實時反饋補償控制。為了驗證自適應混合補償控制方法的自適應性以及動態跟蹤性，在壓電作動器的量程范圍內，進行5組實驗：① 應 變參考信號幅值為100～600 με,頻率為50 Hz； ② 應變參考信號幅值為100～600 με,頻率為20 Hz；③ 應變參考信號幅值為100～600 με,頻率為10 Hz；④ 應變參考信號幅值為100～400 με,頻率為10 Hz；⑤ 應變參考信號幅值為100～200 με,頻率為10 Hz。結果如圖11～圖15所示。其中，補償誤差定義為從5組實驗可以看到，對于壓電陶瓷疊層作動器遲滯蠕變非線性的前饋補償控制，第③組實驗前饋控制效果較好(見圖13)。隨著應變參考信號的輸入頻率與幅值的變化，前饋控制誤差變大。特別的，當應變參考信號幅值變為100～200 με 時，前饋補償基本失效(見圖15)。這是因為前饋補償模型的控制精度依賴于所建立MPI模型的精度，而MPI模型及其逆模型的權系數隨著壓電陶瓷作動器輸入的頻率和幅值的變化而變化，因此MPI遲滯蠕變逆模型前饋補償方法的動態跟蹤性較差。

圖11 應變參考信號幅值為100～600 με、 頻率為50 Hz時的實驗結果Fig.11 Experimental results when amplitude is 100～600 με and frequency is 50 Hz of strain reference signal

自適應濾波反饋在其逆模型補償的基礎上，以減小應變參考信號與實際輸出信號的誤差為目標進行實時動態主動控制，具有收斂性好、計算量小、跟蹤能力強的特點。基于LMS設計得到的自適應濾波反饋控制器主要用于受控對象及其參數存在不確定性的情況，當外界環境和工作條件改變時控制器本身的參數或結構也能自動作出相應的變化，以保證系統性能指標都盡可能保持最優。當壓電作動器應用于被控結構進行作動時，辨識壓電作動器作用于結構時的遲滯蠕變動態特性輸入輸出數據，建立MPI前饋補償模型。同時，利用自適應濾波反饋控制器實時調控輸入信號進行補償反饋控制，從而達到實際應用中準確跟蹤期望位移以及遲滯非線性補償精確控制。

圖12 應變參考信號幅值為100～600 με、 頻率為20 Hz時的實驗結果Fig.12 Experimental results when amplitude is 100～600 με and frequency is 20 Hz of strain reference signal

表1給出在5組實驗中，前饋補償與自適應混合補償控制的輸出信號與給定應變信號在12～15 s 內的平均誤差。實驗中MPI模型是基于應變參考信號的幅值為100～600 με、f=10 Hz 辨識得到的，從表1可以明顯看到當應變參考信號頻率增大或其幅值降低時，MPI遲滯蠕變逆模型前饋補償的平均誤差增大了一個量級，此時前饋補償的效果較差。而自適應混合補償控制平均誤差低于3%。因此，自適應混合補償控制方法既可以保證補償模型的精度，又提高了壓電作動器非線性的動態跟蹤精度以及自適應性。

圖13 應變參考信號幅值為100～600 με、 頻率為10 Hz時的實驗結果Fig.13 Experimental results when amplitude is 100～600 με and frequency is 10 Hz of strain reference signal

圖14 應變參考信號幅值為100～400 με、 頻率為10 Hz時的實驗結果Fig.14 Experimental results when amplitude is 100～400 με and frequency is 10 Hz of strain reference signal

圖15 應變參考信號幅值為100～200 με、 頻率為10 Hz時的實驗結果Fig.15 Experimental results when amplitude is 100～200 με and frequency is 10 Hz of strain reference signal

表1 前饋補償與自適應混合補償控制的輸出信號與給定應變信號平均誤差結果

Table1Averageerrorsofoutputsignalsandgivenstrainsignalsoffeedforwardcompensationandadaptivehybridcompensationcontrol

4 結 論

1) 基于MPI模型同時考慮遲滯特性與蠕變特性對壓電陶瓷疊層作動器的非線性進行精細化建模，精確地描述了壓電陶瓷疊層作動器遲滯蠕變現象，且具有計算簡單、遲滯跟蹤能力強的優點。

2) 基于FIR橫向濾波器結構的最小均方差算法，設計得到自適應濾波器進行控制反饋。根據前饋補償誤差建立自適應濾波反饋控制器實時調控輸入信號，達到準確跟蹤期望位移以及遲滯蠕變非線性補償的精確控制。

3) 搭建MPI補償模型前饋控制-自適應濾波反饋混合控制器進行實驗驗證對比，實驗結果表明遲滯蠕變前饋補償與自適應濾波器反饋補償控制結合的前饋-反饋混合型控制方法可以有效降低遲滯補償誤差，提高壓電作動器實時驅動補償精度，是一種實現壓電作動器遲滯蠕變非線性自適應補償控制的有效方法。