函數知識引領與題型點擊

摘要：函數既是中學數學各主干知識的交匯點，是數學思想、方法的綜合點，也是初等數學與高等數學的銜接點，更是中學數學聯系實際的切入點。所以，函數便理所當然地成為歷年來高考的重點和熱點。以下筆者談談函數的熱點題型。

關鍵詞：函數;向量知識;信息遷移

中圖分類號：G633.6 ? 文獻標識碼：A ? 文章編號：1992-7711（2019）11-0123

一、以三次函數為主線的問題

三次函數交匯了不等式、方程、解析幾何等眾多知識點，以它為載體的試題背景新穎、獨特，選拔功能強。由于三次函數的導數為二次函數，因此以導數為工具，可用二次函數知識對三次函數的形態進行研究。

例1：已知f（x）=x3+ax2+bx+c在x=-[23]與x=1時都取得極值。

1. 求a，b的值;

2. 若對x∈[-1，2]，f（x）

思路分析：因為函數在x=-[23]與x=1時都取得極值，所以其導數值為0，可求得a=-[12]，b=-2于是f（x）=x3-[12]x2-2x+c，

且當x∈[-1，-[23]]，f（x）>0，x∈[-[23]，1]，f（x）<0。

所以當x=-[23]時，f（x）有極大值為[f（-23）]=[2227+c]，

因f（2）=2+c>[f（-23）]。

所以當x∈[-1，2]，f（x）的最大值為f（2）=2+c。

因為x∈[-1，2]，f（x）

所以c2>2+c，c<-1，或者c>2故c的取值范圍為（-∞，-1）∪（2，+∞）。

友情提醒：

（1）考查三次函數的單調性、極值與最值等問題，要通過對三次函數的求導，可將“三次”變為“二次”，于是轉化為考查熟悉的二次函數、二次方程及相關問題。

（2）對于恒成立問題，例如x∈[-1，2]，f（x）

x∈[-1，2]，f（x）的最大值

例2：求過點P（0，0）且與曲線y=f（x）=-[23]x3+x2+4x相切的切線方程。

思路分析：因為點P（0，0）在曲線上，它可以是切點，也可能不是切點。當點P（0，0）是切點時，由k=f ′（0）=4，求得切線方程為y=4x，當點P（0，0）不是切點時，另設切點Q（x0，y0），（x0≠0），則以Q為切點的切線的斜率為k1=-2x0+2x0+4，又k1=kPQ=[y0x0]=-[23x20]+x0+4，解得x0=[34]，k1=[358]，得切線方程為y=[358x]。故過點P（0，0）且與曲線y=f（x）=-[23]x3+x2+4x相切的切線方程有兩條，其方程為y=4x和y=[358x]。此時，一個切點是P（0，0），另一個切點是Q（[34，10532]）。

友情提醒：

1. 求過一點P（x0，y0）的曲線y=f（x）的切線方程與求過曲線y=f（x）上一點P（x0，y0）的切線方程，雖然是同一類問題，但有所不同。前者曲線的切線其切點可以是P（x0，y0），也可以是曲線上其余的點;切線可以存在，也可不存在。若存在，切線可以不唯一。而后者一般情況下，點P（x0，y0）是曲線的切點，以P（x0，y0）為切點的切線是唯一存在的。

2. 曲線與直線相切，并不一定只有一個公共點，當曲線是二次曲線時，直線和曲線相切，有且只有一個公共點。這種觀點對一般的曲線不一定正確，上例正說明了這一點。

拓展引申：（1）已知拋物線C1∶y=x2+2x和拋物線C2∶y=-x2+a，當a取什么值時，C1，C2有且僅有一條公切線？寫出公切線l的方程。

解析：設公切線L切于C1于點P1（x1，y1），切C2于點P2（x2，y2），則L的方程有兩種表達方式：y-y1=（2x1+2）（x-x1）…①y-y2=-2x2（x-x2）…②，y1=[x21]+2x1，y2=[x22]+a，①②分別是y=（2x1+2）x-[x21]，y=-2x2x+[x22]+a，

∴[2x1+2=-2x2-x21=x22+a]<e：＼雜志＼2019＼11下＼11下6-12＼06教學反思＼韋忠文（孟憲玲）函數復習要111-兩個版-119＼image37.pdf>消x2得2[x21]+2x1+1+a=0，

由題意知：Δ=4-8（1+a）=0，a=-[12]，x1=x2=-[12]，y1=y2=-[34]，

所以P1，P2重合，故當a=-[12]時，C1，C2有且僅有一條公切線，其方程為y=x-[14]。

（2）已知函數①若函數f（x）=x3-[12]x2+bx+c的圖像有與x軸平行的切線，求b的取值范圍;②若f（x）在x=1時取得極值，且x∈[-1，2]時，f（x）

解析：①f ′（x）=3x2-x+b，設切點P（x0，y0），則f（x）在點P的切線的斜率k=f ′（0）=3x0-x0+b，由題意，k=f ′（0）=3x0-x0+b=0有解，故有Δ=1-12b≥0，∴b≤12。

②因為f（x）在x=1時取得極值，所以x=1為方程f ?′（x）=3x2-x+b=0的一個根，

∴b=-2 由3x2-x-2=0可得f ′（x）=0的另一個根x2=-[23]當x<-[23]或x>1，f ′（x）>0，

所以當x∈[-1，2]，時，f（x）在[-1，-[23]]上是增函數，

在（-[23]，1）是減函數，在[1，2]上是增函數。

所以f（x）有極大值f（-[23]）=[2227+c]又f（2）=2+c。

所以當x∈[-1，2]時f（x） 有最大值f（2）=2+c，

因為f（x）

∴2+c2。

反思：本題第（1）題利用了導數的幾何意義將問題轉化為二次方程有解問題。第（2）題為恒成立問題，實質是求函數f（x）在區間[-1，2]上的最大值。

二、以抽象函數為主線的問題

這里所謂的抽象函數，是指只給出函數的一些性質，而未給出函數解析式的一類函數。抽象函數一般以中學階段所學的基本函數為背景，且構思新穎、條件隱蔽、技巧性強、解法靈活。因此抽象函數在近幾年的各種考試中，成為考查的重點。

例3：定義在（-1，1）上的函數f（x）滿足：

（1）對任意的x，y∈（-1，1），都有f（x）+f（y）=f（[x+y1+xy]）;

（2）當x∈（-1，0），時，有f（x）>0，

求證：f（[15]）+f（[111]）+…+f（[1n2+3n+1]）>f（[12]）。

思路分析：先賦值判斷奇偶性，令x=y=0，得f（0）=0，再令y=-x，得f（x）+f（-x）=0，所以f（x）是奇函數。再利用定義證明f（x）在x∈（-1，0）時是減函數，則在x∈（0，1）上仍然是減函數，且f（x）<0。最后將f（[1n2+3n+1]）裂項為f（[1n+1]）-f（[1n+2]），于是f（[15]）+f（[111]）+…+f（[1n2+3n+1]）=[f（[12]）-f（[13]）]+[f（[13]）-f（[14]）]+…+[f（[1n+1]）-f（[1n+2]）]=f（[12]）-f（[1n+2]）>f（[12]）。

友情提醒：

（1）本題先確定函數的奇偶性和單調性，利用裂項求和進行化簡，再根據條件用放縮法證明不等式;在解題過程中，利用題設充分挖掘隱含條件，開拓解題思路，使問題得到解決。

（2）解決抽象函數問題的關鍵是挖掘函數的特征，考慮特殊值的代入、類比、推理等方法，或脫去抽象函數中的記號f，化為具體函數解決。

拓展引申：

1. 設a是常數，函數f（x）對一切x∈R都滿足f（a-x）=-f（a+x）。

求證：函數f（x）的圖像關于點（a，0）成中心對稱圖形。

解析：證明一個函數圖像的對稱性問題，只需在此函數圖像上任取一點P，證明它的對稱點Q也在其圖像上。

證明：∵f（a-x）=-f（a+x）對一切x∈R都成立，

∴f（x）=f[a-（a-x）]=-f[a+（a-x）]=-f（2a-x）]，所以在f（x）的圖像上任取一點（x0，y0），則其關于（a，0）的對稱點（2a-x0，-y0）也在其圖像上，所以函數f（x）的圖像關于點（a，0）成中心對稱圖形。

2. 已知函數f（x）對于一切實數x滿足f（x）=f（12-x），若方程f（x）=0有n個不同的實數根，這n個實數根的和是48，求n的值。

解析：由方程根的意義及等式f（x）=f（12-x）的意義知，方程的根是成對出現的，且成對兩根之和是12。

由方程f（x）=f（12-x）知，如果x0是方程的根，那么12-x0也是方程的根，且x0≠12-x0，x0+（12-x0）=12，由48=12×4，可知方程f（x）=0有四對不同的實數根，即方程f（x）=0有8個不同的實根。所以n=8。

三、以向量知識為背景的函數問題

向量由于具有幾何形式和代數形式的雙重身份，能容數形于一體，因此以向量的相關知識為載體，以數形轉化思想方法為主線的函數問題，其設計創新力度較大、綜合性較強，已成為近年高考的新熱點。

例4：（2005年湖北高考題）已知向量[a]=（x2，x+1），[b]=（1-x，t），若函數f（x）=[a·b]在區間（-1，1）上是增函數，求t的取值范圍。

思路分析：

先求出f（x）=x2（1-x）+t（x+1）=-x3+x2+tx+t，則f ′（x）=-3x2+2x+t，因為函數f（x）在區間（-1，1）上是增函數，則在（-1，1）上f ′（x）≥0，則t≥3x2-2x在區間（-1，1）上恒成立。

考慮函數g（x）=3x2-2x在（-1，1）的取值范圍，有g（x）

當t≥5時，函數f（x）在區間（-1，1）上滿足f ′（x）>0，即函數f（x）在區間（-1，1）上是增函數，故t≥5。

友情提醒：

1. 本題考查平面向量數量積的計算方法，利用導數研究函數的單調性，并運用函數性質分析和解決問題。

2. 研究近幾年高考試題，發現平面向量與函數知識交匯融合的創新潛力較大，已漸成高考的熱點。

拓展引申：

設平面向量[a]=（[32]，-[12]），[b]=（[12]，[32]）若存在不同時為零的兩個實數s，t及實數k，使[x]=[a]+（t2-k）[b]，[y]=-s[a]+t[b]，且[x]⊥[y]。

（1）求函數關系式s=f（t）;

（2）若函數s=f（t）在[1，+∞）上是單調函數，求k的取值范圍。

解析：（1）∵[a]=（[32]，-[12]），[b]=（[12]，[32]），

∴|[a]|=|[b]|=1，[a]·[b]=0，又[x]⊥[y]，

∴[x]·[y]=0，即[[a]+（t2-k）[b]]·（-s[a]+t[b]=0

∴-s+t（t2-k）=0，

∴s=f（t）=t3-kt。

（2）f ′（t）=2t2-k，∵f（t）在[1，+∞）上是單調函數，所以在[1，+∞）上有f ′（t）≥0，或f ′（t）≤0。由f ′（t）≥0，可得，k≤3t2，∴k≤（3t2）min，k≤3。由f ′（t）≤0可得k≥3t2，而y=3t2在[1，+∞）上是增函數，沒有最大值。此時，不存在k使k≥3t2在[1，+∞）上恒成立。故k的取值范圍是k≥3。

四、信息遷移中的函數問題

數學信息題一般取材較新，多以社會熱點或最新科技動態為背景，具有濃郁的時代特征和生活氣息。在題目中給出的是新情景、新結構、新概念、新函數、新運算等信息，要求學生在考試時完成現場學習，在短時間內從大量的信息中捕捉相關信息，通過分析、歸納，探索有關規律，應用聯想、猜想、演繹、類比、遷移等方法將它與已有的知識結合起來，把所學的知識遷移到新的情景中，去做進一步推理、運算、證明，才能獲得解決。

例5：設y=f（x）是定義在R上的偶函數，又是最小正周期為π的周期函數，而且f（x）在（0，[π2]）上是增函數，試寫出函數f（x）的解析式。

思路分析：

這是結論開放型信息遷移題，由于f（x）是周期函數，故容易想到從三角函數入手進行探究。

想到函數f（x）=[sinx]符合條件;由此可得f（x）=[1-cos2x]也符合條件;由余弦函數性質可得f（x）=-cos2x符合條件，由此可得f（x）=acos2x+b，（a，b∈R，a<0）;由于sin2x=[1-cos2x2]，故f（x）=sin2x也符合要求;從復合函數的角度來思考，還有f（x）=[esinx];一般地有f（x）=[asinx]，（a>1）也滿足條件。

友情提醒：

1. 此類問題讀懂題意是關鍵的一步。搞清題意才能確定探索方向，尋找合理的解題途徑。

2. 我們常見的是已知f（x）的解析式來分析f（x），即使是求解析式也往往是已知圖像或者函數的一部分解析式，這樣的解答結果是唯一確定的;而本問題卻是反其道而行之，給出函數奇偶性、單調性和周期性性質，反過來寫出符合條件的函數，將信息逆向遷移，具有開放性。

（作者單位：江蘇省懷仁中學 ? ?214196）