利用再生散度模型的性質求數學期望和方差

黃佳佳　夏天

摘? 要：再生散度模型是一個分布族，它包括許多常見的分布，比如：正態分布、二項分布、Poisson分布、Gamma分布和逆Gauss分布等。關于再生散度模型的概率密度函數的積分的求導性質，文獻中已有研究。在一些適當的正則條件下，對于再生散度模型的概率密度函數的積分，關于其參數的求導運算可以通過積分號來進行。該文主要研究利用這個性質，來求隨機變量的數學期望和方差。最后通過實例說明了這種方法是有效的并且比傳統方法更簡單。

關鍵詞：再生散度模型? 數學期望? 方差? 隨機變量

中圖分類號：O211 ? ?文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2019）11（b）-0194-02

Abstract： Reproductive dispersion models are a family of distributions， which include many common distributions such as normal， binomial， Poisson， Gamma， inverse Gauss， and so on. The derivative property of integral of probability density function of reproductive dispersion models has been studied in literature. Under some appropriate regular conditions，the derivatives of integrals with respect to probability density function of the reproductive dispersion models can be computed under the integral sign.This paper mainly studies that the mathematical expectation and variance of some random variables can be obtained by using this property. Finally， an example shows that this method is effective and simpler than the traditional method.

Key Words： Reproductive dispersion models; Mathematical expectation; Variance; Random variables

求隨機變量的數學期望和方差是概率論課程的重要內容。關于數學期望和方差的計算，教材中的方法是根據他們定義來求，這種方法有時比較繁瑣[1]。該文研究利用再生散度模型的概率密度函數的積分性質，來求隨機變量的數學期望和方差。其方法比教材中的方法要簡單。

再生散度模型（reproductive dispersion models）是一類重要的統計分布族，它包括正態分布、二項分布、Poisson分布、Gamma分布和逆Gauss分布等許多常見的分布。1997年，Jorgensen給出了再生散度模型的定義，研究了再生散度模型的一些重要性質[2]。比如：給出了再生散度模型的密度函數的鞍點逼近。2010年，Xia and Wang研究了再生散度模型的概率密度函數的積分性質，指出在一些正則條件下，對再生散度模型的概率密度函數的積分，關于其參數求導運算可以通過積分號來進行[3]。該文主要研究利用這個性質，來求隨機變量的數學期望和方差。

1? 定義

如果隨機變量Y關于某個適當的測度的概率密度函數可表示為：

（1）

其中a（.;.）≥0為某一合適的已知函數;d（.;.）為定義在C×Ω上的單位偏差度（unit deviance）函數，，Ω是一開區間，凸支撐集C為包含S的最小區間，S是概率密度函數的支撐集，d（.;.）滿足正定性條件：

（2）

其中μ∈Ω為位置（position）參數，σ2>0為散度（dispersion）參數，則稱Y服從參數為μ和σ2再生散度分布模型（reproductive dispersion models），簡記為Y～DM（μ，σ2）。

2? 再生散度模型的概率密度函數的積分的求導性質

設T（Y）是的Y函數，v（.）是某個適當的測度，為了研究導數：

在什么時候能通過積分號，Xia and Wang給出以下條件和定理[3]。

條件：

（A1）d（y;μ）是的二階可微函數，d（y;μ）關于μ的一階、二階導數均在C×Ω上連續;A2μ0是Ω的任意點d（y;μ0），d'（y;μ0），關于y在集合C上一致成立，其中d'（y，μ）。

定理1（見Xia and Wang的定理2.1）：如果正則條件（A1），（A2）成立，且對所有μ∈Ω，ET（Y），ET（Y）d'（Y，μ），ET（Y）（d'（Y;μ））2，ET（Y）d''（Y;μ）均存在并且是有限的，那么積分T（y）α（y;σ2）expdv（y）關于μ的一階導數和二階導數均可以在積分號下進行。

推論1（見Xia and Wang的推論2.1）：假設正則條件（A1）和（A2）成立。進一步假設對于所有μ∈Ω，E（d（Y;μ））2，Ed''（Y;μ）均存在并且是有限的，那么下面等式成立：

E（d'（Y;μ））=0，E（d'（Y;μ））2=2σ2>E（d''（Y;μ）? ? ? ? ? ? （3）

3? 性質的應用

該節研究如何利用上面介紹的再生散度模型的概率密度函數的積分的求導性質，來求一些常見的隨機變量的數學期望和方差。由于積分T（y）α（y;σ2）exp中的v（.）是某個適當的測度，故當v（y）是Lebesgue測度時，被積函數正是連續型隨機變量的概率密度函數，這時，利用定理1和推論1的結論，可以求出連續型隨機變量的數學期望和方差。下面舉例說明。

例1：設隨機變量Y～N（μ，σ2）求其數學期望和方差。

為了比較方法的優劣，該題中給出了多種解法。

解法1：傳統的方法，即用定義求數學期望和方差。

因為Y～N（μ，σ2），故其概率密度函數為：

于是

令，則有

令則有：

從而可得：

上面的解法是傳統的解法，即用定義求解。下面我們利用再生散度模型的概率密度函數的積分求導性質來求其E（Y），D（Y）。

分析：因為Y的概率密度函數為：

其中，d（y：μ）=（y-μ）2，（y，μ）∈R×R可見它屬于再生散度模型，因此可以利用再生散度模型的概率密度函數的積分的求導性質來求其E（Y），D（Y）。

解法2：單位偏差度函數為：d（y：μ）=（y;μ）2，

從而d'（y：μ）=-2（y-μ），d''（y：μ）=2

易見正則條件（A1），（A2）均成立。又顯然E（d'（Y;μ）2），Ed''（Y;μ）對任何均存在且有限，于是由推論1知，公式（3）成立，即有：

Ed'（Y;μ）=0，E（d'（Y;μ）2）=2σ2Ed''（Y;μ）。

由（3）的第一個等式可得：

Ed'（Y;μ）=E[-2（Y-μ）]=-2[E（Y）-μ]=0

解得E（Y）=μ。

由（3）的第二個等式可得：

E（-2（Y-μ））2=2σ2×E（2），

即有D（Y）=E（Y-μ）2=σ2。

解法3：不用公式（3），用定理1的結論也可以求得E（Y），D（Y）。易知定理1的條件均成立，因此由定理1知，積分

關于μ的一階導數和二階導數可以通過積分號，即在積分號下進行求導運算。

因為? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4）

將（4）式兩邊對μ求導數可得：

即有? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （5）

從而

將（5）兩邊再對μ求導數可得：

從而D（Y）=σ2。

注：3種方法的比較。方法1解題比較繁瑣;方法2解題簡單，但要記憶公式;方法3不需要記公式，只要在等式∫∞-∞p（y;μ，σ2）dy=1兩邊關于未知參數μ求導，就可以求得隨機變量的數學期望和方差，其方法更為簡捷。

從上述的例題可以發現，利用再生散度模型的概率密度函數的積分的求導性質可以求出隨機變量的數學期望和方差，其方法是有效的且比教材中的方法更為簡便，它豐富和發展了傳統的方法。

參考文獻

[1] 盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數理統計[M].4版.北京：高等教育出版社，2008：90-112.

[2] Jorgensen，B. The Theory of? Dispersion Models[M]. London： Chapman and Hall，1997：1-30.

[3] Xia， T.， Wang，Y.B. A note on the properties of the reproductive dispersion model[J].Statistics and probability letters，2010（80）：1397-1404.