具有積分邊界條件的二次奇攝動邊值問題

王丹丹, 謝 峰

(東華大學 理學院, 上海 201620)

奇異攝動問題一直受到學者們的廣泛關注, 利用微分不等式理論、平均化理論、邊界層理論以及其他理論研究了不同類型的奇攝動邊值問題[1-7], 解決了許多數學、物理及生物問題。 其中, 二次奇異攝動問題一般指二階微分方程中一階導數項為二次, 來源于催化表面化學反應的Weekman-Goring模型[4]。 Chang等[2]用微分不等式方法研究了幾類二次奇攝動Robin邊值問題的邊界層現象。Kelly[3]研究了如下二次奇異攝動問題:

其中，0<ε?1, 在相對較弱的條件下, 給出其解的漸近估計。

近年來，含有積分邊界條件的奇攝動微分方程應用于各種物理問題, 得到了一些關于解的存在性和唯一性問題的結論, 并發展了各種數值方法。例如文獻[8-9]利用邊界層函數法研究了幾類具有積分邊界條件的非線性奇攝動問題。

受到以上工作的啟發, 本文將研究如下具有積分邊界條件的弱二次奇攝動邊值問題:

(1)

(2)

(3)

式中：ε>0。

作如下假設:

(1)[H1]b(t,x)≥k>0, 對任意t∈[0,1],x∈R都成立;

(2)[H2]退化問題

(4)

(5)

在[0,1]上有唯一連續可微的解;

(3)[H3] 函數a(t,x)、b(t,x)、c(t,x)關于x,t連續可微,hi:R→R均為連續函數,hi(0)=0, 存在正數ki(i=1,2)有k1+k2<1。σi為(0,∞)→(0,∞)上的連續非減函數, 滿足σi(u)≤kiu,u>0, 且有|hi(y)-hi(z)|≤σi(y-z), ?y,z∈R,i=1,2。

1 構造漸近解

借助合成展開法[5], 設問題(1)～(3)具有如下形式漸近解：

(6)

1.1 正則部分

由假設可知,V0(t)由退化方程式(4)～(5)決定, 且V1(t)滿足如下方程：

或者寫成如下形式：

(7)

式中:V0(t),V1(t)分別滿足邊界條件：

(8)

(9)

1.2 校正項

將上式代入式(1), 則Q(τ)滿足微分方程：

即有

(10)

將式(10)兩邊關于ε泰勒展開并比較等式兩邊ε的系數，可得邊界層項Q0、Q1和Q2分別滿足：

(11)

c(0,V0(0)+Q0)=0

(12)

(13)

為簡單起見，將式(12)和(13)寫成如下形式

(14)

(15)

則Q0、Q1和Q2應滿足的邊界條件為

(16)

(17)

(18)

由式(10)、(15)和(17)可知Q0(τ)的隱式表達式為

由假設[H3]知存在正常數C1和C2，使得式(19)成立[2]。

C1e-kt/ε≤|Q(τ)|≤C2e-kt/ε

(19)

為簡單起見，將式(14)改寫為

即有

(20)

由于Q0呈指數衰減, 式(20)等號右端收斂, 利用常數變易公式可得

由于Q0呈指數衰減, 則Q1呈指數衰減[5], 同理易知Q2也呈指數衰減。

由此得問題(1)～(3)的形式漸近解為

式中：N為充分大的正數。

2 主要結論及證明

引理2.1(不等式理論[9])假設條件[H3]成立, 在[0,1]上存在兩個函數α(t)和β(t),其中,α(t)≤β(t),且分別滿足不等式：

和

則邊值問題(1)～(3)存在一個解x(t),使得

α(t)≤x(t)≤β(t),t∈[0,1]

且當α(t)和β(t)滿足上述條件時, 分別稱為問題(1)～(3)的上下解。

定理2.2假設[H1]～[H3]成立, 則邊值問題(1)～(3)存在解x(t), 且當ε→0時,在[0,1]上有

證明由解的構造及假設[H1]～[H3]知存在正數M和L使得

選取輔助函數

滿足

令

由α(t)和β(t)的定義顯然有

及

同理可得

由引理2.1可知問題(1)～(3)存在一個解x(t)滿足α(t)≤x(t)≤β(t)。 定理2.2證畢。

3 例 子

考慮如下具有左邊界層的奇攝動問題:

其精確解為

其中，c1和c2滿足

由漸近解的構造可得其零階近似解為

或

即關于ε的漸近展開和形式漸近解完全一致。