浙江專升本高等數學考試微分中值定理試題分析

董飛

摘? 要：微分中值定理是高等數學教學與專升本考試的重點，該文分析了2005—2019年浙江專升本高等數學考試中需要應用微分中值定理解決的綜合題，總結出了3類題型的解決方法，為浙江專升本學生提供參考。

關鍵詞：專升本? 微分中值定理? 浙江? 考試

中圖分類號：O13 ? ?文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2019）11（b）-0192-02

對于高職高專院校計劃進入本科學習的畢業生，全日制專升本可以稱為人生的第二次高考。自2005年起，浙江專升本開始由浙江考試院獨立組織考試，報考人數逐年增多，而省重點建設高校卻逐年減少招生計劃以至停止招生，本科公辦院校招生計劃也在減少;與此同時，本科獨立院校、民辦院校招生計劃逐年增加，專升本學生想進入一個好的本科院校難度越來越大。對于學習理工、經管、農學、醫學大類的學生，高等數學則是必考科目。在專升本高等數學試卷中微分中值定理通常作為壓軸題出現在最后一題。筆者通過對2005—2019年的浙江省高等數學試卷中的微分中值定理部分進行分析研究、歸納整理，希望對于浙江專升本的學生有所幫助。

微分中值定理是研究函數性質的重要工具之一，包括費馬定理、羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理[1]。關于微分中值定理的應用有一些學者進行過研究[2-3]，下面該文將通過真題實例給出微分中值定理在解決專升本數學綜合題中的應用。

1? 證明方程根的存在性

這類題目通常讓證明“至少存在一點ξ∈（a，b），使得f'（ξ）+g（ξ）=0成立”，一般運用羅爾中值定理去證明。證明方程根的存在性，核心環節是根據結論構造輔助函數，下面是證明這類問題的步驟。

（1）從題目中“使得”后面的式子入手，將后面式子化為f'（ξ）+g（ξ）=0這種方程形式，等號的左邊式子即為需要構造新函數導數在ξ處的值，即F'（ξ），把ξ換成得到F'，通過F'找其原函數，即為構造的函數。

（2）題目中一般給出“在（a，b）內至少存在一點ξ”，找出相應區間[a，b]。

（3）驗證滿足羅爾中值定理的條件，即在相應區間上連續、可導以及端點處相等3個條件。

例1（2005年浙江專升本綜合題.2）已知函數，其中常數a、b、c、d滿足a+b+c+d=0，證明函數在（0，1）內至少有一個根。

分析：要證明在內至少有一個根，首先會想到用零點定理，但將兩個端點0和1帶入并不能得到異號的兩個值，零點定理不可用。看作某函數的導數，運用拉格朗日中值定理，構造的原函數，將兩端點0和1帶入值相等，可行。

證明：令。在[0，1]上連續，在（0，1）內可導，又因為F（0）=F（1）=0。由羅爾中值定理可知，存在ξ∈（0，1）使得F'（ξ）=0，即f（ξ）=4aξ3+3bξ2+2cξ+d=0，證畢。

例2（2011年浙江專升本綜合題.3）設函數在閉區間[0，1]上連續，在開區間（0，1）內可導，且f（0）=0，f（1）=2，證明：在（0，1）內至少存在一點ξ，使得f'（ξ）=2ξ+1成立。

分析：要證明f'（ξ）-2ξ-1=0在（0，1）上有根，因此構造此函數的原函數為輔助函數。

證明：令。在[0，1]上連續，在（0，1）內可導，因為F（0）=f（0）-0-0=0，F（1）=f（1）-1-1=0，所以F（0）=F（1），所以由羅爾中值定理可知存在ξ∈（0，1）使得F'（ξ）=0，又因為，所以存在ξ∈（0，1）使f'（ξ）=2ξ+1，證畢。

例3（2017年浙江專升本綜合題.27）設函數在[0，1]上可導，且f（1）=0，證明：存在ξ∈（0，1），使得ξf'（ξ）+f（ξ）=0。

分析：要證明ξf'（ξ）+f（ξ）=0在（0，1）上有根，因此構造此函數的原函數為輔助函數。

證明：令，因為在[0，1]上可導，所以在[0，1]上可導且連續，又因為F（1）=f（1）=0，F（0）=0，即F（0）=F（1），所以以由羅爾中值定理可知存在ξ∈（0，1）使得F'（ξ）=0，，所以存在ξ∈（0，1），使得ξf'（ξ）+f（ξ）=0，證畢。

結論：通過以上3道專升本真題，可以看出羅爾中值定理適用于證明導函數某點值為0的問題或者方程至少有根的問題。一般需要構造新的函數，而構造出來新的函數的導數等于結論等于0部分的函數，證明這類問題證明過程結構相似。

2? 證明不等式

證明不等式是浙江專升本考試中一個重要的考試題型，可以利用輔助函數的單調性、函數圖像的凹凸性以及微分中值定理來證明不等式。筆者通過對浙江專升本的真題研究，發現大多數不等式的證明需要運用拉格朗日中值定理，下面是證明這類問題的步驟。

（1）對不等式的式子進行變形，得出與拉格朗日中值定理形式一致的式子，式子分子為函數在兩端點處的函數值的差，分母為端點處的差，以區間[a，b]上的不等式為例，尋找對應函數，分子為，分母為b-a。

（2）在題目中找出拉格朗日中值定理需要的條件，連續及可導。

（3）對函數求導，得出f';

（4）根據a<ξ

例4（2006年浙江專升本 綜合題.1）設0

分析：不等式給出的區間[a，b]，根據不等式中間部分特點，需引入函數，后面根據拉格朗日中值定理便可證明不等式關系。

證明：設，n≥2，則在[0，1]上連續，在（0，1）內可導，由拉格朗日中值定理可得，存在ξ∈（a，b）使得，即。因為a<ξ

例5（2009年浙江專升本 綜合題.2）設函數在[0，1]上可導，且f（0）=0，f（1）=1，且不恒等于，求證：存在ξ∈（0，1），使得f'（ξ）>1。

分析：給定區[0，1]間，由于，并且不恒等于，用拉格朗日中值定理便可證明此題。

證明：由不恒等于，故存在∈（0，1）使得。若，由拉格朗日中值定理，存在使得，若，由拉格朗日中值定理，存在使得，證畢。

例6（2012年浙江專升本綜合題.25）設a﹥b﹥e，證明：ab﹤ba。

分析：給定區間[a，b]，不等式兩邊作用對數blna﹤alnb，不等式兩邊除以ab，有，因此可以構造函數，然后在[b，a]上運用拉格朗日中值定理。

證明：設，∈（a，b），函數在[b，a]上連續，在（b，a）內可導，由拉格朗日中值定理，存在ξ∈（b，a）使得，所以，又因為e﹤b﹤ξ﹤a，所以1-1nξ﹤0，所以blna-alnb﹤0，即blna﹤alnb，所以ab﹤ba，證畢。

結論：對于浙江專升本考試，在綜合題中如果不等式的式子涉及端點的值以及函數導數的問題，大多數是根據拉格朗日中值定理去證明不等式，這里構造函數是重點和難點，如果不能簡單的從不等式中看出，則需對不等式進行變形變換，進而找出。

3? 涉及高階導數的證明

對于浙江專升本考試，在綜合題的證明中，如果涉及二階及二階以上導數的求解證明題，一般考慮采用泰勒中值定理。浙江專升本考試大綱中要求“理解泰勒（Taylor）中值定理”，因此涉及這方面知識點的題目相對來說比較簡單，但要求考生能夠寫出泰勒中值定理的展開形式公式，進而帶入公式寫出相應函數。

例7（2014年浙江專升本 綜合題.25）設，且證明：。

分析：題目條件給出函數二階導數大于0，并且所要證明的是，考慮對進行泰勒展開出現f（0），…，進而比較兩者大小。

證明：因為二階導數存在，所以連續且有一階導數，又因為，所以f（0）=0，由泰勒中值定理，得，，又因為，所以，證畢。

例8（2019年浙江專升本綜合題.25）設在[-1，1]上具有二階連續的導數，且f（0）=0，寫出的帶拉格朗日余項的一階麥克勞林公式。

分析：此題要寫帶拉格朗日余項就是利用泰勒中值定理寫出相應公式，要求寫一階麥克勞林公式，則余項為帶ξ的二階導數。

解：由的泰勒中值定理，可得：

，

4? 結語

在浙江專升本考試中，微分中值定理一般是作為壓軸題出現在試卷的第四道大題即綜合題里面，這一直是考試的重點與難點。通過統計我們發現，考試中最多、最常見的題型為方程根存在性的證明與不等式的證明，只要讓學生多練習、多總結、多找其中的規律，就能夠解決這類問題。

參考文獻

[1] 同濟大學數學系.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2] 孫學敏.微分中值定理的應用[J].數學教學研究，2009，28（10）：61-63.

[3] 高遵海，吳黨松.多個函數的微分中值定理[J].河南教育學院學報，2006，15（1）：33-35.