等比數列模型在初中數學教學中的應用

黃德誠

（廣西壯族自治區桂林市寶賢中學，廣西 桂林 541000）

一、等比數列模型應用概述

核心素養的提出是新一輪課改的最大亮點，促進學生核心素養發展已成為當前一線教師的核心教學指向。而作為數學學科核心素養的基本要素之一，“數學建模”素養對學生的發展尤其意義非凡，因為數學建模是學以致用的基礎，是運用數學知識解決實際問題的必由途徑，同時，它反過來又對學生鞏固和應用相關知識起到顯著的促進作用。就等比數列模型而言，其在實際的生產生活中有著廣泛而重要的應用，從我省近年來的中考命題特點來看，涉及實際生活背景的等比數列題目亦非鮮見。這一方面是由于等比數列模型本身的重要性決定的，另一方面也受到新課標以考查學生核心素養為導向的基本命題原則的要求。故而一線教師應等比數列中滲透模型思想從而培養學生的建模意識和能力，在潛移默化中促進其核心素養的發展。可以說，在核心素養背景下，實施等比數列建模教學既是課標及基本要求，更是促進知識應用能力和解題應試能力的必由途徑。

那么，關于等比數列的建模教學具體應如何落實呢？對此，我認為教師首先應切實理解數學建模的內涵及基本過程。課標中在核心素養部分給出建模素養的定義是：數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的素養。根據這一表述彰顯的內涵意義，通俗來說數學建模就是對實際問題轉化為數學問題從而利用相關數學知識解決問題，這就是數學建模。

具體到實際教學中，就是讓學生在切實掌握等比數列基本知識的基礎上，結合典型案例引導學生切實經歷建立模型并用以解決實際問題的過程，使其對建模過程形成深刻體驗，直至學生能夠把握住具體情境的數學本質而判斷出該用等比數列，其間的關鍵實際上是理解題意進而將其轉化為數學問題。當然，這一目標無疑要以足夠的案例演練為途徑。

實際上，所謂核心素養的發展和成熟本身就是一種基于長期訓練的潛移默化的過程，上述目標的達成也意味著學生的建模素養獲得了顯著發展。以下我們就來重點探討兩個較為典型的案例，由于案例演練是建模教學的關鍵，故這也是本文重心之所在。

二、等比數列模型應用案例

例1：某人欲于2024年年底以40萬元購置一輛電動汽車，計劃從2018年開始，每年年初存入銀行一筆購車款項，到2024年底獲得本息共40萬元。若每年存同樣數額的購車款項，依照年利息2%并按復利計算，則每年的存款數額應為多少？（已知：1.022≈1.1487）

解析：對于該題，首先是全面分析題意并找到題目中的關鍵信息，并理解其數學本質，從而轉化為數學問題進而建立等比數列模型。不難看出，題目中關鍵信息即為“依照年年利息2%并按復利計算”，以此為突破口，結合題目情境，如果設每年應存的購車款項數目為x萬元，則有：2024年年初存進銀行的x萬元到2018年底的本金加利息為x（1+2%），2023年年初存入銀行的x萬元到該年年底是的金加利息為x（1+2%）2；2022年存入銀行的的x萬元到該年年底的本金加利息為x+（1+2%）3……2018年年初存入銀行的x萬元到該年年底的本金加利息為x（1+2%）7。

由此不難發現，所謂“依照年利息2%并按復利計算”的數學本質即為an+1/an=1.02這一等比關系，即一系列式子構成公比為1.02的的等比數列，到2024年底獲得所有本息40萬元是其前n項和。這樣具體情境問題轉為了數學問題，進而可以很容易利用等比數列的前n項公式列方程而求出x的值。

該題具體解答過程為：設每年應存存入銀行x萬元，則由題目可得x（1+2%）+x（1+2%）2+x+（1+2%）3+……+x（1+2%）7=40，結合等比數列的前n項和公式有[x（1+2%）（1-1.027）]/（1-1.02）=40，解得x≈5.275萬元，即從2018～2024年該人每年應存入銀行大約5.275萬元。

例2：若某市2018年新建住房面積400萬平方米，其中中低價房面積為250萬平方米，計劃從次年開始，若干年內每年的新建住房面積平均比前一年增長8%。此外，每年新建住房中，中低價房的面積比前一年增加50萬平方米。試求：

①到哪一年的年底，該市歷年所建中低價房的累計面積將首次不少于4750萬平方米？

②到哪一年年底，當年建造的中低價房的面積占總建造面積的比例首次超過85%？（已知：1.084=1.36，1.085=1.47，1.086=1.59）

解析：該題有兩問，分析題意不難發現，第一問需要建立等差數列模型，第二問則在第一問的基礎上通過建立等比數列模型求解。這道題的難度并不大，但綜合考察了等差數列和等比數列，從而更深刻地體現了模型思想的應用，屬于較為典型的案例。

就第一問而言，關鍵性的條件是“每年新建住房中，中低價房的面積比前一年增加50萬平方米”，其數學本質即為an+1-an=50這一等差關系，即歷年的中低價房建造面積構成等差數列，其首項為250，公差為50，根據“歷年所建中低價房的累計面積將首次不少于4750萬平方米”這一條件可列不等式前n項和Sn≥4750，由此即可求得答案。該文具體解答過程如下：

設第n年中低價房的面積為an，則根據題意易知數列{an}為首項為250，公差為50的等差數列表，即an=250+（n-1）×50=50n+200，該數列前 n項和 Sn=250n+[n（n-1）]/2×50=25n2+225n，根據題意有25n2+225n≥4750，化簡得n2+9n-190≥0，n為正整數，得到n≥10，即到2017年年底，該市歷年所建造的中低價房累計面積首次超過4750平方米。

再來看第二問，首先需要將“若干年內每年的新建住房面積平均比前一年增長8%”這一關鍵條件轉化為數學語言bn+1/bn=1+8%。即歷年新建住房面積構成首項為400，公比為1.08的等比數列，再根據“中低價房的面積占總建造面積的比例超過85%”這一條件列出不等式an＞0.85bn，由此得到最終答案。其具體解答過程如下：

設第n年新建住房面積為bn，則根據題意易知數列{bn}為首項為400、公比為1.08的等比數列，即bn=400×1.81n-1，根據題意有an＞0.85bn，即50n+200＞400×1.81n-1×0.85，化簡得到n+4＞6.8×1.81n-1，此式說明當n=5時，an＜0.85bn，當n=6時，an＞0.85bn，由此可知到2013年年底，當年建造的中低價房的面積占建造住房總面積的比例首次大于85%。

通過以上兩個可以看出，應用等比數列模型解題的關鍵就在于理解清題意，尤其是隱含等比關系的關鍵性條件，進而將情境語言轉為數學語言，構建等比數列最終解得答案。等比數列模型的應用通常與方程或不等式知識結合在一起，通過題意中包含的數量關系列出方程或不等式，進而求取相關量的值或范圍。

上面案例一是與方式知識結合，求取的量包含在數列項的表達式中，案例二是與不等式知識結合，求n的取值范圍，代表了兩種基本的情形。一般來說，初中階段等比數列模型的應用較為簡單，上述的兩個案例具有較強的代表性。

三、結語

綜上所述，本文首先對核心素養背景下初中數學等比數列模型的應用進行了簡要概述，而后重點探討了兩個具有代表性的實際案例。作為初中數學中的重要模型之一，等比數列模型的應用是一個兼具深度和廣度的課題，一線教師應給予其足夠重視，并在日常教學中積極滲透模型思想，使學生在應用等比數列模型的過程中促進數學建模素養的發展。