一類可化為爪型的高階行列式計算方法

武慧虹 錢淑渠

(1、2.安順學院數理學院，貴州 安順561000)

行列式在很多科學和工程問題中具有廣泛的應用，如線性系統的求解[1]，雅克比行列式計算及工程電路設計的符號分析[2]。低階行列式的計算有通用的標準計算方法，高階行列式的標準計算方法只能根據行列式的定義將其按行或列展開并分解為多個低階的行列式，再逐步降維交替操作獲得最終結果[3]，該方法雖然僅涉及簡單的“加、減、乘”運算，但隨著行列式階數的增大，其計算量呈階數的階乘級上升。此外，借助行列式的基本性質及矩陣的初等變換，將高階行列式化為上(下)三角形行列式也是一種規律性較強的高階行列式的計算方法[4]，但該方法需要初等變換來避免零元素作為主元出現的情況，故存在一定的局限。實際上，對于某些特殊類型的高階行列式，采用上述一般性方法計算其運算過程極其復雜且易于產生計算錯誤，但若研究行列式本身的特征，妙用某些技巧將會產生事半功倍的效果。為此，文章針對一類具有一定特征的高階行列式，研究爪型行列式在其計算中的妙用，以提高數學/非數學專業學生學習這類高階行列式的計算效率，增加他們學習代數學的興趣，對高階行列計算的教學提供一定的實用價值。

1 爪型行列式定義及計算方法

1.1 定義：形如

的行列式稱為爪型行列式[5,6]，其中bj≠0,j=1,2,…,n。

爪型行列式的基本特征是：

(1)兩條邊線上的元素不全為零，對角線位置b1,b2,…,bn均為非零；

(2)除(1)規定外，行列式其余位置元素均為零。

1.2 爪型行列式的計算方法

爪型行列式由于具有類似如手爪，其計算方法具有一定的規律和技巧，主要是利用對角線上的元素消去“橫線”或“豎線”上的非零元素，將原行列式化為三角形行列式再進行計算，具體如下：

計算機技能培訓平臺的設計研究以舊州鎮農村勞動力應用為例” 設有如下爪型行列式，則根據行列式的性質作如下計算：

(1)

(2)

上述計算過程采用了分別以第j(j=2,3,…,n+1)列乘以常數-ej-1/bj-1加到第1列，將第1列e1,e2,…,en位置消為零，則原行列式等價變換為上三角行列式，從而易于計算等價行列式的值。當然也可以采用分別以第i(i=2,3,…,n)行乘以常數-ai-1/bi-1加到第1行而計算。

注：其他類型的爪型行列式計算請讀者自己思考，這里不再贅述。

2 爪型行列式的妙用

爪型行列式妙用于高階行列式的計算，可為基礎差的數學/非數學專業學生提供極易掌握某些特殊高階行列式的計算方法。本部分通過具體實例研究爪型行列式如何妙用于高階行列式的計算。一般而言，需要考察待求行列式的特征，若待求行列式除對角線元素外，其余各列(行)元素均分別相同，則該行列式可運用行列式的性質等價變換為爪型行列式，從而借助爪型行列式的計算公式極易獲得結果，下面以例2.1、2.2和2.3給予實例介紹。

例2.1：計算階行列式

分析：高階行列式除了對角線元為外，各列其余元素均為，根據前面所述，可等價變換為爪型行列式。以下給出兩種等價變換解法：

解法一：直接化為爪型

因為

(3)

觀察式(3)易知其為爪型行列式。與式(1)對比可知d=x,aj=a,bj=x-a,ej=a-x，代入公式(2)可得：

解法二：加邊法化為爪型

因為

(4)

觀察式(4)易知其為爪型行列式，與式(1)對比可知d=1，aj=a,bj=x-a,ej=-1代入公式(2)可得：

評注：由上述兩種解法易知，滿足可化為爪型行列式的高價行列式，經ri+kr1變換后，原行列式即可變為爪型行列式，從而利用爪型行列式公式直接得出結果。

例2.2：計算n階行列式

解析：由高階行列式Dn的各列特征，易知其可采用直接法化為爪型行列式。

因為

(5)

觀察式(5)可知其為爪型行列式。與式(1)對比可知d=a+x,aj=a,bj=x,ej=-x，代入公式(2)可得

評注：本題如同例1也可采用“加邊法”將原行列式化為爪型行列式，此題的另一種變形形式為：

讀者可按本例易于求解得

例2.3：計算n階行列式

解析：同理，由于高階行列式Dn中除對角線元素外，各列其余元素都分別相同，考慮添加一行一列，將相同的元素化為0，使計算簡化。

因為

評注：上述計算方法采用了“加邊法”將原行列式化為爪型行列式，實際上也可直接將其變換為爪型行列式，請讀者自己練習。

3 結論

文章首先給出了爪型行列式的定義及其計算，然后針對一類具有一定特征的高階行列式，通過具體實例介紹了采用“直接法”和“加邊法”將其化為爪型行列式，最后采用爪型行列式的計算公式直接獲得高階行列式的值。該方法解決了數學/非數學專業學生求解這類高階行列式計算困難的問題，為本部分的教學和學習提供了一種高效快速的計算方法。