大氣折射對電視制導導彈定位精度的影響分析

劉燕，袁瑩濤，郭翔，索濤,*，李玉龍，于起峰, 3

1. 西北工業大學 航空學院，西安 710072 2. 陜西省沖擊動力學及工程應用重點實驗室，西安 710072 3. 國防科技大學 航天科學與工程學院，長沙 410073

電視制導導彈以其機動、靈活、快速響應、制導精度高、可對超低空目標或低輻射能量目標進行探測跟蹤等優點已被廣泛應用于世界各國的空地攻擊武器系統[1-2]。美國的AGM猛禽系列中程空地導彈、俄羅斯的KH系列空地導彈和英國的Bristol RP 8空地導彈等都采用了電視制導體制。該制導方式把電視攝像機作為目標圖像的傳感器，利用可見光被動制導，所以圖像分辨率高、抗無線電干擾能力強[3]。但是以電視攝像機為主要部件的光學成像系統對光的干擾也較為敏感，易受氣象條件的影響。在實際作戰過程中，目標打擊區域內的溫濕度、風速、密度、氣壓等大氣狀態要素的變化均可引起大氣折射率的改變，進而導致從目標反射出的光線在到達像平面的傳輸路徑上發生折射，最終造成導彈光學系統接收到的是存在大氣折射誤差的目標圖像。這將大大影響其探測、識別和跟蹤目標的能力，降低電視制導導彈擊中目標的準確度，甚至脫靶。

因此，大氣折射誤差對制導精度的影響分析是電視制導導彈設計研發過程中必須考慮的關鍵因素之一。目前，關于大氣折射對電視制導導彈定位精度影響的討論較少，研究較多的是對比度、能見度和煙霧干擾對電視制導導彈命中概率的影響[4-5]。因此，本文基于大氣折射模型，通過光線追跡方法，研究了大氣折射效應對電視制導導彈對目標定位的影響。首先給出了常用的5種大氣折射指數模型，分析了其隨高度的分布規律，并通過探空儀5天實測的大氣參數計算出大氣折射率分布，對模型的有效性進行了驗證。然后，通過分析電視制導導彈的大氣折射誤差原理，提出了以定位誤差和俯角誤差為大氣折射效應評價標準的電視制導導彈大氣折射誤差模型。由于本文所研究的大氣層內折射率分布情況復雜且呈不規則分布，難以求得大氣折射誤差的解析解。根據這一情況，本文采用4階Runge-Kutta光線追跡方法插值計算光線傳播方程，進而求得地面目標反射的光線到達攝像機成像平面的曲線傳播路徑，從而獲得大氣折射誤差。最后，基于所給的5種大氣折射率模型，對不同發射高度和俯角的情況進行仿真分析，從而可以先期預測電視制導導彈對打擊目標定位的偏離程度，也可對導彈的精度進行評估。

1 大氣折射率模型

造成電視制導導彈折射誤差的關鍵因素是成像光路上大氣折射率的變化，只有確定了大氣折射率的空間分布模式，才能進一步研究電視制導導彈的大氣折射效應。某型電視制導空地導彈的發射高度一般在200～5 000 m，處于對流層區域內。根據大氣物理學可知，在可見光頻率范圍內，對流層大氣折射率是溫度、大氣壓和水汽壓的函數[6-9]：

(1)

式中：p為大氣壓強，hPa；T為大氣的熱力學溫度，K；e為大氣中水汽分壓強，hPa；n為大氣折射率，它的值非常接近于1， 所以用大氣折射指數N表示更為方便[10]。

在對導彈目標定位的俯角數據作折射修正之前，用氫氣球攜帶GPS探空儀升空或其他氣象觀測設備[11]，可以測出隨高度實時變化的大氣溫度、氣壓、濕度等數據。如圖1所示，為中國西南某觀測站在2018年6月1日、6月5日、6月10日、6月20日和6月25日共5天的0時實時探測的大氣參數(溫度、大氣壓力和水汽分壓)隨高度h的變化情況。

由圖1可以看出在實際時空條件下利用探空儀所測的大氣參數隨高度變化離散性較大，難以覆蓋電視制導導彈大氣折射誤差修正所需的所有高度的大氣折射率值。將圖1中5天觀測的溫度、大氣壓力和水汽分壓數據代入式(1)計算可得出大氣折射指數隨高度的變化，如圖2所示。

圖1 大氣參數隨高度的變化曲線Fig.1 Changes of atmospheric parameters with altitudes

利用探空儀實時獲取大氣參數來計算得到大氣折射率的方法，雖然精度高，但是很費時，而且釋放探空氣球需要人員和大量經費的投入。考慮到各種實際條件的局限性，實時獲得大氣參數有時較為困難。大量統計結果表明，大氣折射指數N(h)具有相當穩定的統計特性。從大氣的平均分布模式考慮，線性模型、指數模型、3段模型、雙指數模型和Hopfield模型等大氣折射指數高度分布模型應用比較廣泛[9, 12-13]。在沒有實時探空數據的情況下，這些統計模型能夠較好地反映出大氣折射率變化趨勢。因此，本文基于上述大氣折射指數簡化的經驗模型，與高精度的光線追跡算法相結合，以此建立電視制導導彈大氣折射誤差模型；并利用實時探空的大氣參數來驗證大氣折射指數經驗模型的有效性，以滿足對電視制導導彈大氣折射效應高精度修正的需要。

1) 線性模型

N(h)=N0+ΔN(h-h0)

(2)

式中：N(h)為高度h處的大氣折射指數；N0為地面折射指數，N單位；ΔN為大氣折射指數的梯度，N單位/km；h為海拔高度，km；h0為地面的海拔高度，km。線性模型適用于低層大氣，計算十分簡單，通過大量測量和統計分析可知，在近地面0.1 km范圍內線性模型與實際數據之間吻合較好，若超出該范圍，則線性模型誤差較大[9]。

2) 指數模型

N(h)=N0exp(-c0(h-h0))

(3)

式中：c0為指數衰減系數，1/km。大量統計結果表明，在海拔高度大于1 km范圍內，平均大氣折射率用指數模型近似精度較高。

3) 3段模型

前述兩種模型各有適用區域，對低層(1 km以下)大氣應取線性模型；1～9 km區域采用指數模型；9 km以上區域則采取另外一種指數模型，方能更加精確地描述整個剖面。于是有如下3段模型[11]：

N(h)=

(4)

式中：N1為離地面1 km處的大氣折射指數；c1為地面以上1 km至海拔9 km的指數衰減系數，1/km；N9為海拔9 km處的大氣折射指數；c9為海拔9 km至海拔20 km的指數衰減系數，1/km。

4) 雙指數模型

式(1)中，右端第1項代表折射率的干項，而包含水汽壓的第2項則表示折射率的濕項。經統計分析知，這兩項均隨高度增加而按指數衰減，并且濕項的衰減比干項快得多[13]。因此，分別用兩個指數來表示：

(5)

式中：Nd0和Nw0分別為干、濕兩項的地面折射率值；Hd和Hw分別為干、濕兩項衰減到地面值1/e的高度，km。

5) Hopfield模型

Hopfield也將折射率分為干、濕兩項，表示為高度的4次方函數[14]。這種剖面與世界各地的平均折射率剖面吻合較好。該模型的形式為

N(h)=Nd(h)+Nw(h)

(6)

式中：

(7)

(8)

式中：Hd為折射率中干項衰減為零的高度，km，Hd=40.136+0.148(T0-273.15)，T0為地面溫度；Hw為折射率中濕項衰減為零的高度，Hw=11 km。

為便于分析比較，圖1中中國西南某觀測站上述5種模型所包含參數的具體取值如表1所示[13]。根據表1中的參數，并考慮到電視制導導彈發射高度在5 km以下的對流層區域內，因此僅計算該范圍內上述5種模型的大氣折射指數隨高度變化情況，如圖2所示。

表1 5種大氣折射模型包含的相關參數取值

圖2 大氣折射指數隨高度的變化Fig.2 Atmosphere refractivity vs altitude

由圖2可以看出，大氣折射指數隨著高度的增加逐漸減小；這5種大氣折射經驗模型能夠較好地反映出大氣折射率變化趨勢，且大氣折射率分段模型與多次實時探空數據的一致性最好；線性模型在高海拔條件下，相對其他模型偏差較大。

2 電視制導導彈大氣折射誤差模型

在導彈對目標定位中，成像光線的大氣折射誤差主要表現為俯角誤差Δθ和定位誤差ΔS。

俯角誤差是導彈電視攝像機對地面目標T的實測視在俯角θ與真實俯角θ0之差為

圖3 電視制導導彈大氣折射誤差模型Fig.3 Atmospheric refraction error model of TV-guided missiles

Δθ=θ-θ0

(9)

定位誤差則是目標的實際位置T和成像虛位置T′之間的地表距離為

(10)

3 光線追跡

3.1 算法描述

由于大氣層內折射率情況復雜且呈不規則分布，難以求得地面目標反射的光線到達攝像機成像平面沿曲線傳播的解析解[15-18]。根據這一情況，本文通過數值方法插值計算光線傳播方程進行光線追跡：

(11)

求解光線方程的方法有很多，例如歐拉法、泰勒級數法、3階Runge-Kutta法和4階Runge-Kutta法等[19-21]。其中4階Runge-Kutta法的精度較高[22]，本文采用4階Runge-Kutta法作為光線追跡方法。

式(11)不便于直接積分，通過引入新變量改變它的形式，定義為

(12)

于是光線方程式(11)可簡化為2階微分形式：

(13)

定義光線矢量為

(14)

則式(13)可進一步可以轉化為1階微分方程組：

(15)

根據4階Runge-Kutta方法，追跡光線的數值計算公式為

(16)

式中：Δt為光線追跡步長；K1為光線初始位置r0處的方向矢量，L1為r0處折射率和折射率梯度向量的乘積；K2為光線由初始位置插值的r0+ΔtK1/2處的方向矢量，L2為r0+ΔtK1/2處折射率和折射率梯度向量的乘積；K3為光線初始位置r0+ΔtK2/2處的方向矢量，L3為r0+ΔtK2/2處折射率和折射率梯度向量的乘積；K4為光線初始位置r0+ΔtK3處的方向矢量，L4為r0+ΔtK3處折射率和折射率梯度向量的乘積；它們具體取值為：

(17)

(18)

(19)

(20)

通過給定光線的初始位置r0和光線的初始入射方向T0，可以求得該步長末端的r1(位置)和T1(光線的軌跡方向)，并以此作為下一步追跡的初始條件，按照步長Δt逐步追蹤直至完成整個過程。

3.2 算法驗證

對于第2節中的大氣折射率分布，無法從光線方程推出光線軌跡的解析解。但對一些特殊的折射率分布卻是可以獲得解析解的。對于二維折射率徑向分布介質，其折射率可表示為

(21)

式中：α為折射率分布參數；n0為中心軸上的折射率[20]。

當初始入射點位置為(1/(n0α),0)、初始入射方向垂直于x軸時，光線穿過該折射率場的軌跡解析解為

(22)

令n0=1.5,α=0.01 mm-1，則式(20)的折射率分布如圖4所示，式(21)中實際光線軌跡和由光線追跡算法仿真獲得的光線軌跡如圖5所示。

圖4 4階Runge-Kutta光線追跡方法精度 驗證的折射率分布云圖Fig.4 Index of refraction field for precision test of fourth-order Runge-Kutta ray-tracing method

圖5 不同步長的4階Runge-Kutta光線 追跡結果與精確解的比較Fig.5 Comparison of different ray tracks for precision test of fourth-order Runge- Kutta ray-tracing method

定義y軸處對應的光線真實傳播軌跡的矢量r′，通過Runge-Kutta方法若干步追跡后的計算值為r，定義解析解與計算值的相對誤差為

(23)

根據式(22)可計算出，當步長Δt=1 mm時，Runge-Kutta方法追跡精度達10-6；當步長為0.1 mm 時，計算精度達10-7。從圖5也可以看出，隨著追跡步長的減小，4階Runge-Kutta方法追跡的光線和解析解幾乎重合，計算誤差基本可以忽略。另外，由圖2可以看出，本文所研究的大氣折射率的幅值變化遠遠小于該驗證實例，因此采用4階Runge-Kutta光線追跡方法研究電視制導導彈的大氣折射效應是合適的。

4 仿真與分析

考慮到某型電視制導導彈在實際作戰中的一般飛行高度和俯角，這里假定導彈的發射高度h為0.5～5 km(每步間隔0.5 km)，導彈對目標定位時所測的俯角θ范圍為2°～45°。

4.1 基于5種大氣折射模型的折射誤差

首先采用第3節的4階Runge-Kutta光線追跡方法，令追跡步長為0.1 m，基于第1節所給的5種大氣折射經驗模型和探空實測大氣參數計算的大氣折射率值，選取導彈鎖定目標時所測俯角分別為2°和20°時，通過MATLAB軟件計算大氣折射效應引起的俯角誤差Δθ和定位誤差ΔS與導彈海拔高度的關系，分別如圖6和圖7所示。

通過對圖6和圖7分析比較可知：

1) 用經驗模型計算的定位誤差和基于實際時空條件下大氣參數的定位誤差近似性較好。在低海拔范圍，利用本文所提出的光線追跡方法二者計算的結果幾乎完全一致；在高海拔區域，由于實際大氣參數數據離散性大，經驗模型計算結果偏差稍微變大。因此，本文的大氣折射經驗模型是有效的。

2) 基于3段模型的大氣折射誤差要小于其他模型，且與實時探空數據計算的結果一致性最好；基于線性模型計算的大氣折射誤差要高于其他四種模型，且差異較大。這是由大氣折射率隨高度的分布特點所決定的，由圖2的大氣折射指數隨高度變化曲線可以看出，在高海拔時，對于同一高度，線性模型的大氣折射指數最大，三段模型最低。根據Snell定律[23]，光線進入折射率連續變化介質的入射角正弦值和折射率成反比。在導彈視在俯角即光線入射角θ不變的情況下，折射率越大，光線的出射角越小，由式(9)可知光線偏折也就更嚴重。因此在高海拔時，基于這5種大氣折射模型計算出的大氣折射誤差與其折射率分布是一致的。

圖6 導彈視在俯角θ=2°和20°時，基于5種經驗 模型和探空儀實測大氣參數的定位誤差對比Fig.6 Location error vs altitude for θ=2° and 20° based on five atmospheric refraction model and atmospheric parameters from radiosonde

圖7 導彈視在俯角θ=2°和20°時，基于5種經驗 模型和探空儀實測大氣參數的俯角誤差對比Fig.7 Angle of depression error vs altitude for θ=2°and 20°based on five atmospheric refraction model and atmospheric parameters from radiosonde

3) 在導彈對目標定位的視在俯角相同的情況下，隨著發射高度的增加，5種模型計算的大氣折射定位誤差和俯角誤差均逐漸增大。這是因為隨著高度的增大,光線穿過大氣介質的距離L在增大，因此電視制導導彈對目標定位的折射誤差也在增大。

由圖6可知，在發射高度相同情況下，定位誤差隨著視在俯角的增大迅速減小。例如，發射高度為5 km、視在俯角為2°時基于3段模型計算的的定位誤差ΔS高達6.34 km，相同高度下20°時的ΔS僅為6.98 m，前者約為后者的1 000倍。這同樣可以由Snell定律解釋，在導彈發射高度相同的情況下，光線在介質中傳播的出射角正弦值和入射角正弦值成正比。導彈視在俯角θ越小，則光線在介質中傳播的入射角就越大，出射角也就隨之變大，光線在目標和導彈電視攝像機之間的大氣介質中傳播的距離也就更長，因此，大氣折射誤差也積累的更大。

4.2 導彈視在俯角對大氣折射誤差的影響

因為通過對圖6和圖7分析比較可知，電視制導導彈的大氣折射誤差對發射俯角比較敏感；用3段經驗模型計算的定位誤差和基于實際時空條件下大氣參數的結果近似性較好且都低于其他模型；另外先前的研究也表明，折射率3段模型能夠較好地反映出大氣折射率變化趨勢，且與多次探空數據的平均值一致性較好[11]。所以，下文以3段模型為代表，進一步研究導彈發射視在俯角對其大氣折射誤差的影響。選取3°、4°、5°、6°、10°、15°、20°、25°、30°、35°、45°的視在俯角，計算大氣折射誤差，相應的俯角誤差Δθ和定位誤差ΔS隨導彈海拔高度的變化曲線，如圖8和圖9所示。

圖8 導彈視在俯角θ=3°～45°基于3 段模型的定位誤差Fig.8 Location error based on segmented refraction model vs altitude for θ=3°-45°

圖9 導彈視在俯角θ=3°～45° 基于3段模型的俯角誤差Fig.9 Angle of depression error based on segmented refraction model vs altitude for θ=3°-45°

通過將圖8和圖9比較可以發現：當發射高度一定時，俯角誤差和定位誤差均隨導彈視在俯角的增加而迅速減小，這說明光線的俯角越小，大氣折射效應越強；視在俯角θ小于5°時，5 km高度發射的大氣折射定位誤差將超過500 m；而θ大于30°時相應的定位誤差僅在2 m以內。另外，隨著導彈視在俯角的增加，大氣折射的誤差曲線逐漸吻合。因此，為了減小大氣折射造成的電視制導導彈對目標的定位誤差，選取30°以上的發射俯角對目標進行定位打擊較好。

從圖9可以看出，俯角誤差在高度1 km處出現明顯的轉折，這是因為3段模型在0～1 km和1～9 km采用的大氣折射指數經驗公式不同，前一段采用的是線性模型，后一段采用的是指數模型，而且相同高度下指數模型的折射率梯度要比線性模型的折射率梯度大。

5 結 論

1) 提出了一種基于大氣折射率模型，以高精度的4階Runge-Kutta光線追跡方法為計算手段，以定位誤差和俯角誤差為大氣折射效應評價標準的電視制導導彈大氣折射誤差模型。基于經驗模型的仿真結果和探空實測大氣參數的結果近似性較好，而且該結果和雷達信號、閃電等大氣折射問題的對流層折射誤差[13, 24]在數值上是一致的，驗證了本文模型的正確性和可信度。

2) 基于3段模型的大氣折射誤差要小于其他模型，且折射率分布與實時探空數據一致性最好，是一種較為精確的模型。實際應用中，在沒有實時GPS探空數據的情況下，可利用該經驗模型定量計算大氣折射對電視制導導彈造成的定位誤差，并予以提前修正從而提高制導精度。

3)相同高度下導彈發射的視在俯角擴大10倍，由大氣折射造成的定位誤差和俯角誤差將分別縮小1 000倍和10倍；5 km高度、視在俯角為30°時的定位誤差已減小到2 m以內。因此，在電視制導導彈總體方案設計階段，本文的模型可以輔助制導精度的評價以及系統的設計；在實際作戰過程中，本文的結論對導彈飛行軌跡的規劃以及提高打擊能力具有積極的指導作用。