沖突證據的相關系數度量方法

孫貴東，關欣，衣曉，趙靜

（海軍航空大學航空作戰勤務學院，山東 煙臺 264001）

1 引言

復雜電磁環境和自然環境導致戰場信息往往具有不確定性和高沖突性，多源信息融合技術通過各傳感器的優勢互補，融合各傳感器的多源信息，提升系統的穩定性、可靠性和抗干擾能力，綜合給出決策判定，在復雜戰場環境下被廣泛采納。決策層融合作為信息融合的高層融合階段，既可以處理同類傳感器又可以處理異類傳感器上報的信息，在不確定信息處理方面具有較大優勢，得到了廣泛研究。由于戰場環境的復雜，這些決策信息本身攜帶不確定性，并且不同傳感器之間的決策信息往往還是沖突的，因此，決策層融合的不確定信息處理問題是多源信息融合必須解決的問題，也是難點問題，并且是復雜戰場環境的態勢感知，威脅估計等決策判定的基礎。信度函數[1-2]是決策層融合的一種重要方法，由于在不確定性數據處理領域尤其是對沖突信息處理方面的優勢，已經成為雷達、通信等偵察數據的重要定量分析方法，也是最常用的決策層融合方法。2016年，國際近似推理期刊IJAR專門舉辦了信度函數專刊，慶祝信度函數40周年[3-4]，經過 40多年的發展，信度函數不僅在理論上不斷完善，而且在聚類分析，模式分類和識別，多屬性決策，圖像處理，模糊集與粗糙集和近似推理等多個領域[5-10]也得到了廣泛應用。

在信度函數發展的過程中，沖突證據度量是一個熱點問題。自Zadeh[11]提出著名的Zadeh悖論以來，沖突證據度量就得到了國內外學者的廣泛研究，并提出了各種沖突證據度量方法。由于傳統的證據沖突系數k在高沖突情況下不能得到正確的融合結果，Smets等[12]提出了著名的TBM（transferable belief model），定義了Pignistic概率函數用來進行沖突證據度量；Jousselme等[13]提出了經典的Jousselme距離來度量沖突證據距離；文獻[14-16]等系統性分析和比較沖突證據的各種距離度量方法；文獻[17-18]等分別用沖突系數k和Jousselme證據距離的算術平均值和幾何平均值度量沖突證據；文獻[19]則基于證據虛假度進行沖突度量；而文獻[20]基于類偏熵和關聯熵定義了關聯系數，來定量的表示證據之間的沖突；文獻[21-22]利用夾角余弦來進行沖突度量；文獻[23]基于Pignistic概率轉換引入Tanimoto測度來度量沖突證據；文獻[24-26]分別定義了證據重合度、新的證據不確定度和融合證據距離和證據散度的Hamacher T-余范度量沖突證據。

盡管上述文獻在一定程度上實現了對沖突證據的度量，但是各種方法都或多或少存在局限性，比如Jousselme距離在證據完全沖突時，計算結果容易出現悖論；TBM在Pignistic概率轉換過程中將信息平均分配給單類焦元，違背了單類互斥的原則，所以在后續的用 Pignistic概率距離計算沖突度量時也容易出現違背常理的結果。而現有的沖突證據度量方法大多是基于Jousselme距離和Pignistic概率轉換的，因此新的沖突度量方法的提出是必要的。通過對現有沖突證據度量方法的分析得知，當證據為單類證據時，大多數方法都能夠很好地度量，但是當證據為多類證據時，各種方法開始出現悖論。因此，多類證據的沖突度量是解決問題的關鍵，也是難點問題。盡管現有文獻采用Jousselme距離中的矩陣D來拆分單類與多類證據，但是未考慮到單類與多類證據之間的矩陣D應該有所不同。

為此，本文基于關聯系數提出一種沖突證據度量方法，目的是分清多類與單類證據之間的關系，并非是一種比現有方法具有很大優勢的沖突證據度量方法，而是試圖給出一種沖突證據度量的新思路。此外，相關系數作為序列線性變化的度量方法，已在多個領域體現優勢，廣義上，現有的夾角余弦度量是相關系數的一種向量表示方法，但是夾角余弦僅僅是線性向量的夾角，當向量維數增加時，從直觀上無法分辨。并且，夾角余弦不能像相關系數一樣可以從序列相關的角度進行分析，因此，本文方法亦即是現有夾角余弦沖突證據度量方法的改進和推廣。

為此，本文首先概述信度函數理論，并進一步分析現有沖突證據度量方法，在此基礎上提出沖突證據度量的相關系數方法，并重點討論單類與多類證據之間的關系。最后通過經典的沖突證據分析算例驗證所提出方法的有效性。

2 基本概述

2.1 信度函數概述

記辨識框架Θ上的任意命題A的基本信度賦值（BBA，basic belief assignment）或mass函數為其冪集2Θ到[0,1]上的映射m: 2Θ→ [ 0,1]，滿足

如 果m(A) ＞ 0 ， 稱A為m(·)的 焦 元 ，則稱A為主焦元，所有焦元集合構成了m(·)的核，記為κ(m)。m(A)的含義為冪集空間子集屬于命題A的基本信度，命題A可以是單類（單集）也可以是多類（復合集）。

Shafer在mass函數的基礎上定義了信度Bel(·)和似然度Pl(·)，對于冪集空間2Θ上的命題A、B，令A?B，則有

其中，是命題A在冪集空間的補集，易知Bel(B)≤ P l(B)，并記為命題B的不確定信度區間，信度函數通過信度區間描述不確定信息解決傳統概率論不能解決的不確定信息處理的問題。而命題B的信度函數和似然函數定義為B到其信度 Bel(·)和似然度 Pl(·)上的映射。

記同一辨識框架下，兩條獨立證據的 mass函數為m1(·)和m2(·)，A、B和C分別為辨識框架下的命題，稱m(· ) =m1( ·) ⊕m2(·)為經典的DS組合規則滿足

其中，k為兩條證據的沖突程度，

當k=1時，表示兩條證據完全沖突，此時不能用經典的 DS組合規則進行融合，當k→1時，經典的DS組合規則融合后往往會產生違背直覺的結果，因此如何處理沖突證據是信度函數的一個重要研究方向。

2.2 現有沖突證據度量分析

2.2.1 Pignistic 概率距離

Smets等[12]提出了著名的 TBM 模型，定義了Pignistic概率函數。記辨識框架Θ上的證據對冪集空間命題的 mass函數為m，BetPm:Θ → [ 0,1]為Pignistic概率函數，滿足

其中，|B|為焦元的勢。BetPm(A)將復合類焦元的信度平均分配給了其包含的單類，是在香農信息熵意義下實現 mass函數到概率分布的轉換。文獻[27]在Pignistic概率函數的基礎上提出了Pignistic概率距離

2.2.2 Jousselme 距離

Jousselme等[13]提出了經典的Jousselme距離。記相同辨識框架Θ上的2條證據對冪集空間命題的mass函數分別為m1和m2，dBPA(m1,m2)為Jousselme距離，滿足

其中，m1、m2分別為mass函數在冪集空間張成的序列向量，D為 2|Θ|× 2|Θ|的正定矩陣，滿足

其中，Ai,Aj∈ 2Θ，矩陣D的概念十分重要，揭示了證據單集與多集命題之間的關系，有文獻定義了新的矩陣D表達式，文獻[14]中有具體的綜述，可詳細查看。

2.2.3 證據關聯系數

鄧勇等[20]基于類偏熵和關聯熵定義了證據關聯系數。記相同辨識框架Θ上的兩條證據對冪集空間命題的 mass函數分別為m1和m2，r(m1,m2)為證據關聯系數，滿足

其中，H(m1)和Hm2(m1) 為隨機變量m1關于隨機變量m2的類偏熵，

2.2.4 證據夾角余弦

宋亞飛等[21]和王路等[22]基于向量夾角余弦定義了證據夾角余弦。記相同辨識框架Θ上的兩條證據對冪集空間命題的 mass函數分別為m1和m2，cos(m1,m2)為證據夾角余弦，滿足

其中，m1和m2分別為證據mass函數m1和m2張成的向量，分別為m1和m2的模

3 基于相關系數的沖突證據度量

證據沖突描述為證據對同一框架內相同命題基本信度的差異性，本文基于相關系數研究沖突證據度量問題。證據沖突與相關系數之間是逆向關系，證據沖突越大，相關性越小，反之亦然。本節首先給出相關定義，其次引入證據相關系數，最后重點分析單類和多類證據命題的關系，利用關系矩陣修正證據相關系數。

3.1 相關定義

定義1記辨識框架Θ上由兩條證據mass函數組成的序列分別為和則證據相關定義為

在實際計算過程中證據相關僅需計算存在焦元的證據之間的相關性，為此給出兩條證據mass函數并核的概念，表示兩條證據mass函數核的并集

并 核 κ (m1m2)滿 足為并核內焦元的個數，則證據相關修正為并核相關

定義2在辨識框架Θ上，證據mass函數序列mk(·)的證據自相關定義為

核自相關為

3.2 證據相關系數

定義 3 記辨識框架Θ上的兩條證據對冪集空間命題的mass函數分別為m1和m2，ρ (m1,m2)為證據相關系數，表述為證據間線性變化的度量，滿足

條件2)可以具體描述為下述重要定理。

定理在證據理論框架內，證據線性相關等價于證據相等。

證明1如果而 mass函數滿足則即

如果，m1=m2，由相關系數含義可知，顯然ρ(m1,m2)=1。

證畢。

實際上，正是由于上述定理才使相關系數可以作為證據沖突的度量方法，如果脫離的證據理論框架，相關系數僅描述線性關系，不能夠充分描述變量間的接近度。

定義4在辨識框架Θ上，兩條證據mass函數序列為m1(·)和m2(·)，證據相關系數定義為歸一化的證據相關，可以用式(22)表示。

將證據相關系數修正為并核相關系數為

上述相關系數滿足相關系數的3條準則。

證明2

1) ρκ(m1,m2) = ρκ(m2,m1) 顯然成立。

2) ρκ(m1,m2) =1,當 且僅當m1=m2在證明1中已經給出。

3) 由于m1≥ 0 ,m2≥ 0 ，所以 ρκ(m1,m2)≥ 0，

證畢。

例1辨識框架 Θ = { θ1,θ2, θ3, θ4, θ5}，3條獨立證據分別為

通過計算得知證據m1和m2以及m1和m3之間的相關系數分別為

計算結果與事實情況相符，驗證了所提出的沖突證據相關系數度量的準確性。

3.3 證據相關系數修正

上述證據相關系數在處理辨識框架Θ上僅存在單類命題時優勢明顯，但是如果單類和多類命題共同存在時，上述證據相關系數無法很好地處理。

例2辨識框架 Θ = { θ1,θ2, θ3, θ4, θ5}，3條獨立證據分別為

通過計算得知證據m1和m2以及m1和m3之間的相關系數分別為

顯然計算結果與事實情況不符，m1和m2之間的相關性應該比m1和m3之間相關性要強。

上述違背常理的結果是未區分證據單類與多類命題導致的，實際上，證據沖突度量的難點在于相關計算過程中，如何分清單類命題與多類命題。因此，基于文獻[13]的思想，引入關系矩陣的概念，分清單類命題與多類命題。

定義5記辨識框架Θ上，2條證據mass函數分別為文獻[13]給出的證據關系矩陣為其中，d描ij述辨識框架內命題間的相互關系。在計算過程中，僅需分清證據 mass函數并核單類與多類之間的關系即可，為此定義并核證據關系矩陣為

盡管證據關系矩陣一定程度上解決了證據沖突度量的問題，文獻[13,21-22]等都采用了證據關系矩陣的思想，但是上述方法都存在不足。主要原因在于，一方面，證據關系矩陣修正的對象不準確。文獻[21-22]利用關系矩陣先修正證據mass函數得到新的mass函數，再利用新的mass函數計算相關系數作為沖突度量，此類方法修正的對象不準確，關系矩陣應該作用于證據的相互關系而不是mass函數，這與文獻[13]提出關系矩陣時的思想一致。此外先修正證據mass函數，會導致得到的新的mass函數的含義不清楚，并且不再滿足新mass函數之和小于1的條件。另一方面，在證據沖突度量計算過程中，未分清并核與核之間的單類與多類的關系。并核與核之間的單類與多類的證據關系矩陣應該有所區別，并核證據關系矩陣應該修正并核之間單類與多類的關系，而不能修正核之間單類與多類的關系，否則會造成后續的度量錯誤，此時應該用核證據關系矩陣修正核之間單類與多類的關系。

例 4 方便起見，這里采用例 3的數據進行說明。

如果采用現有的夾角余弦方法，直接用關系矩陣修正證據mass函數得到新的mass函數，則有

在上述分析的基礎上，綜合考慮關系矩陣作用的對象，以及用于并核與核的關系矩陣應該有所區別，提出一種證據作用中修正方法，在證據相關計算過程中，直接用并核證據關系矩陣和核證據關系矩陣修正，形成修正后的并核相關CDκ(m1,m2)和核自相關CDκ(mk,mk)

式(26)和式(27)用向量形式分別表示為

其中，m1( κ(m1,m2))和m2( κ(m1,m2))分別為并核mass函數張成的向量，mk( κ(mk))為核mass函數張成的向量。

按上述方法修正后的相關系數為

式(30)用向量式表示為

注意到，式(13)與文獻[14]中和文獻[21]中的定義的夾角余弦等有相似之處，但是相比夾角余弦，式(31)一方面分清了單類與多類之間的關系，用不同的關系矩陣進行拆分，另一方面，雖然計算系數因子被約簡，但是在相關計算過程中一直保留，特別當辨識框架類別重要性不同時，此因子可以看作權重系數，保證了計算準確性，是夾角余弦框架所不能處理的，因此，此方法可以說是現有夾角余弦方法的改進和推廣。

基于上述相關系數得到沖突證據度量表達式為

4 算例分析

本節采用兩組算例對所提出的沖突證據度量方法進行驗證，第一組算例采用與例2相同的數據進行驗證，第二組算例采用現有文獻中經常采用的文獻[13]中的經典算例，對沖突證據度量進行驗證并對比分析。

算例 1在復雜戰場環境下的多源信息融合系統中，我方電子偵察系統偵測到一未知目標抵進我海域，機載雷達、ESM和IFF這3類傳感器各自對此未知目標進行識別判斷得到以下決策信息。未知目標的可能識別類為1θ、2θ、3θ、4θ、5θ，傳感器對未知目標可能的識別類的決策判定信息分別為：機載雷達認為是1θ、2θ和3θ之中的某目標的可能性為60%，其中，有30%的把握判定為目標3θ，判定為目標4θ的可能性只有10%；ESM認為是1θ和2θ之中的某目標可能性為 30%，其中，50%的把握判定為目標θ3，20%的把握判定為θ5；而IFF判定為目標θ4或目標θ5的可能性為50%，其中，有30%的把握判定為目標θ5，另外認為是目標θ3的可能性為30%。信息融合決策中心為實現目標的識別判定，需要對三類傳感器的決策信息進行融合判定，由各傳感器的決策信息得知，其決策信息之間是矛盾和沖突的，為此決策判定前需要對其進行沖突度量處理，以更好地進行下一步的融合判定。

上述實例可抽象為下述數學語言。

互斥且完備的辨識框架為 Θ = { θ1, θ2, θ3, θ4, θ5}，三條獨立證據分別為

為實現沖突證據的融合處理問題，首先需對上述證據進行沖突度量，利用本文方法分別計算證據m1和m2以及m1和m3之間的沖突度，計算步驟如下所示。

證據m1和m2的并核為，對應的mass函數分別為

證據m1和m3的并核為θ1θ2θ3, θ4θ5} ，對應的mass函數分別為

m1和m2，m1和m3之間的并核關系矩陣以及m1，m2，m3自身的關系矩陣分別為

利用式（31）和式（32）計算得到證據m1和m2以及m1和m3之間的沖突度分別為

該算例計算結果與事實情況相符，糾正了例 2計算結果的不足，得到了更準確的沖突度量。

由于本文主要研究內容為沖突證據融合的度量問題，在度量的基礎上可以采用現有的方法進行識別判定。此外新的沖突證據融合方法也是信度函數理論的一個急需解決的內容，在未來的研究中會繼續探討，這里不再贅述。

算例 2記互斥且完備的辨識框架 Θ ={θ1, θ2,…, θi,… , θ20}，兩條獨立的證據對命題的mass函數分別為的子集。

假設A從θ1，依次增加一個元素，直至A=Θ，變化規律簡記為{1}，{1,2},…,{1,2,…,20},在變化過程中分別利用傳統證據沖突系數k，Jousselme距離dBPA，Pignistic概率距離，證據關聯系數r，夾角余弦cos，沖突系數k和Jousselme證據距離的算術平均值kd以及本文提出的相關系數Conf度量mass函數m1和m2之間的沖突程度，計算結果分別如圖1和表1所示。

圖1 沖突證據度量對比

通過圖1和表1的形象對比可知，當A按規律從{1}變化到{1,2,…,20}時，只有沖突系數k維持不變，顯然違背事實情況，說明k不能很好地對沖突證據進行度量。其余6種方法變化規律則一致，都隨著A的變化先減小至A= { 1,2,3,4,5}為止，此時證據間的沖突最小，這與事實相符，此時兩條證據都對命題{1,2,3,4,5}具有較高的信度，因此此時的沖突度最小，并且當A繼續變化，沖突度逐漸增加，也與兩條證據對命題信度差異變大的事實相符。所以，通過此經典的沖突證據度量算例，驗證了本文提出的相關系數沖突證據度量方法的有效性。

5 結束語

本文從相關系數的角度給出了沖突證據度量的一種思路，定義歸一化的證據相關為證據相關系數，以此作為沖突證據度量。在此基礎上，基于現有的關系矩陣重點討論多類與單類的分辨問題，認為并核與核的關系矩陣應當有所區分，定義并核關系矩陣作用于并核證據，核關系矩陣作用于核證據。通過并核與核關系矩陣的修正，得到了新的的沖突證據度量公式，能夠處理多類證據的沖突度量問題，克服了現有夾角余弦方法的局限性，具有分辨性好，準確率高的優點。最后結合經典的沖突證據算例驗證了提出的沖突證據相關系數度量方法的有效性。

表1 沖突證據度量對比