基于彈性波理論的深水吊纜非線性運動研究

趙 藤，張 絨，王 淼

(重慶交通大學, 重慶 400074)

0 引 言

作為海洋油氣資源開發重要前提和必要保證之一的水下安裝吊放模塊，隨著水下開發水深的增加和吊裝作業要求的不斷提高，其作業范圍由數十米的淺水（500 m以下）區域發展至數百米的深水（500～1 500 m）海域，甚至達到近2 000 m的超深水海域，同時其吊載質量也隨水下安裝模塊的高度集成化與一體化由數噸增至數百噸[1]。深水、重載時吊纜在外部激勵作用下的運動響應，特別是垂向運動，與淺水、輕載時的運動響應呈現很大的不同，其原因為淺水、輕載時的吊纜可視為剛體，吊纜的運動響應與力學特性可看作是線性的；隨著作業水深的增加和吊載質量的不斷增大，吊纜自身彈性變形引起的伸縮將不可忽視，此時的吊纜應視為彈性體，其運動響應與力學特性亦已超出線性范圍而進入非線性區域[2-3]。

繆國平等[4]指出水下纜索可看作撓性部件；Gault[5]采用懸鏈線法計算得到系泊纜索的幾何構型和纜張力；Webster[6]采用非線性有限元方法，對系泊纜索在上端點簡諧激勵下的動力特性和系泊阻尼做了廣泛的參數敏感性研究；Yang & Teng[7]采用基于索單元的幾何非線性有限元方法對一個具有非線性應力-應變關系的合成纜索進行了動力分析。一般對輕載、淺水時吊纜進行研究時多將其視為剛體，采用牛頓定律分析其運動而忽略了吊纜自身的變形。對于水下吊裝纜索而言，隨著長度的增加，其自身的彈性性能表現的異常突出。在突變載荷的作用下，吊索變形并非整體保持均勻，其運動也不會整體一致，變形和運動是一個不斷發展和傳播的過程，此過程可看作類似波動的微觀過程，顯然此類問題已超出了經典力學的求解范疇，而采用彈性動力學中的彈性波理論可有效解決此類問題[8 - 9]。

1 深水吊纜動力學建模

以彈性波理論為基礎，考慮吊纜的自身特點及彈性力學性能，忽略其彎曲、剪切及扭轉剛度，用 S0表示吊纜未被拉伸時的幾何形狀，表示靜態平衡位置，Sf表示吊纜動態幾何構型，吊纜的幾何構型如圖1所示[10]。

圖1 吊纜動態幾何構型示意圖Fig. 1 The dynamic geometry of hoisting cable

建立弧坐標 s，吊纜一端連接母船，另一端與吊載連接，圖中給定的 Ri(s)和 Rf(s,t)分別表示吊纜上某一點在靜態平衡位置和動態曲線上的位置向量，則吊纜相對于平衡位置的三維位移可表示為：

根據Hamilton原理，認為吊纜的總能量由其自身的應變能、動能、重力勢能及外力所做的功幾部分組成，則描述吊纜瞬態應變能的表達式為

其中： ef為吊纜瞬態的應變能； sf為吊纜伸長后瞬態構型的弧長坐標； s°為吊纜未伸長時的弧長坐標。

則吊纜在瞬態構型 χf時的應變能為

其中：Ψsi為平衡位置 χi時吊纜的應變能； Li為平衡位置時吊纜的長度； Ai為平衡位置 χi吊纜的橫截面積；E 為吊纜的彈性模量； Pi(si,t)為平衡時吊纜的靜態張力； ε為中心線拉伸后的拉格朗日應變的動態分量。

當不考慮吊纜周圍流體時，其重力勢能可表示為：

其中：Ψgi為在平衡位置 χi時吊纜的重力勢能； ρ為吊纜的密度； lτ和 ln分別為切向與法向的方向余弦。

由浮力產生的勢能可表示如下：

吊纜在瞬態構型 χf的動能可表示為

其中 Vf為動態吊纜構型上質點的絕對速度，其表達式為

作用于吊纜上的外力 F所做的功可表示為

其中外力 F可沿位移方向分為3個方向的分量 F1，F2和 F3。

根據Hamilton原理，有

將表達式（4）～式（9）代入式（10），可得3個方向吊纜三維非線性運動方程。

切向運動方程：

法向運動方程：

副法向運動方程：

假設吊纜的本構關系為線性的，并僅考慮面內運動，忽略與副法向有關的項，結合彈性波的基本方程，可得吊纜非線性運動方程為：

2 深水吊纜非線性運動響應數值求解

2.1 數值求解的有限差分法

考慮到求解速度與求解規模，對于大位移的吊纜內在固有非線性問題，有限差分法是較為適宜的一種方法。但由于通用的差分格式無法適應非線性較高的方程，因此根據泰勒展開推導得到更為適用的差分格式，如式（16）和式（17）所示。

與時間相關的位移和速度的差分格式為[11]：

其中， U ， v ， a 分別表示位移、速度和加速度； α1，α2， β1， β2分別為積分參數，分別取0.5，1.0，0.5，1.0。

式（18）中不同節點處法向和切向的加速度與吊纜非線性運動方程（14）和式（15）中的外部力之間的關系，可通過定義離散的動力學方程得到：

式中： M為包括附加質量在內的單位長度纜索質量；A為 加速度； V 為速度；U 為位移； Fexcit為外部激勵。

2.2 深水吊纜非線性運動響應分析

采用空間差分格式（16）、式（17）和時間差分格式（18）求解深水吊纜非線性運動微分方程（14）和式（15），分析不同吊纜長度及吊載時吊纜的運動特性。

2.2.1 深水吊纜非線性運動響應計算及驗證

選取的計算參數參照文獻[12]，如表1所示。

采用表1中的計算參數，通過編程求解式（14）和式（15），分別計算4 500 m和3 000 m時不同上端激勵周期時吊纜的最大張力值，與試驗值進行對比，一并列于表2和表3中， 并根據表中數據繪制圖2和圖3。

從計算結果可以看出，無論是4 500 m水深還是3 000 m水深，本文計算結果與試驗值的變化趨勢相同，特別是在周期低于6 s時，誤差較小，計算結果與試驗值吻合較好。當上端激勵周期超過6 s時，2種水深情況下計算值都比試驗值偏小，誤差甚至達到30%以上。對此問題的解釋，首先看到無論是計算結果還是試驗值，隨著上端激勵周期的不斷增加，纜張力呈現逐漸減小的趨勢，其原因為當上端激勵周期較小時，此時的激勵頻率較高，上端激勵可以看作是“突變載荷”，“突變載荷”的作用效果使得吊纜中存在瞬間變化的沖擊張力，隨著上端激勵周期的逐漸增加，此時的激勵可以看作是緩慢變化的，上端激勵的“突變效應”逐漸減小，吊纜內的沖擊張力逐漸減小，在表面看來吊纜的張力也會響應減小。文獻中采取等效截斷方法進行試驗，吊纜的長度為12 m，此時吊纜的張力與變形的關系仍符合胡克定律，呈線性關系。而本文計算考慮了吊纜的非線性效應，隨著上端激勵周期的逐漸增加，吊纜的非線性程度也逐漸變大，因此吊纜張力計算結果隨著上端激勵增加而減小的程度勢必會增大，這說明是否考慮由吊纜彈性伸縮引起的非線性對于纜張力影響的差異還是較大的。由此可以看出，采用本文中的計算方法是準確可靠的，可以作為后續理論分析與仿真計算的有效工具。

表1 計算參數Tab. 1 Calculation parameters

表2 3 000 m時不同激勵周期時吊纜張力值比較Tab. 2 The comparison of cable tension with different inspiring period when the length is 3 000 m

表3 4 500 m時不同激勵周期下吊纜張力值比較Tab. 3 The comparison of cable tension with different inspiring period when the length is 4 500 m

圖2 3 000 m時不同激勵周期時吊纜張力值比較Fig. 2 The comparison of cable tension with different inspiring period when the length is 3 000 m

圖3 4 500 m時不同激勵周期時吊纜張力值比較Fig. 3 The comparison of cable tension with different inspiring period when the length is 4 500 m

2.2.2 深水吊纜非線性運動響應分析

不失一般性，為準確掌握吊載在不同水深時的垂向運動特性，分析由吊纜長度的不同引起的吊纜伸縮性的變化對吊纜非線性運動的影響，考慮深水吊裝的實際作業海況及工作母船運動響應特性，選取幅值為1 m，周期為4 s的諧波運動作為初始激勵，吊纜參數與表1相同，吊載質量為10 t，計算時間為120 s，對不同水深時的吊載垂向運動響應特性進行計算，計算結果如圖4所示。由圖4可以看出，初始激勵為線性運動，吊載的垂向運動響應時歷呈現隨機狀態，為明顯的非線性運動。而且，當吊纜長度為1 000 m時，吊載的垂向位移響應呈現一定的規律性，其響應周期與初始激勵極為接近，幅值明顯超過初始激勵，甚至可以達到初始激勵的數倍，這說明當前吊纜在選取的計算參數和初始激勵下出現了共振現象，因此在實際作業過程中應盡量避免在此工況下進行施工。

圖4 不同纜長時初始激勵位移與吊載垂向位移時歷Fig. 4 The initial motivation displacement and load vertical displacement of cable under the different cable length

圖5 不同纜長時吊載響應頻譜分析Fig. 5 The response spectrum analysis of hoisting load under the different cable length

為了更為清晰的得到吊纜垂向運動響應周期與初始激勵的關系，將圖4中的運動時歷進行頻譜分析，結果如圖5所示。由圖5可以看出，吊纜上端初始激勵的主頻率為一特定的值，為線性運動；而吊載響應的主頻率有2個（L=1 000 m除外），大體分布于吊纜上端激勵頻率的兩側，由此亦可以說明吊載運動響應是非線性的。其中一個主頻率為0.3，另一頻率的值隨著吊纜長度的增加逐漸減小，且頻率0.3所對應的譜密度峰值逐漸減小，另一頻率的峰值逐漸增加，這說明吊載垂向運動響應周期隨吊纜長度的變化而發生改變，也就是說吊纜長度是影響吊載垂向運動響應周期的重要因素之一。

將纜長3 000 m和4 500 m時吊載處垂向位移幅值的計算結果繪制成圖6。通過分析計算結果可以發現，激勵周期在4 s以內時，纜長3 000 m和4 500 m吊載處的垂向位移幅值基本保持一致，隨著激勵周期增加，3 000 m時吊載處的垂向位移幅值要大于4 500 m，且相差程度越來越大，這與纜長的變化引起吊纜自身彈性伸縮量的不同有直接關系。計算結果表明，吊纜上端激勵周期影響吊纜垂向運動響應的重要因素之一，故在考察上端激勵對吊纜非線性運動響應的影響時，除考慮激勵幅值等因素外，還需關注上端激勵周期。

圖6 不同吊纜長度的吊載垂向位移隨吊纜上端激勵變化情況Fig. 6 The variation of load vertical displacement with different inspiring period and cable length

3 結 語

以彈性波理論為基礎，從能量的角度出發，根據Hamilton原理建立了吊纜的動態模型，推導出吊纜在法向、切向和副法向3個方向的三維非線性運動方程，考慮平面運動，通過泰勒展開得到各自的非線性表達，根據方程的特點，采用有限差分方法進行求解，參照文獻中給定的參數對深水吊纜的非線性運動響應進行計算，通過與文獻中不同上端激勵周期時纜張力試驗值的比較，驗證了求解方法的準確性和可靠性，同時分析了出現誤差的原因；以諧波運動作為初始激勵，計算不同水深時的吊載垂向運動響應并進行頻譜分析，結果表明初始激勵為只有一個主頻率的線性運動，但吊載的垂向運動響應時歷呈現隨機狀態，出現2個主頻率，為明顯的非線性運動；同時給出了纜長4 500 m和3 000 m吊載處的垂向位移的計算結果，發現隨著激勵周期增加，3 000 m時吊載處的垂向位移幅值要大于4 500 m，且相差程度越來越大。