開關磁阻電機矩角特性模型非線性擬合方法

葉威， 馬齊爽， 徐萍， 張珀銘

(1. 空間物理重點實驗室, 北京 100076； 2. 北京航空航天大學 自動化科學與電氣工程學院, 北京 100083)

開關磁阻電機(Switched Reluctance Motor, SRM)在磁飽和工作條件下，磁場分布不規則，局部磁路會出現嚴重飽和，使得其很難精確建模。為分析這些飽和效應以及漏磁現象對電機的影響，目前廣泛使用有限元分析方法[1-2]。與實際測量結果的比較表明，有限元方法可以準確地預測開關磁阻電機的矩角特性，具有較高的計算精度，但計算量較大，且對于電機的動態性能分析和控制不夠靈活。機電能量轉換原理表明，電機輸出轉矩可以通過磁鏈-電流-角度(Ψ-i-θ)關系曲線計算得到，因此大多數現有的開關磁阻電機模型都是基于不同轉子位置角下的磁化曲線(Ψ-i)得到的[3]。已有的文獻提出一系列的開關磁阻電機數學分析[4-7]和仿真模型[8-11]，這些模型結合磁飽和效應來優化開關磁阻電機的控制參數，以降低轉矩脈動，但是由這些模型推導出的轉矩方程都相當復雜，要求控制器必須具有相當高的運行速度和計算能力，增加了控制器的運算負擔和能耗。在文獻[12-13]中將非線性磁鏈特性Ψ(i,θ)或自感特性L(i,θ)，以及矩角特性T(i,θ)數據以表格形式儲存起來，簡化計算，但查表法需要預先對電機進行測量或者有限元計算，且當實際電流或轉子位置角與表格中數值不能完全對應時，必須通過插值求取，查表法具有外推能力差和曲線逼近能力弱的局限性。文獻[14-15]則基于電機幾何尺寸和定轉子材料磁特性等少量信息建立了一種簡單非線性磁鏈模型，該模型實現了實時控制，可應用于控制參數的優化、轉矩脈動分析等控制系統的分析和設計中，但是由于模型過于簡化，降低了控制精度。

本文通過分析開關磁阻電機的幾何形狀和鐵磁特性，對電機的矩角特性進行了建模分析，并進一步優化了模型中各個參數，該模型將電機瞬時電磁轉矩表示為相電流和轉子位置角的解析表達式，同樣相電流也可表示為轉矩和轉子位置角的函數。為得到特定的輸出轉矩，通過此模型可以在線計算相應相電流的參考值，因此在轉矩的實時控制中，由這2個表達式很容易快速計算出不同相電流下的矩角特性，且沒有了查表法的局限性。同時此模型使得電機磁化曲線和瞬時磁鏈的計算成為可能，給電機的設計以及電機的驅動控制帶來很大的方便。最后為了檢驗模型精度，以2個樣機為例，將新模型的轉矩計算結果與有限元仿真和實測結果進行了比較。

1 可逆矩角特性的數學模型的建立

1.1 轉矩模型的建立

磁場未飽和時，開關磁阻電機相電感值L只依賴于θ，可記為L0(θ)，此時電機電磁轉矩公式為

(1)

記電感L0(θ)對角度θ的導數為L0p(θ)，則磁場不飽和時的電磁轉矩T0可以改寫為

(2)

為了降低功率變換器的視在容量，通常要求開關磁阻電機工作在高度飽和的狀態，其深度飽和的磁通密度B通常能達到1.5～1.65 T[16]，而且其飽和程度是變化的，所以飽和狀態下由式(2)得到的轉矩將顯著偏大。

文獻[17]指出在飽和狀態下，開關磁阻電機的輸出轉矩將不再與電流值的二次方成正比，而是隨著電流值線性變化。為了確保式(2)在飽和區域的有效性，新的轉矩模型參數必須滿足以下要求：

1) 在電流很小時，新的轉矩公式需與式(2)等效，即轉矩與電流平方成正比。

2) 當電流逐漸增大，電機變得飽和時，新轉矩方程將從電流的二次函數逐漸變為線性函數。

特別地，當i→∞，即轉矩方程從電流的二次函數退化為線性函數，記為

(3)

式中：n為正數;f=f(θ)為轉子位置角θ的函數(f>0)，作為曲線擬合時的函數修正。

綜上所述，提出以下新的轉矩模型，可以保證線性關系與二次關系的合理過渡：

(4)

在式(4)中，電流值i=1/f1/n為轉矩和電流的線性關系與二次關系的分界點，參數n影響從二次關系變為線性關系的速率，n越大變化速度越快，n的值與開關磁阻電機的材料、結構以及輸出性能有關。顯然，電流i的值遠小于1/f1/n時，式(4)與式(2)等效，新的轉矩模型滿足所期望的要求，但對具體參數的確定需要做詳細討論。

注意到轉矩方程式(4)是可逆的，當轉矩已知時，電流也能由轉矩導出：

(5)

式(5)可用于轉矩控制時，相電流參考值的計算。

1.2 電感模型的建立

圖1為電感L0(θ)及其導數L0p(θ)的理想和實際曲線示意圖。理想情況下，電機轉子極對著定子槽(θu≤θ<θbo)時，氣隙等效電感值保持為最小值，即Lu=Lmin，電感對角度的導數為零，L0p(θu)=0。從定、轉子極開始重疊到完全重疊(θbo≤θ≤θeo)這一區間，電感值線性增加，電感對角度的導數為恒定的常數L0pm。從定、轉子極完全重疊到兩者軸線重合(θeo<θ≤θal)，電感值保持其最大值不變Lal，電感對角度的導數為零，L0p(θal)=0。實際上，考慮到漏磁通和飽和效應的影響，電感及其導數的實際曲線如圖中實線所示，特別應該指出的是，在位置θ=θbo和θ=θeo處，氣隙的飽和效應最顯著。圖1中所示的θ1位置，對于大多數開關磁阻電機，都是在轉子極旋轉到與定子極重合20%的位置角附近。

參數L0pm的值直接決定了L0p以及轉矩的峰值，是十分敏感的參數，當對齊位置和非對齊位置的電感值Lal和Lu都已知時，L0pm可以由式(6)計算：

圖1 電感L0(θ)及其導數L0p(θ)的理想和實際曲線示意圖Fig.1 Schematic of ideal and real curves of inductance L0(θ) and its derivative L0p(θ)

(6)

式中：x=(θ-θu)/(θal-θu)為轉子位置角的歸一化表示；L0pN(x)為L0p(x)的歸一化表示；Zr為轉子極數。

在忽略漏磁和鐵磁阻的情況下，文獻[6]指出，L0pm的大小只與電機的幾何尺寸有關，可由式(7)估算：

(7)

式中：μ0為真空磁導率；r1為轉子外半徑；lst為鐵芯軸向長度；δ為氣隙寬度；N為相繞組匝數。電機幾何外形如圖2所示，R1和R2分別為電機定子內、外徑；βs和βr分別為定、轉子極弧；r2為電機軸徑；hr為轉子極高。

由于L0p(θ)是θ的周期函數，文獻[18]采用傅里葉級數方式建立了L0p(θ)等的通用模型，但這種方法需要確定足夠高次的傅里葉系數，才能確保良好的精度，如果電機轉矩特性未知，各個系數將很難確定。文獻[5]對于不同電機轉子位置，利用分段函數組的方式表示不飽和相電感L0(或其導數L0p)，但每個分段都只在各自適用區間內有效。圖3給出了L0p歸一化后的函數L0pN的分段函數表示，xbo是轉子極與定子極開始重疊時的歸一化轉子位置角，xbo=(θbo-θu)/(θal-θu)。grise(x)、gtop(x)和gfall(x)是各個區間的分段函數，grise(x)主要決定了L0pN在區間0≤x

為了突出各個區域分段函數的主要貢獻，采用擬合的方式，將3個分段函數放入一個解析表達式中，得到全區域θu≤θ≤θal的函數L0p(θ)解析表達式，擬合方式如下：

圖2 開關磁阻電機幾何尺寸Fig.2 Physical dimensioning of switched reluctance motor

圖3 L0pN由分段函數grise(x)、gtop(x)和gfall(x) 擬合Fig.3 L0pN is fitted by piecewise function grise(x)，gtop(x) and gfall(x)

L0p(x)=L0pm·L0pN(x)

(8)

式中：L0pm為L0p(x)的幅值。L0pN(x)擬合表達式為

(9)

其中：m為充分大的正數。

確定式(9)中的3個函數grise(x)、gtop(x)、gfall(x)及m將是確定L0p(x)的研究重點。這里可以初步確定grise(x)、gtop(x)和gfall(x)的幾個特點：

1) 在x=x1位置時(x1是θ1的歸一化)，L0p取最大值，則可以確定gtop(x=x1)=1。

2) 相較于區間xbo

3)gfall(x)是為了確保L0p(x)在對齊位置θ=θal附近的快速衰減為0，所以在定、轉子極互相偏離較遠時，函數gfall(x)的值應等于1，而當定、轉子極接近對齊位置即x→1時，函數gfall(x)的值應從1迅速衰減為0。

2 函數L0pN(θ)參數的確定

在轉矩模型式(4)中，函數L0p、f及參數n都是未知的，第1節中總結了它們需要滿足的要求和一些參數確定的選擇方向。在L0pm已經由電機幾何尺寸計算得到的前提下，L0p僅決定于L0pN，本節將進一步通過電機幾何尺寸確定函數L0pN的各個分段函數和系數的選擇。

2.1 m值的選擇

在式(9)中，正數m值決定了L0p在x=xbo附近變化的光滑程度，m值越大，過渡區間越窄。當m→∞時，函數grise(x)與gtop(x)在x=xbo將垂直跳躍過渡，過渡區域變為一條豎直線，因此定義條件函數l(x),m應充分大到滿足下列條件：

(10)

圖4給出了不同的m值所對應的過渡區間，m值應充分大，但并不是越大越好，需要根據xbo的位置合理選擇。

圖4 不同的m值所對應的過渡區間Fig.4 Transition intervals for different m values

2.2 grise(x)的選擇

相對于區間xbo

(11)

式中：常數μrise取決于電機的幾何外形；指數α略大于1。由于這一區間的轉矩很小，μrise比較典型的取值區間是0.1～0.25，α可以合理地取值為1.5，圖5所示為不同α與μrise下的grise(x)曲線。

2.3 gtop(x)的選擇

若在x=x1位置時，L0p取最大值，則函數gtop(x=x1)值應等于1，為了描述整個xbo

gtop(x)=1-μtop(x-x1)β

(12)

式中：對于大多數開關磁阻電機，x1一般指轉子極旋轉到覆蓋定子極20%部分的位置角，即x1=xbo+0.2(1-xbo)。圖6所示為不同μtop下的gtop(x)曲線，β取值為2。

常數μtop決定了L0p在x≠x1位置的下降速度，對于樣機1(xbo=0.31，x1=0.45)仿真結果表明，當電機電流為常值時，因相電感的影響導致電機的轉矩有約15%的幅度變化，從圖6中可以看出，μtop比較好的取值是μtop=0.5。

圖5 不同α與μrise下的grise(x)曲線Fig.5 Curves of grise(x) for different α and μrise

圖6 不同μtop下的gtop(x)曲線Fig.6 Curves of gtop(x) for different μtop

2.4 gfall(x)的選擇

在定、轉子極未對齊時，函數gfall的值等于1，而當定轉子極接近對齊位置即x→1時，函數gfall的值應迅速衰減為0，所以一種可能的表達式為

(13)

式中:系數μfall通常取1即可。

由于大多數電機定、轉子極寬度接近(一般轉子極要寬一些)，只要正整數k值取的充分大，式(13)能夠滿足這些電機的特性。然而，對于那些定、轉子極寬度顯著不同的電機，在x=xeo和x→1處gfall衰減幅度將顯著不同，為了將這種性質加入，式(14)將更合理：

(14)

式中：xeo為定、轉子極鋼開始完全重疊時的歸一化位置角。當k→∞時，由式(13)和式(14)將得到gfall(0

圖7 不同k下的和的曲線Fig.7 Curves of and for different k

3 模型參數n與函數f(θ)的確定

本節將研究參數n所受到的約束條件，并確定修正函數f(θ)。

3.1 參數n的確定

顯然對于任何開關磁阻電機，無論轉角θ和電流i取何值，磁鏈都應該是電流的單調遞增函數，即

(15)

磁鏈與轉矩滿足：

(16)

由式(4)、式(15)和式(16)可得

(17)

為了簡化分析，在這里假定式(17)被積函數中的f是不變的常數，則可得

(18)

顯然，當n≤1時，不等式(18)恒成立，當n>1時，不等式左邊對電流求導，使得不等式左邊取極值的電流值為

(19)

將式(19)代入式(18)，并取L(θ)在對齊位置的最大值L(θ=θal)=Lal，將得到一個滿足式(17)的必要條件：

(20)

在式(20)中，相繞組等效自感最大值與最小值之比Lal/Lu受到參數n值的約束，兩者關系曲線如圖8所示。

圖8中，當n=3時，Lal/Lu=13.4，對大多數實際電機，受到材料和結構的限制，Lal/Lu比值都不會超過這個值，特別是考慮到嚴格計算還要超出20%以上，因此對大多數的開關磁阻電機，參數n值選擇n=3將是最佳。

圖8 Lal/Lu值與n的關系曲線Fig.8 Curve of relationship between value of Lal/Lu and n

3.2 函數f(θ)的確定

綜合考慮電機的特點，f(θ)需要滿足2條特性：

1) 在定轉子極不重疊區間(即θu≤θ≤θbo)，電機磁場未飽和，特別是在非對齊位置角θ=θu附近，電磁轉矩的非線性方程式(4)將退化為線性方程式(3)，從而可知當θ→θu時，f(θ)→0。

2) 在位置x=xbo和x=xeo處氣隙的飽和效應最為顯著[19]，這意味著f(x)在這2個位置取極大值。

根據這2條特性，在區間xbo≤x≤xeo，f(x)可以表示為

(21)

式中：預設了3個常數c、c1、c2，為了確定這3個數，首先必須假設c足夠大，使得f(x=xbo)≈c1且f(x=xeo)≈c2。

1) 常數c2

在x=xeo時，氣隙磁鏈和電流偏離線性關系，磁路臨界飽和，?T/?i將達到最大值，即

(22)

由式(4)和式(22)可得

(23)

(24)

在式(21)中有f(x=xeo)≈c2，所以聯立式(21)、式(23)和式(24)可得

(25)

式中：典型的臨界飽和磁通密度Bs范圍是1.2～1.5T。

2) 常數c1

在電機深度飽和時，即x=x1，i→∞時，電磁轉矩可由式(3)計算，但深度飽和時的電磁轉矩滿足：

Tem=Bsatr1lstNi

(26)

式中：Bsat為電機深度飽和時的磁通密度，典型范圍是1.5～1.65T。電機深度飽和時，電流記為Isat，同理，Isat與Bsat也滿足式(24)。由式(3)和式(26)可得

(27)

實際上，對于大多數開關磁阻電機，x1=xbo+0.2(1-xbo)，為簡化分析，可以認為

f(x)|x=xbo=λnf(x)|x=x1

(28)

式中：λ為常數，表示等式兩邊為簡單的比例關系，經過大量的實驗和仿真驗證，其典型的取值范圍為1≤λ≤1.3。

在式(21)中有f(x=xbo)≈c1，所以由式(21)、式(27)和式(28)可得

(29)

3) 常數c

對于一般的開關磁阻電機，x1≈(xbo+xeo)/2，所以將x1代入式(21)可得

(30)

將式(25)、式(27)和式(29)代入式(30)可得

(31)

從本節可知Bsat和Bs的值很接近，除非特別必要的地方，可在式(31)及后面的分析中，取Bsat=Bs，簡化分析過程。于是，由式(24)、式(25)、式(27)和式(29)可有以下推論：

(32)

(33)

(34)

為了在區域0≤x

(35)

由推論式(32)～式(34)可知，將f(x)歸一化處理只需要將f(x)與Isn相乘即可。故在式(21)和式(35)中，將各參數取值為n=3，λ=1.2，m=13，則歸一化的f(x)與f1(x)的曲線如圖9所示，顯然，圖中的f1(x)滿足f的2條特性。

圖9 歸一化的f(x)與f1(x)的曲線(n=3,λ=1.2,m=13)Fig.9 Normalized curves of f(x) and f1(x)(n=3,λ=1.2,m=13)

4 可逆矩角特性模型的有限元計算與實驗驗證

將表1中所列的2個開關磁阻樣機在有限元軟件中各自建立計算模型，得到電機轉矩的有限元計算結果，如圖10所示，圖10(a)為樣機SRM1和SRM2的有限元三維模型，圖10(b)為SRM1不同轉子位置的瞬態場的計算結果。

為驗證解析模型的準確性，將樣機SRM1的有限元模型與模型解析結果進行比較。圖11給出了有限元模型結果，其中各曲線所對應的相電流值從0A開始每次增加1A，最大相電流值為8 A。由于解析表達式(4)中的參數在各自允許的范圍內是可以合理調整的，圖12(a)、(b)和(c)分別為在不同的解析模型參數下的結果對比，各解析模型(a、b和c)的參數取值列于表2中。

表1 兩個開關磁阻樣機的主要參數Table 1 Main parameters of two SRM prototypes

圖10 兩個樣機的有限元模型及SRM1的磁路仿真結果Fig.10 Finite element models of two prototypes and magnetic simulation result of SRM1

在圖12中，電機輸出正轉矩和負轉矩區間的曲線形狀是成中心對稱的，由3個解析模型的對比結果可知，對于確定尺寸的開關磁阻電機，表征其轉子位置角的模型參數xbo、x1和xeo只與電機的幾何形狀相關，所以在解析模型中是固定值。而電機的材料決定了相繞組電感導數L0p(x)的曲線形狀，進而決定了轉矩曲線的形狀，所以在圖中的3個解析模型中，參數μrise、μtop、μfall和α、β的值也都相同。最后，m值影響了0

圖12 樣機SRM1有限元模型與不同模型參數的解析模型結果對比Fig.12 Result comparison between finite element model and analytical model with different model parameters for prototype SRM1

作為結果比對，表3計算了不同相電流下，圖12(a)、(b)和(c)中解析模型結果與有限元計算結果的絕對誤差Terror及平均相對誤差TR,其計算式如下：

(36)

(37)

式中：TFEM為有限元計算的輸出轉矩；TModel為解析模型計算的輸出轉矩；j為采樣點編號；Ns為總采樣點。

從表3可以看到，從平均相對誤差指標上看，模型c好于模型b好于模型a。從絕對誤差指標上看，模型a在相電流較小時比較準確，模型b在相電流較大時比較準確，而模型c，除在相電流值8 A時絕對誤差稍偏大外，無論是絕對誤差還是平均相對誤差指標上均優于前兩者。所以對于樣機1，模型c是最優選擇。

解析模型結果，有限元的計算結果和實驗測量結果的對比如圖13所示，從圖中可以看出矩角特性曲線的解析計算結果與有限元結果基本一致，與實驗測量結果誤差不超過3%，誤差最大值在轉子對齊位置處。與實驗測量結果誤差原因一部分是在電機的對齊位置，輸出轉矩值隨位置角的變化非常劇烈，這一點從曲線圖下降趨勢可以看出，所以在此位置轉子的微小擾動對測量結果的影響是很明顯的。

對于樣機SRM2，解析模型各參數的取值列于表4中，其有限元計算結果和解析模型結果的對比如圖14所示，從圖中可以看出矩角特性曲線的解析計算結果與有限元計算結果完全一致。

表2 各解析模型的參數取值Table 2 Parameter values of each analytical model

綜上所述，本文提出的可逆矩角特性解析模型具有普適性，能夠適用于多種不同規格的開關磁阻電機的建模，解析模型與有限元計算結果和實際測量結果都基本一致，計算速度快準確度高。

表3 樣機SRM1解析模型和有限元模型的Terror和TRTable 3 Terror and TR of analytical model and finite element model for prototype SRM1

圖13 樣機SRM1解析模型、有限元模型和實驗測量結果對比Fig.13 Result comparison among analytical model, finite element model and experimental measurement

參數mnxboμriseαx1μtopβxeoμfallk數值4030.40.2320.410.520.990.9520

圖14 樣機SRM2有限元模型與解析模型結果對比Fig.14 Result comparison between finite element model and analytical model for prototype SRM2

5 結 論

本文提出的SRM矩角特性可逆非線性模型：

1) 用分段函數擬合，避免了單一函數在擬合電機相電感時精度不問題，在模型精確度和復雜度之間達到平衡。

2) 在電機線性區和非線性區均有較高精度，與有限元仿真結果相比誤差小于2.6%，與樣機實測數據相比誤差在3%以內。

3) 模型參數中n的值，受到電機中相繞組等效自感最大值與最小值之比的約束，一般取3比較合適。

4) 模型參數中的xbo、x1和xeo由電機的幾何形狀決定，μrise、μtop、μfall和α、β由電磁特性確定。不確定的參數只有m和k模型參數的優化較為容易實現。