以勾股定理為例談數學基礎發展

樊琴 高明

摘?要：通過勾股定理證明方法的研究，與時俱進看待勾股定理的應用，利用勾股定理解決實際問題，達到發展數學基礎的目的。

關鍵詞：勾股定理;數學;基礎

一、 從“四基四能”到“數學學科核心素養”，以發展眼光看課程目標

《義務教育數學課程標準（2011年版）》中課程總目標指出：獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗（四基）;體會數學知識之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間的聯系，運用數學的思維方式進行思考，增強發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力（四能）。

《2017高中數學課程標準》指出：數學學科核心素養是數學課程目標的集中體現，是數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度、價值觀的綜合體現，是在數學學習和應用過程中逐步形成和發展的，主要包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析。

在現代信息技術突飛猛進的時代，過去的雙基內容已經不能滿足時代需求。由雙基發展至四基也是為了培養全面發展的創新性人才。因此，我們也應該以發展的眼光看待數學知識。

二、 從勾股定理的“經典證明”到“高維度拓展”，以數學的思維思考數學知識

（一） 勾股定理的經典證明

從古至今、從西方到東方，人們對于勾股定理的不同證明方法都在進行發現和探索。1940年出版的《畢達哥拉斯命題》關于勾股定理證明的專輯，其中收集了367種不同的證明方法。實際上還不止于此，有資料表明，關于勾股定理的證明方法已有500余種。以下是兩種人們較為經典的中國古代證明方法。

1. 趙爽的弦圖法

如圖1，從圖形可以發現四個小直角三角形與小正方形的面積和等于大正方形的面積。因為

2. 劉徽的出入相補原理

如圖2所示，劉徽在《九章算術》中明確提出‘出入相補，各從其類，用幾何圖形經分合移補所拼湊的新圖形，其面積或體積不變的關系再次證明直角三角形三邊關系。即S正方形BCGF+S正方形CDEA=S正方形ABHK。

早期的證明方法，使用了數形結合的思想方法，這種思想方法被人們運用于實際的數學問題解決中。而這種思想方法又使得解題思路更加直截了當，解題思路上利用正方形與三角形所構成的幾何圖形，通過旋轉、平移、切割、補足等變化依舊保持面積不變的關系，構造相等關系的式子，將面積關系轉化為直角三角形三邊的關系，將幾何問題（圖形關系）轉化為代數問題（等式）。方法上又有所差異，數學家劉徽提出了出入相補原理，以與“弦圖”不同的拼湊法找到了面積相等證明了勾股定理，這種方法也可以看作是已知a2+b2=c2的基礎上構造三個正方形，再以圖形的割補證明面積相等，從而證明了勾股定理。

（二） 勾股定理的拓展延伸，與時俱進看待勾股定理

在立體圖形中廣泛使用的兩點間的距離公式可以被看作是對二維空間中的勾股定理的兩次疊加使用，實現從二維到三維的拓展。我們也可以把空間中的距離計算問題轉化為平面中的距離問題，實現從平面再到立體的拓展。

按照這種方式拓展，可以實現勾股定理計算兩點間的距離推廣至高維空間。數學知識隨著時代的不斷進步而不斷發展和完善，在原有的基礎上從多視角，多深度，多高度去認識勾股定理。1981年美國的C.A.Thorntor把二維空間的勾股定理推廣至三維空間，1984年揚州師院陳瑞琛老師利用格拉斯曼代數的知識得到了高維空間中的勾股定理，1989年又出現了利用解析幾何證明勾股定理，除此以外，證明方法中也有利用相似性、切割定理的。

三、 從勾股定理的“簡單應用”到“知識交匯”，用數學的語言表達世界

例1?（2018年普通高等學校招生全國統一考試文科數學（一））

漢代數學家趙爽在注解《周髀算經》時給出的趙爽弦圖（圖3），四個全等的直角三角形（朱實），可以圍成一個大的正方形，中空的部分為一個小正方形（黃實）。若直角三角形中一條較長的直角邊長為8，直角三角形的面積為24，若在上面扔一顆玻璃小球，則小球落在“黃實”區域的概率為（?）

A. 14

B. 13

C. 125

D. 2573

分析與解答：這是一個概率模型，結合趙爽的弦圖法可知“黃實”區域面積S′=（8-6）2=4，而大正方形面積為S2=62+82=100，故事件概率P=S′S=4100=125。

例2?（2016年湖北省孝感市中考數學試題）

我國漢代數學家趙爽在注解《周髀算經》時給出的“趙爽弦圖”（圖4），圖中的四個直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD的面積是小正方形EFGH面積的13倍，那么tan∠ADE的值為?。

勾股定理在時代發展的中得到不斷的創新和拓展，將勾股定理及證明看作數學基礎并應用于實際，還能與三角函數問題等多個問題相結合。現代科學技術加快了社會的進步，要求數學基礎必須與時俱進，跟隨時代發展的步伐，滿足教育的需求。

參考文獻：

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[3]郝四柱.用面積證明勾股定理的思考[J].數學通報，2012，51（5）：26-28+31.

[4]車勇.勾股定理證明中的反思[J].中學數學，2010（16）：35-37.

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作者簡介：樊琴，高明，四川省南充市，西華師范大學數學與信息學院。