待定系數法在圓錐曲線標準方程中的應用

王瑞華

摘要：待定系數法是解決數學問題時常用的數學方法，在中學數學的圓錐曲線標準方程問題中有著廣泛使用。本文簡單闡述了待定系數法的概念、理論依據及其解題步驟，并通過具體的實例重點論述了待定系數法在圓錐曲線中的應用。

關鍵詞：待定系數法;圓錐曲線;中學數學

中圖分類號：G633.6 ? 文獻標識碼：A ? 文章編號：1992-7711（2019）11-0009

一、待定系數法的定義及其理論依據

將一個多項式表示成另一種含有待定系數的新形式，這樣就得到一個恒等式，然后根據恒等式的性質得出系數應滿足的方程或方程組，其后通過解方程或方程組便可求出待定的系數，或找出某些系數所滿足的關系式，這種解決問題的方法叫作待定系數法。更廣泛地說，是要確定變量間的函數關系，設出某些未知數，然后根據所給條件確定這些未知數，使問題得到解決的方法。其理論依據是多項式恒等，也就是利用了多項式[f（x）≡g（x）]的充要條件：對于一個任意的[a]值，都有[f（a）=g（a）];或者兩個多項式各同類項的系數對應相等。

二、待定系數法的應用步驟

利用待定系數法解題的關鍵是依據已知，正確列出等式或方程，使用待定系數法，就是把具有某種確定形式的數學問題，通過引入一些待定的系數，轉化為方程組來解決。要判斷一個問題是否用待定系數法求解，主要是看所求解的數學問題是否具有某種確定的數學表達式，如果具有，就可以用待定系數法求解。使用待定系數法解題的一般步驟可歸納為以下三點。

1. 確定所求問題含待定系數的解析式;

2. 根據恒等條件，列出一個（組）含待定系數的方程;

3. 解方程或消去待定系數，從而使問題得到解決。

如何列出一組含待定系數的方程，主要從以下幾方面著手分析：利用對應系數相等列方程;由恒等的概念用數值代入法列方程;利用定義本身的屬性列方程;利用幾何條件列方程。

三、待定系數法在圓錐曲線標準方程中的應用

橢圓與雙曲線的標準方程推導方法相同，得出方程形式類似，所以它們的解法也就有很多共同點，比如：已知曲線的軌跡是橢圓或雙曲線時，求標準方程時都可用待定系數法，若焦點位置確定，直接設標準方程來求解;但若焦點位置不確定，直接設標準方程來求解需要討論兩種情況，有可能會導致漏解或過程繁瑣，運算量增大。這就要加強對題目條件合理的使用，對方程進行適當的“改造”，達到避繁就簡，事半功倍的效果。

例1：已知橢圓[x2a2+y2b2=1][（a>b>0）]的離心率為[22]，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點[F1]、[F2]為頂點的三角形的周長為[4（2+1）]。一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設[P]為該雙曲線上已于頂點的任一點，直線[PF1]和[PF2]與橢圓的交點分別為[A]、[B]和[C]、[D]。求橢圓和雙曲線的標準方程。

解：設橢圓的半焦距為[c]，則橢圓的離心率為[ca=22]。可得到關系式[2a+2c=4（2+1）]，即得[a=22]，[c=2]，根據[a2=b2+c2]，得[b=2]，故標準方程為[x28+y24=1]。設等軸雙曲線的標準方程為[x2m2-y2m2=1][（m>0）]，由于等軸雙曲線的頂點是橢圓的焦點，則有[m=2]。

評注：要用待定系數法求解解析式，首先要知道函數解析式的形式，然后用字母表示出解析式，然后根據題目中給出的已知條件解出未知數，最后寫出解析式。

例2：求經過兩點[A（2，22）]，[B（-2，-32）]的橢圓的標準方程。

解：可設橢圓的方程為[mx2+ny2=1（m>0，n>0，m≠n）]，將[A（2，22）]，[B（-2，-32）]兩點帶入，得[4m+12n=1]和[2m+34n=1]，解得[m=18]，[n=1]。故標準方程為[x28+y2=1]。

評注：當橢圓的焦點在[x]軸上時，標準方程為[x2a2+y2b2=1]，焦點在[y]軸上時，標準方程為[x2b2+y2a2=1]。從形式上看，[1a2]和[1b2]分別是[x2]和[y2]前的系數，所以可以將標準方程統一改造成[mx2+ny2=1]，當[m>n>0]時，橢圓的焦點在[y]軸上;當[n>m>0]時，橢圓的焦點在[x]軸上，從而避免了討論。

待定系數法實際就是將待定的未知數與已知數建立等式關系，從而列出方程或方程組，解方程或方程組即可得待定的未知數，只需根據題目給出的條件解題即可。用待定系數法解題，思路較為清晰，操作比較方便，在很多解題過程中都可以用到。但是在解題過程中，待定系數法并不是最為簡單、合適的方法。因此解題時要根據具體的題目，選擇簡單又適合的方法。

參考文獻：

[1] 葉立軍.初等數學研究[M].上海：華東師范大學出版社，2008.

[2] 張大任.待定系數法[J].數學方法，2006（9）.

[3] 劉慧年.巧設求橢圓和雙曲線標準方程[J].數學教育研究，

2011（10）.

[4] 周平華.待定系數法在高中數學中的應用[J].考試，2008（12）.

基金項目：重慶市研究生教育教學改革研究重點項目：基于創新理念的系統理論研究生專業課程體系優化研究（yjg182019）。

（作者單位：重慶市沙坪壩區大學城第一中學校 ? 400000）