讓學生的數學學習發生在思維的過程中
——基于多元變量問題的教學研究

☉廣東省惠州大亞灣經濟技術開發區大亞灣第一中學 鄧淑花

這些年的數學教學生涯，讓筆者領悟到一個數學教學的真理——在數學課堂中，要讓學生的數學學習發生在思維的過程中，才能讓學生得到真正的發展.這就需要我們教師在教學的過程中遵循“讓學生有學習的空間，引導學生轉動思維的鏈條.”文章以筆者最近一節主題為“多元變量問題”的高三復習課為例，敘述如何讓學生的數學學習發生在思維的過程中.

例題（2017年亭湖高級中學試題）已知實數x，y滿足x2+2xy-1=0，則x2+y2的最小值是多少？

師：你們覺得這個問題的意圖是什么呢？（引導學生明確思考的方向——最值問題）

生：考查最值問題.（整齊的回答，表明大部分學生能夠捕捉到考查的內容）

師：對于最值問題的考查，大家能夠聯系到的知識點有哪些呢？（處理最值問題的方法有很多種，而且是學生處在不同階段學習的，故而這樣的提問給予了學生思考的空間，讓學生把前后知識聯系起來，從而產生知識體系）

生：函數的方法、不等式、導數、線性規劃……（學生間歇性的表達，表明學生雖然掌握了一些求最值的方法，但還未能夠將它們真正地串聯起來形成知識體系）

師：在高中階段，我們所學的函數均是一元函數，因此若要用函數來解決本題我們首先要做什么工作呢？（意在引導學生生成降低元個數與建構函數之間的因果聯系）

生：題目中含有兩個未知數，如果能夠把兩個變成一個就好了.（學生樸素的語言表明雖有降元的直覺，但卻未能形成這樣的解題意識）

師：說得不錯，如果兩個未知數變成一個，那么這個表達式就可以看成是某個未知數的函數了，同學們回憶一下我們通常是如何將多個未知數變成一個的呢？（引導學生向常見的降低元個數的方法——消元或換元上思考）

生甲：老師，我們可以用x來表示y或者用y來表示x，然后代入即可表示成只關于x或y的函數.（顯然學生已經有消元的意識，但還是不能將這種思想明確地表達為消元思想）

師：很好，乙同學利用導數研究了函數的單調性，并利用單調性求出函數的最值，我們不妨就記作方法一.請大家再觀察一下所求表達式，大家還能有什么樣的發現呢？（讓學生觀察表達式的結構，引導學生向基本不等式方向去思考）

噢……（一聲驚嘆，有學生似乎明白了什么）

生丙：這個表達式的結構能夠滿足基本不等式的構成要件（一正，二定，三相等），而且由于積為定值，所以和有最小值.所以

生：首先，我們用x來表示y，將表達式中的兩個未知數轉變成一個未知數，然后可以從函數的角度用導數的思想求最值，也可以從基本不等式的角度來求最值.（學生能夠歸納成這樣已基本形成了這種意識，但仍然需要將這種朦朧的意識轉化成明確的知識）

師：很好，我們觀察到條件與所求結論均是二元，從數學的通性通法角度來考慮，在處理多元問題時我們通常是利用消元的方法將兩個元消成一個元，從而轉化為一元函數的問題，然后考慮求函數值域的方法來求最值，又或者倘若表達式結構已滿足基本不等式的條件，可以利用基本不等式來快速解決問題.

師：我們一起回顧一下三角函數中的經典例題“已知tanα=2，求sin2α+2sinαcosα的值”，你的處理方式是什么？（回憶經典例題，讓學生的思維對相似的問題情境產生知識遷移）

生：這樣的式子我們稱作齊次表達式，將表達式除以1再用sin2α+cos2α=1來進行“1”的代換，分子分母同時除以cos2α來構造tanα.

師：聯系這個例子，對于本題大家有什么新的想法嗎？（引導學生去建構齊次表達式，利用整體思想進行換元求解）

……（學生低頭不語，顯然思維還不能進行知識遷移，當然可能是引導的步子跨得太大）

師：條件是x2+2xy=1，而待求的問題是x2+y2，這與三角函數中的例題結構相似嗎？（改變條件的形式，讓學生能直觀地感受到兩者在本質上是相同的，從而能夠將方法進行遷移）

生：條件與結論都是齊二次的表達式，而x2+2xy=1，所以我們可用“1”的代換，將原表達式同時除以1，即由方法一可知x≠0，所以分子分母同時除以x2化簡后可得

師：很好，但大家覺得這樣的解法存在問題嗎？（為增加學生數學思維的嚴密性而進行的提問）

生：t的取值范圍不定，不能用基本不等式.

師：那t的取值是什么呢？（非選擇性的問題，暗示著學生需要思考的方向）

……（學生沉默，表明這一步引導還需要再分成幾個部分）

師：我們不妨看一看t由何而來.（進一步縮小引導的步子，讓學生的思維有個支點）

生：t是由x2+2xy除x2得到.（大多數學生都可以意識到這一點，但他們的思維需要更進一步的提升）

生丙：哦，x2+2xy=1，所以t的本質是，是大于0的，所以基本不等式的運用是對的.

師：很好，方法三本質上是基本不等式的一種常見的類型，即形如（a，d≠0）的表達式可以用基本不等式來解決，本題的難點其實在于用“1”的代換去構造這樣的形式.

師：所以對于能夠因式分解的代數式，可將等式因式分解后采用雙換元的方法將待求的二次表達式變成換元后的二次表達式，然后再結合基本不等式來處理.那么本題是否也可依此而做呢？

……（學生進行討論）

生：x2+2xy=1?x（x+2y）=1，不妨令x=m，x+2y=n，其中mn=1，用m，n表示x，y，代入待求的表達式中得x2+y2=

師：通過這道題目的四種不同解法，大家對于多元最值問題的處理有什么感悟嗎？

……（學生再次討論）

生：對于多元問題處理的主導思想應當是以題設所給的等量關系或以已知定理、公理為橋梁，用消元或換元為手段，將多個元的問題轉變成一個元的問題，然后再考慮用函數或基本不等式等方法來求最值.

師：解題過程中有什么需要注意的嗎？（意在撥動學生思維，讓其考慮新元的取值范圍）

……（學生再次討論）

生：在減少元個數的過程中一定要特別注意新元的取值范圍的問題.

教學反思：在現實的教學過程中教師常報怨學生的思維太差，學不了數學.其實筆者覺得并不是學生學不了數學，而是我們的教師未能轉動學生的思維鏈條，激發他們不斷地思考.學生的數學學習往往不是一下子便能直擊關鍵，他們的思維需要被一步步的引向問題的核心.因此在教學過程中，數學教師應當給予學生思考的空間，設法讓學生的數學學習發生在思維過程中，這樣才能讓學生的數學學習真正發生.