基于水量平衡方程的水庫調洪演算基礎數據誤差傳播規律研究

周 斌

(汕尾市水利水電規劃設計院，廣東 汕尾 516600)

為確定水庫洪水位，需要根據水量平衡原理進行水庫調洪演算。由于方程各項積分難以直接計算，需要時間分段、逐時段連續求解，工程中常采用梯形法進行單步時段積分。有諸多學者嘗試了Runge-Kutta法、Lagrange插值[1]、三次樣條插值函數[2]等諸多數值方法以提高單步時段積分的精度。筆者曾對梯形法的積分誤差和傳播進行了討論，提出了最大可能誤差的計算方法[3]以控制計算誤差風險。入庫洪水、泄洪能力和庫容的基礎數據如存在誤差，也將直接影響到計算的調洪成果精度，曾有學者對以上三者隨機過程產生的蓄洪量的特性進行了相關研究[4]。近年來隨著洪水預報技術的發展，不少學者也開展了基于水文預報的調洪演算研究[5]。因此，分析基礎數據誤差對調洪成果精度的影響是必要的。

1 調洪演算的水量平衡基本方程

對任一時段(如t1→t2)，入庫水量減去出庫水量，等于該時段內水庫增加或減少的蓄水量[5]，此時水庫水位由z1升降至z2，需滿足水量平衡方程：

(1)

式中Q(t)——入庫流量過程；q(z(t))——出庫流量過程；F(z)——水庫庫面面積；z(t)——庫水位隨時間的變化過程。

采用梯形數值積分法[6]，式(1)可改寫為常見的實用公式(以下稱實用水量平衡方程)：

(2)

式中Qt1、Qt2——時段始、末的入庫流量；qz1、qz2——時段始、末的出庫流量；Vz1、Vz2——時段始、末的庫容；Δt——計算時段，Δt=t2-t1。

2 時段內的單步誤差方程及單步誤差傳遞規律

2.1 單一時段內的水位變化量

式(2)為非線性方程，已知時段初的庫水位z1可以直接解得時段末的庫水位z2。為方便后續討論，先討論一個近似解答。

(3)

2.2 入庫洪水誤差產生的時段末水位單步誤差方程

在計算時段(如t1→t2)內入庫洪水流量存在相對誤差ξQ，即入庫洪水流量可表述為(1+ξQ)Q(t)。由于誤差的存在，將使時段末水位產生誤差εQ-z 2(相對誤差為ξQ-z2)，即時段末的水位為z2+εQ-z2。則式(2)變為：

(4)

將式(4)采用一階泰勒公式在z2處展開，并略去高階微量，可寫為：

(5)

式(5)中消去式(2)，整理后有：

(6)

(7)

2.3 泄洪能力誤差產生的時段末水位單步誤差方程

如出庫流量(泄洪能力)存在相對誤差ξq，即出庫流量可表述為(1+ξq)q(z)。由于誤差的存在，將使時段末水位產生誤差εq-z2(相對誤差為ξq-z2)，即時段末的水位為z2+εq-z2。式(2)可寫為：

(8)

將式(8)采用一階泰勒公式在z2處展開，并略去高階微量，可寫為：

(9)

式(9)中消去式(2)，整理后有：

(10)

(11)

2.4 庫容誤差產生的時段末水位單步誤差方程

如庫容曲線存在相對誤差ξV，即庫容可表述為(1+ξV)V(z)。由于誤差的存在，將使時段末水位產生誤差εV-z2 2(相對誤差為ξV-z2)，將使得時段末水位變為z2+εV-z2，式(2)可寫為：

(12)

將式(12)采用一階泰勒公式在z2處展開，并略去高階微量，可寫為：

(13)

式(13)中消去式(2)，整理后有：

(14)

(15)

2.5 水位誤差敏感性排序

(16)

(17)

(18)

2.6 單步誤差傳遞規律

根據前述方程，基礎數據的相對誤差會產生單步計算時段末的水位誤差，匯總得從基礎數據的相對誤差傳遞至時段末的庫水位單步誤差的規律見表1。

表1 單步誤差傳遞規律

接近庫水位極大值(滿足Qt1+Qt2=2qz1)處ξQ-z2和ξq-z2存在奇點，且ξQ-z2和ξq-z2在奇點兩側正負號相反。

εV-z2在庫水位極大值兩側正負號相反。

εq-z2和εV-z2在庫水位極大值點前有交點，交點前|εq-z2|<|εV-z2|。

3 庫水位誤差累積方程及傳播規律

3.1 時段初、末的誤差傳播基本方程

對任一時段(如t1→t2)，如時段初存在水位誤差εz1(初始水位為z1+εz1)，將使時段末的水位變為z2+εz2，有[3]：

(19)

3.2 洪水相對誤差產生的水位絕對誤差累積方程

水庫調洪演算時，第n時段末的庫水位總存在相對誤差ξQ，可通過式(6)和式(19)計算累積誤差，有：

(20)

3.3 出庫流量相對誤差產生的水位絕對誤差累積方程

水庫調洪演算時，第n時段末的庫水位總存在相對誤差ξq，可通過式(10)和式(19)計算累積誤差，有：

(21)

3.4 庫容相對誤差產生的水位絕對誤差累積方程

水庫調洪演算時，第n時段末的庫水位總存在相對誤差ξV，可通過式(14)和式(19)計算累積誤差，有：

(22)

3.5 累積誤差的傳播規律

4 算例

某中型水庫位于廣東省海豐縣境內的黃江支流龍船溪上，壩址集雨面積23 km2，主河長9.2 km，河道加權平均坡降1%，樞紐建筑物有1座主壩、5座副壩、溢洪道、2座灌溉輸水涵管、2座灌溉進水閘。

溢洪道進口控制段為無閘控制的開敞式寬頂堰， 堰頂高程為12 m，凈寬35 m，控制段后接坡度為1∶8的陡槽段，陡槽后接消力池。以堰頂作為起調水位，遭遇洪水時,即從溢洪道自動按最大渲泄能力下泄洪水的調度方式計算遭遇百年一遇洪水的水庫調洪過程。為揭示基礎資料誤差對調洪成果的影響，在調洪成果的基礎上直接分析入庫洪水偏小10%(ξQ=-0.1)、溢洪道泄流能力偏大10%(ξq=0.1)、庫容偏大10%(ξV=0.1)產生的庫水位誤差情況。調洪過程和水位誤差變化過程見圖1，最高洪水位附近的誤差計算成果摘錄見表2。

從誤差圖可見，水位單步絕對誤差在庫水位上升期總體上以入庫流量的誤差影響最顯著，出庫流量的誤差影響最小；庫水位降落期則以出庫流量誤差影響最大，庫容誤差產生了制約庫水位下降的作用；累積水位誤差以入庫流量誤差的影響最為顯著，出庫流量誤差產生了持續了降低庫水位的影響；時段相對誤差的絕對值仍以入庫流量誤差影響最大，入庫流量和出庫流量的相對誤差在庫水位上升至最高點附近有奇點。入庫洪水、泄洪能力和庫容三要素的相對誤差對該水庫最高庫水位的影響程度，入庫洪水最大、泄洪能力最小。

表2 誤差計算成果摘錄

5 結語

采用水量平衡方程調洪演算時，洪水、泄洪能力和庫容等原始數據可能存在誤差，將影響到計算的調洪成果精度，分析評價這些基礎數據誤差對調洪成果的影響對工程安全是十分有必要的。各基礎數據的相對誤差對時段內的水位單步誤差有著不同的影響，庫水位上升期以入庫洪水流量最為敏感，且對庫水位相對誤差存在放大效應；庫水位升、降期，庫容誤差產生的水位單步誤差正負號相反，且相對誤差大于0時對庫水位相對誤差存在縮減效應；最高庫水位處入庫洪水流量和泄洪能力的水位單步相對誤差存在奇點。對于水位傳播累積誤差，有著不同的影響，在庫水位上升期，入庫洪水流量最為敏感；庫容相對誤差大于0時對庫水位相對誤差仍保持了縮減效應。