一類Wick-型隨機Gardner方程的精確解

吳大山，孫峪懷，杜玲禧

（四川師范大學數學科學學院,四川成都610066）

目前對于非線性偏微分方程的精確解的研究在學界已經形成了一系列行之有效的方法,如tan函數展開法[1-2]、F-展開法[3].但是在實際應用之中更多的是隨機現象, 所以在隨機環境之下研究隨機偏微分方程的精確解意義重大.荷蘭數學家Kotreweg和他的學生De Vries 在1895 年研究淺水波運動時, 建立了著名的淺水波方程并使用直接積分法求出淺水波方程[4-6]的孤立波解.淺水波一般形式為：

方程（1）稱為Kotreweg-DeVries（KdV）方程.1967年Gardner通過逆散射方法[7-9]求出了KdV方程的孤立波解.對于Gardner方程,其一般形式如下：

其中a(t),b(t),d(t),f(t),h(t)是關于時間t的函數.文獻[10-12]也給出了Gardner方程的各種精確解.

文獻[13]給出了一類隨機KdV方程

在Kondratiev 分布空間S(-1)上的Wick 乘積對應的Wick-型隨機KdV方程

的精確解. Waditi 通過反散射方法求出非線性隨機KdV 方程的精確解, 并建立了帶隨機擾動偏微分方程的理論基礎. Holden 引入了白噪聲分析方法, 提出了Wick 型隨機偏微分方程[14-15], 在此基礎之上,Chen和Kim分別研究了隨機Kadomtsev-Petviashvili（MKP）方程和變系數廣義隨機Boussinesq方程.

本文運用Hermit變換和函數展開法[16-17]研究方程（2）在Kondratiev 分布空間S(-1)上的Wick 乘積之下對應的Wick-型隨機Gardner方程

的精確解. 式中?是Kondratiev 分布空間上的Wick乘積, 是定義在S(-1)的白噪聲泛函, 且A0(t),A1(t), B0(t),B1(t),B2(t)均不等于零. Wick 型隨機Gardner 方程（5）常見于流體力學、等離子物理學和量子場論等領域, 是帶有隨機項和隨機系數的偏微分方程, 由于加入了隨機項, 求出的精確解是帶有白噪聲的泛函解, 也就是帶有隨機項的解. 因此,研究方程（5）具有重大的應用意義.

1 預備知識

1.1 Wick-型乘積與Hermite變換

定義1[18]給定Φ ∈L2(u), 對于P ∈R,Sp：=Φ ∈L2(u), ‖ Φ＜+∞, 稱(S)1=?S-P為Kondratiev 測度空間函數, u表示概率測度, Ca表示白噪聲泛函, (S)p是(S)-p的對偶, 稱S-1=?S-P為Kondratiev 分 布 空 間. 設F=aαHα) 和G=bβHβ)為給定Kondratiev 分布空間S-1中的兩個元, 且aα,bβ∈Rn, 則F 和G 的Wick 積 被 定 義 為:F ?G=aα,bβ)Hα+β，其 中Hα,Hβ為 白 噪 聲 函數,(aα,bβ)為RN上的內積.

定義2[18]當F=(aαHα) ∈(S)-1, aα∈RN時, 定義F 的Hermite 變換F(z)=aαzα∈CN, 其中Z=(z1,z2,…)∈CN, zα=(…(…,|α|=|α1|+|α2|+…+|αn|+….

1.2 函數展開法

利用函數展開法求解非線性偏微分方程

的精確解,主要步驟如下：

步驟1:進行行波變換

其中k,ω 為待定常數, ξ0為任意常數, 方程（3）就可轉化為只含行波變量ξ的常微分方程：

步驟2:假設方程（8）的解可表示為多項式形式:

其中G=G(ξ)滿足二階線性常微分方程

方程（9）和方程（10）中的a-m,…,a0,…,am,λ,μ為待定常數.記u(ξ)的冪次為則最高階導數項和非線性項的次數分別為:

根據齊次平衡原則平衡（8）式中最高階導數項和非線性項.由方程（10）可知

步驟3: 將式（9）代入式（8）, 運用式（10）和式（9）合并相同冪次項, 方程（8）左端就變成一個多項式, 令該多項式的各階冪次的系數為零, 導出關于ai(i=-m,…,0,…,m),k,ω,λ,μ的代數方程.

步驟4: 求解步驟3 中建立的含ai(i=-m,…,0,…,m),k,ω,λ,μ 的代數方程, 解方程（10）,聯立式（8）-（11）,即可獲得方程（5）的行波解.

解常微分方程（10）得到通解G(ξ), 則可得到( G"(ξ)/G(ξ) ),其對應有以下三種形式：

1.3 求解Wick型隨機偏微分方程的步驟

對于Wick型隨機偏微分方程

通過Hermite 變換, 由Wick 乘積變為普通意義下的乘積

其中u?是u 的Hermite 變換. 方程（14）通過Hermite變換得到隨機偏微分方程

其中Z1,Z2…為復數. 通過函數展開法可找到式（12）的解.

引理1[19]假設存在有界開集,G ∈(R×R+)及 q ＞0, r ＞0，且 假 定 u(t,x,z),ut(t,x,z),ux(t,x,z)及uxxt(t,x,z)對(t,x,z)∈G×( )kq(r)一致有界, 對(t,x)∈G 連續, z ∈kq(r). 由文獻[19]可 知, 存 在 U(t,x)∈S(-1)使 得 u(t,x,z)=u?(t,x)(z), 其中U(t,x)是對應方程在空間S-1上的強解.

根據引理1的條件,使用Hermite變換的逆變換可得式（10）的精確解.

2 一類Wick-型變系數隨機Gardner 方程的精確解實例

對于Wick-型變系數隨機混合Gardner 方程（5）,利用Hermite變換由Wick型乘積化為普通乘積的形式為所對應的偏微分方程:

其中A0(t),A1(t),B0(t),B1(t),B2(t)都是關于t 的函數.

為簡便,記A0(t)=a(t),A1(t)=b(t),B0(t)=d(t),B1(t)=f(t),B2(t)=h(t),則式（16）化為

其中a(t),b(t),d(t),f(t),h(t)是關于t 的函數. 假設方程（17）具有的解的形式為

計算u"(ε),u2(ε),u"(ε), 將式（18）代入式（17）,合并i=0,1,2,3,4)的相同次冪次項系數,并令各冪次項系數為零, 得到關于a0(t),a1(t),C(t),k(t)的不定方程組

求解方程組（19）, 由a(t),b(t),f(t),h(t)以及ε,λ,K,μ表示出a1(t),c(t),k(t)得：

其中k(t)=k,ε=±1,k,a,b是任意常數.

將方程組的解式（20）帶入到式（12）, 分類討論從而得到方程（17）的精確解:

情況一: 當λ2-4μ=0 時可得方程（17）對應的有理函數解為:

情況二: 當λ2-4μ ＜0 時, 可得方程（17）對應的有三角函數解為:

情況三: 當λ2-4μ ＞0 時, 可得方程（17）對應的有雙曲函數解為:

令u(t,x,z)為u(ε)的Hermite 逆變換, 由引理1可知:

①式（21）對應的方程（3）的有理白噪聲泛函解為:

②式（22）對應的方程（3）的三角白噪聲泛函解為：

③式（23）對應的方程（3）的雙曲白噪聲泛函解為:

3 結語

本文利用Hermit 變換將Wick 型隨機Gardner方程轉化為偏微分方程, 同時利用函數展開法, 給出了有理函數解、三角函數解和雙曲函數解,然后利用Hermit 變換的逆變換將這些解轉化為Wick 型隨機Gardner 方程的對應的泛函白噪聲解. 對于隨機方程（5）得到的解（24）（25）（26）,到目前為止在其他文獻之中還未曾出現過.下一步的工作可以繼續使用這種方法研究其它Wick-型隨機分數階方程或方程組的精確解.