基于小波邊緣刻畫與LBF水平集變分模型的圖像分割

楊志巧,羿旭明

(武漢大學數學與統計學院,湖北武漢 430072)

1 引言

在現代圖像處理問題中,圖像分割是恢復目標圖像形狀[1]、檢測與識別目標對象[2]、跟蹤運動目標[3]的關鍵技術,也是圖像分析和圖像理解的基礎.自20世紀70年代以來,圖像分割一直備受研究者的關注,并在醫學、工業、軍事等領域得到了廣泛的應用[4?7].

近年來,關于圖像分割的研究層出不窮,水平集圖像分割法[8?10]憑借其效率高和穩定性強等優勢得到了迅猛發展.其中基于Mumford-Shah模型[11]水平集方法是20世紀80年代提出的一種非常優秀的圖像分割算法.隨后,Chan和Vese以簡化的Mumford-Shah模型和變分法為基礎于在2001年提出了分段恒定兩相圖像分割的變分水平集(C-V)模型[12].設定義域為?的灰度圖像I(x,y)被水平集函數φ(x,y)的零水平集Γ劃分成互不相交的兩個區域R1={(x,y)|φ(x,y)>0,(x,y)∈?}和R2={(x,y)|φ(x,y)<0,(x,y)∈?},其中R1為目標區域,平均灰度為c1,R2為背景區域,平均灰度為c2,Γ表示邊界,即?=R1∪R2∪Γ且R1∩R2=?.C-V模型即為下述能量泛函的極值問題

其中λ1,λ2和μ為正常數,表示各能量權重系數,

該模型對于灰度均勻的圖像分割很有效,而且不受噪聲影響[13],但是在分割灰度不均勻的圖像時得不到滿意的分割效果,其次該模型在每次迭代時都要檢驗水平集函數是否為符號距離函數,計算量大[14],不利于實現.Li等[15,16]于2007年在C-V模型的基礎上建立了局部二值擬合(LBF)模型,能較好的解決灰度不均勻圖像的分割問題,但是該模型中沒有考慮圖像的邊緣信息,從而邊緣控制能力較弱,不利于分割一些弱邊緣或邊緣模糊的圖像[17].文獻[18]中提出利用小波變換對圖像進行去噪以突出圖像中的真實邊緣,基于此,本文針對弱邊緣圖像的分割問題提出了利用小波變換的分解系數構造出邊緣刻畫函數的方法,將其引入到模型的能量泛函中使得水平集函數在演化過程中能更迅速的捕捉到圖像的邊緣.

2 LBF模型

LBF模型是通過引入核函數Kσ(x,y)[19]來尋找最優的輪廓曲線C,使曲線內部區域Inside(C)和外部區域Outside(C)的圖像灰度擬合函數分別為f1(x,y)和f2(x,y).將曲線C作為零水平集φ(x,y)=0,內部區域和外部區域分別對應{(x,y)|φ(x,y)>0,(x,y)∈?}和{(x,y)|φ(x,y)<0,(x,y)∈?}.為保證水平集函數φ(x,y)在迭代一定次數后仍然可以保持其光滑性,增加能量懲罰項

水平集函數φ(x,y)的長度可以表示為

于是可得到如下完整的泛函極值問題

其中?代表卷積運算,λ1,λ2,μ和ν均為正常數,表示各能量的權重系數,核函數Kσ(x,y)定義為

3 基于小波變換的LBF模型

3.1 WLBF模型

圖像分割在很大程度上取決于圖像目標邊緣的刻畫,若圖像的真實邊緣得到增強,則更有利于圖像的分割.設原始灰度圖像I(x,y)經過二維小波分解后分別得到低頻分解系數ILL、水平高頻分解系數IHL、垂直高頻分解系數ILH和對角高頻分解系數IHH,將4組分解系數向上重復采樣得到與原圖像大小相同的稀疏矩陣,為了表示方便,仍分別記為ILL(x,y),IHL(x,y),ILH(x,y),IHH(x,y),分別代表圖像的低頻信息,以及在水平、垂直和對角方向上的高頻信息.梯度方向是函數變化最快的方向,在圖像處理中常用來刻畫圖像的邊緣.為了突出圖像的邊緣信息,本文定義了如下基于小波分解系數的邊緣信息刻畫函數g(x,y):

其中

將此刻畫函數g(x,y)引入到LBF模型的能量泛函中,得到基于小波變換的LBF模型(簡記為WLBF模型),此時圖像的分割問題轉化為如下能量泛函的極值問題:

為了求解上述問題,分別針對φ,f1,f2最小化,先固定f1和f2,可以得到能量泛函E(φ,f1,f2)關于φ的梯度為

其中

δ(φ)=H0(φ).由梯度下降流理論[20],令,即得水平集函數的演化控制方程為

其演化的初始條件定義為

類似地,針對f1(x,y)和f2(x,y)最小化,可以得到如下形式的更新公式

3.2 數值計算格式

水平集函數的演化過程由上述演化方程來刻畫,為了數值求解演化方程,本文利用偏微分方程的差分解法.假設平面網格步長和時間步長分別為h和?t,經過n步演化,水平集函數φ(x,y)在離散點(i,j)處的值用表示,在時間和平面上采用如下中心差分格式進行離散化,即

且

在第n步演化中,水平集函數φ(x,y)用φ(n)(x,y)來表示,則

于是

此時,演化方程的離散化形式為

3.3 求解算法

根據上述分析,其改進模型的求解算法步驟如下

步驟1設置初始化參數:給定數據項系數λ1,λ2,正則項系數μ,懲罰項系數ν,網格間隔步長h,時間步長?t,權重系數w,核函數參數σ,迭代次數n;

步驟2初始化水平集函數φ(x,y),并根據函數的演化公式f1(x,y),f2(x,y),初始化f1(x,y),f2(x,y);

步驟3將圖像進行小波分解,并構造邊緣信息刻畫函數g(x,y);

步驟4根據曲線演化方程描述的形式,計算水平集函數φ的演化方程式,即

步驟5從水平集函數中提取出迭代n次后的零水平集函數圍成的閉合曲線;

步驟6判斷此時的分割效果是否滿意,如果滿意,則輸出分割結果,并終止迭代;如果不滿意,則轉到步驟4,繼續下一次迭代,直到分割結果令人滿意為止.

4 圖像分割實驗

在對本文的方法進行實驗以前,本文先對LBF模型進行實驗,實驗中采用Heaviside函數

其中正則化參數ε=1,能量泛函中各參數分別為μ=0.001×2552,ν=1,空間步長h=1,時間步長?t=0.1s,核函數參數σ=3,λ1=λ2=1.實驗中選取了4張典型的灰度圖像,包含灰度均勻和灰度不均勻的兩種圖像,迭代次數分別設置為10、50以及500,演化過程及分割結果分別如圖1所示.

觀察上述使用LBF模型對圖像進行分割的結果,該模型對于灰度較為均勻的圖像分割結果比較理想,但是對多孔圖像和灰度不均勻圖像,分割效果如圖1中下面兩幅結果所示,其結果并不令人滿意.

接下來對本文中提出的WLBF模型進行實驗,實驗中本文選取db3小波對圖像進行分解,邊緣刻畫函數的權重參數分別取0,0.5以及1進行實驗,其余參數選取和使用LBF模型進行實驗時的參數一樣,實驗結果如圖2所示.

觀察上述3種權重系數下的分割效果,發現w=0.5時的分割效果比另兩種情況更好,故在本文實驗中選取權重參數w=0.5進行實驗,并將WLBF模型的分割效果和原LBF模型的分割效果進行了對比,各圖像的分割效果如圖3所示.

觀察上述分割效果可知,本文WLBF模型的分割方法取得了較好的分割效果,從簡單的圖像到多孔圖像、醫學圖像、不規則圖像以及背景較為復雜的圖像,WLBF模型均能獲得較好的分割效果,和LBF模型進行對比,其迭代次數和演化時間如表1所示.

圖1:基于LBF模型分割效果圖(第一列為待分割圖像,第二列為迭代10次的結果,第三列為迭代50次的分割結果,第四列為迭代500次的分割結果)

圖2:第一張為待分割圖像,第二張為w=0時分割結果,第三張為w=0.5時分割結果,第四張為w=1時分割結果

表1:LBF模型和本文WLBF模型迭代次數與演化時間對比

圖3:圖像分割圖(第一列為待分割圖像,第二列為LBF模型分割結果,第三列為本文WLBF模型分割結果)

從表1可以看出,在使用原LBF模型進行分割時,部分圖像迭代500次還未達到理想的分割效果,而使用本文提出的WLBF模型時,迭代20次就可以取得滿意的效果.在曲線的演化時間方面各種圖像均有不同程度的減少,其中圖1、圖4和圖5的演化時間減少了50%以上,平均演化時間減少了41.17%.

為了進一步檢驗本文WLBF模型對復雜圖像例如遙感圖像以及含噪圖像分割的可行性,本文進行了分割實驗.分別如圖4所示.觀察上述兩張遙感圖像的分割效果,可以發現圖像中的房屋、河流和公路和草坪等都可以較準確的被分割出來,迭代次數均僅為30次,其中第一張圖和第二張圖的演化時間分別為112.68s和91.97s.

圖4:圖像分割圖(第一張和第三張為待分割圖像,第二張和第四張為迭代30次的分割效果)

另外對有噪聲圖像的分割,圖像選擇的是空中飛行的飛機,有云、霧等噪聲的干擾,由于圖像分割難度較大,當迭代次數較少時,會導致許多非目標物體被標記出來,如圖5中第二張和第三張所示.使用WLBF模型,雖然較前面數值算例的迭代次數有所增加,但經過80次迭代,仍能得到較為理想的分割結果,如圖5中第四張圖片所示.

圖5:含噪圖像分割圖(第一張為待分割圖像,第二張為迭代20次的分割結果,第三張為迭代50次的分割結果,第四為張迭代80次的分割結果)

5 結語

本文提出了一種基于小波變換的水平集圖像分割模型和算法,從實驗效果以及分割效率兩方面考慮,本文所提WLBF模型較LBF模型均有不同程度的改善和提高,而且本文所給模型和算法對噪聲的干擾也顯示模型和算法的魯棒性.