淺析高中數學課堂的“慢、透、研”

☉江蘇省張家港高級中學 徐 艷

每每一場數學考試結束時總能聽到學生懊惱的說：“這道題我依稀記得老師講過，當時聽懂了也會做了，但現在就是想不起來了.”這種現象不得不讓我們從教者反思，反思我們課堂的有效性和時效性.教學的有效性是數學課堂的生命，學生在課堂上能學到什么或得到什么是每一位數學老師要深入思考的問題.一堂課要有生命力，需要老師在課堂組織及教學活動中緊扣“培養學生數學素養”這根主弦，使學生的數學學習活動不僅僅局限于接受、記憶、模仿和練習，而是要學會自主探索、動手實踐、合作交流及閱讀自學等.教學的時效性則要求老師能“授人以漁”，能很好地把所教的知識內化為學生自身的思考能力，隨時為己所用.高中的數學課堂時間緊、任務重，既要著重于基礎知識、基本方法的教導，又要培養學生分析問題、解決問題的能力，更要提高學生的思維能力，這就對上課老師提出了更高的要求.筆者認為，要做到這些，應在課堂的“慢、透、研”三個方面下足功夫.

一、“慢”

在高中數學的教學中，很多老師的法寶都是“練練練”，課前預習卷、課后限時卷、周測卷、強化卷、滾動卷、補練卷等，所謂的高效練習卷壓得學生喘不過氣來.趕時間、趕進度，各種題型及方法劈頭蓋臉的教下去已逐漸成為了數學課堂的常態.殊不知教育是一門慢藝術，慢工才能出細活，所以教師要學會讓課堂教學慢下來.這個“慢”不能機械地理解為就是減少課堂的容量，而是指放低教學的起點，把課上精細，把題講經典，把知識方法、解題思路講到位.放低起點是指教學的起點要適合學生的實際及其學習的發展規律，把“起點”放在數學概念、公式、運算上，重視基礎理解、基本運用、基礎題訓練等，適合的起點才是最好的起點.教學的廣度、深度、難度不能一步到位，而是要在后續的教學中循序漸進、逐步提升的.筆者就以蘇教版高中數學教材為例，剪取微型教學設計中的幾個“慢”鏡頭，以期拋磚引玉.

教學設計：新課教學《圓的方程》（蘇教版必修2 2.2.1）

鏡頭1：借助多媒體展示圓和球的圖片和動畫，并由圓是最美的曲線來描述圓的定義，同時注意到圓和球面的區別.

設計意圖：對已學知識重新建構，從平面到空間進行聯想，滲透類比分析、空間想象、嚴謹思維、語言表述等“以小見大”的做法，體現了課堂概念引入的“慢”.

鏡頭2：依照建系—設點—列式—化簡四個步驟推導出圓的標準方程后，利用定義推導出圓心為C（a，b），半徑為R的圓的標準方程.再用書本中的例題來加深對圓的標準方程的理解.

設計意圖：數學結論的生成從來不是一蹴而就的，學生對于圓并不陌生，但要接受從圓的“形”到“數”，則需要有一個循序漸進推導鋪開的過程，這樣學生才能真正地理解圓的標準方程，體現課堂教學過程的“慢”.

鏡頭3：由蘇教版必修2P100練習3：“已知A（-4，-5），B（6，-1），求以線段AB為直徑的圓的方程”來引問“已知直徑兩端點的坐標，怎樣表示圓的方程？”作為一道課后作業題留給學生思考.

設計意圖：一是強化“解析法”求動點軌跡方程的意識，二是能有效地促進學生的“高難度”學習：發現動點與直徑兩端點的連線垂直，然后可以利用斜率的關系或向量的數量積推導出結論，其中涉及圓的幾何性質、兩直線的位置關系及其代數化、分類討論思想、向量與解析幾何的融合等，體現了課堂延伸的“慢”.

教材中的定理、概念、公式都是數學的精髓，推導方法也都非常典型，凝聚了很多專家的智慧.所以在講授新課時老師一定不能急功近利，為考試而教，一定要學會“慢”，要做到潤物細無聲！

二、“透”

我們知道“木桶原理”：木桶盛水的多少取決于最短的一塊木板.同樣的，學生要解決一個問題，就要求這個問題所涉及的每個知識點都要熟練，熟練的前提就是要學透.而要想讓學生學透，老師首先要做到的就是要教透.根據新課程的特點與教學要求，筆者認為可以用三步循環遞進式教學的策略：

第一步，以“基本教學要求”為核心，用好書本，按照教材內容進行教學，其教學要求是：完成基礎體系的理論建構，讓學生打好數學學習的基礎.

第二步，以單元或專題復習為階梯，從多個層次來選取并改編習題，充實認知結構，著力培養學生對所學知識的準確理解及正確運用，其教學要求是：精心選題，教學具有針對性，講練注重實效性.

第三步，以月考、期中、期末檢測等為契機，通過系統復習反復鞏固已學內容，前后聯系、遷移，有選擇地進行綜合滲透運用，引導學生夯實基礎、熟悉方法、提高能力，其教學要求是：適當綜合，有的放矢，提高悟性，發展能力.

三、“研”

要給學生一碗水，首先教師就要有一桶水.要想把課講透、講好、講高效，教師要做的就是“研”.新的教師核心素養要求不能再固守“一本書、一支筆、一張嘴、一塊黑板”的傳統教學模式，而應成為“活水”，做一個“研究型”的施教者：研讀教材、課標、大綱，變教教材為用教材教；研究教學的方法和流程，研究學生的學法等.師生不應該是單純的施教者和被教者，而應是課程的共同參與者和開發者，筆者認為這是很多老師應該著重去研究的課題.以下是筆者的實例體驗：

體驗1：已知函數y=f（x）是定義在［-2，2］上的奇函數，且在［0，2］上是減函數，若f（x）滿足不等式f（1+m）+f（m）＜0，則實數m的取值范圍為______.

這是一道利用單調性和奇偶性來解不等式的問題，綜合性較強，另外因為f（x）沒有解析式，所以比較抽象.在給學生講解完此題后，筆者留了一道作業題，即讓同學們在此題的基礎上改編一道題，同學們改出來的題目各式各樣，都很精彩，現摘錄幾道如下：

編1：已知函數y=f（x）是定義在［-2，2］上的偶函數，且在［0，2］上是增函數，若f（x）滿足不等式f（1-m）＜f（m），則實數m的取值范圍為______.

編2：奇函數f（x）在（0，+∞）上為增函數，且f（1）=0，＜0的解集為______.

編3：已知函數y=f（x）是定義在R上的偶函數，而且在［0，+∞）上是減函數，若實數x滿足不等式f（x）＞f（2x+1），則實數x的取值范圍為______.

學生通過對此題進行改編，從不同角度研究了此類問題，對函數的單調性、奇偶性以及解不等式有了更進一步的理解，也真正掌握了此類題型，并極大地調動了學生學習數學的興趣.筆者認為這比題海戰術有效得多.

體驗2：如圖1，橢圓）經過點A（0，-1），右準線l：x=2，設O為坐標原點，若不與坐標軸垂直的直線與橢圓E交于兩個不相同的點P，Q（均異于點A），其中直線AP交l于M（點M在x軸下方）.

圖1

（1）求橢圓E的標準方程；

（2）若直線AP與AQ的斜率之和為2，證明：直線PQ過定點，并求出該定點.

圓錐曲線題的運算量較大，不同的方法下運算量的差異也比較大，學生有思路但無法運算到底或求解錯誤的現象比比皆是.所以筆者認為，在講解此類題目時一定要先花心思研究不同的解法，預設學生會出現的各種思路，理清會運用到的知識點及會出現的運算步驟，比較出不同解法的優劣.比如此題的第二問的定點問題，預設思路有兩種：

思路1：設直線PQ：y=kx+m，讓直線PQ和橢圓方程聯立方程組消元得到關于x的一元二次方程，由根與系數的關系求出點P和點Q的橫坐標之和與之積，再用斜率公式表達出kPA，kQA，化簡kPA+kQA=2，并代入兩根之和、兩根之積，找到k和m的關系，進而找到直線PQ所過的定點.

思路2：分別設直線AQ：y=k1x-1，直線AP：y=k2x-1，其中k1+k2=2，聯立直線AQ和橢圓方程，消元得到關于x的一元二次方程，由兩根之和得到Q點的橫坐標，代入直線AQ得到Q點的縱坐標，即得到Q點的坐標，同理可得P點的坐標，再由兩點的斜率公式求出直線PQ的斜率，其中涉及“k1+k2”的就用“2”代換，最后用點斜式寫出PQ的直線方程，從而找出定點.

高中的數學課堂要追求“慢”，老師在教學過程中要以學生為本，要給學生“想”、“說”、“做”的時間和空間，不斷激發學生的學習潛能，鍛煉學生的思維能力；高中的數學課堂要強調“透”，波利亞指出：“貨源充足和組織良好的知識倉庫是一個解題者的重要資本”，要讓學生擁有豐富且組織良好的知識，教“透”不可或缺；高中的數學課堂要重視“研”，只有研究性的課堂才能挖掘出知識的生長點，讓學生不斷感悟、深化，實現課堂效益的最大化.“慢、透、研”可以讓高中的數學課堂成為研究型、開放型、學生分分鐘有收獲、有成長的課堂.所以，我們從教者一定要努力提升自己的專業素養，讓智慧開花，讓教學相長.