密度比模型下兩獨立總體方差比的半參數推斷

彭 凱

（南京財經大學應用數學學院，江蘇南京210023）

現實中，常常需要比較不同分布的方差，尤其需要知道總體間是否具有方差齊性.例如在容器制造過程中，為了更高的適配率，質控人員不僅希望其生產的容器和蓋子的尺寸有相等的均值，而且希望它們具有方差齊性；大型考試，常常需要多名批卷老師合作批卷，管理者會希望不同的老師有相似的改卷風格即具有方差齊性，以使批卷結果對不同的學生更為公平合理. 因此，比較不同分布的方差具有非常重要的現實意義.

傳統的參數統計領域，對于兩總體方差的比較是在總體為正態分布的假設下進行的.在實際研究中，遇到的多是非正態數據，這時用傳統的方法并不合理，要想去證明非正態總體下檢驗統計量的分布或漸進分布也未必容易.

本文基于Qin 和Zhang[1]提出的半參數密度比模型，以方差比作為統計指標來比較總體間方差大小.以G,H分別表示隨機變量X,Y的分布函數，以g(x),h(x)分別表示兩個總體的密度函數. 該模型如下：

這里α 是一個標量參數，β 是一個p×1 的向量參數，r(x)是一個p×1 的關于x 的光滑的向量函數.該模型已被應用到各種具體統計方法上. 例如：Zhang[2]研究了半參數分位數估計方法；Qin 和Zhang[3]以及Wan 和Zhang[4]建立了該模型下進行ROC 曲線估計的半參數方法；Wan 和Zhang[5]建立了該模型下進行ROC 曲線比較的半參數方法；Folkianos[6]、Cheng 和Chu[7]、Qin 和Zhang[8]建立了半參數密度函數估計方法；Wan 和Xu[9]證明了半參數估計下的均值差以及方差之差各自漸進服從于正態分布，并且給出半參數估計量比參數估計量漸進有效的理論證明. Kay 和Little[10]討論了r(x)的選取以及其下適用的具體分布類型.

本文的核心思想是假定兩總體服從密度比模型下用經驗似然方法討論兩獨立總體方差比的推斷問題. 密度比模型不設定總體分布類型，并且模型包含未知參數，因此屬于半參數模型范疇. 這種方法可以看作是常用F統計量推斷的一種半參數推廣.

1 主要方法

設兩總體樣本數據分別為X1,X2,…,Xn0～g(x),Z1,Z2,…,Zn1～h(x)并且設定聯合數據為{X1,X2,…,Xn0,Z1,Z2,…,Zn1} ={t1,t2,…,tn} ，記n=n0+n1.另，設g(x)的均值為μ1,方差為；h(x)的均值為μ2,方差為.此外，假定模型（1）成立.

根據經驗似然方法，可以寫出經驗似然函數：

其中pi=dG(ti)(i=1,2,…,n)是概率的躍遷，且總和為1.

時獲得. 式中ρ= n1n0,(α?,β?)是(α,β)的似然估計量，其數值可解以下計分方程組而獲得：

這里l(α,β)是關于(α,β)的剖面對數似然函數，其值為：

那么，可以用以下半參數經驗分布函數作為總體G,H的半參數估計量：

為使表達式更為簡便，規定：

根據以上結果能得到θ的半參數估計量：

2 Bootstrap 推斷

Bootstrap 置信區間有多種構建方式，對于該假設檢驗采用EP法獲得置信區間，那么Bootstrap推斷算法步驟如下：

（1）根據原始數據X,Z計算θ的點估計數值θ?.

（2）從樣本X 中有放回重抽樣（以原始數據容量）得到B組Bootstrap數據X*(b).

（3）從樣本Z 中有放回重抽樣（以原始數據容量）得到B組Bootstrap數據Z*(b).

（4）聯合以上數據得到B 組Bootstrap 數據( X*(b),Z*(b)),b=1,2,…,B進而計算θ?*(b)的數值.

（5）對{θ?*(1),θ?*(2),…,θ?*(B)}數值向量進行升序排列，并用百分位數法獲得95% 等尾置信區間()，其中是百分位數.

（6）把Bootstrap 置信區間用于假設檢驗H0：θ=θ0vs H1：θ ≠θ0. 如果θ0數值落在該置信區間內則保留原假設，否則拒絕原假設. 這一步相當于置信水平為0.05 時的顯著性檢驗. 類似地，還可以運用單側置信區間進行單側假設檢驗.

3 統計模擬

模擬實驗目的是驗證方法的可行性. 這里考慮正態和指數分布兩類情況.

3.1 總體分布類型設定

3.2 統計模擬步驟

（1）對每種情況下產生N組容量為(n,n) 的蒙特卡洛模擬數據.

（2）對每組蒙特卡洛數據進行有放回重抽樣得到B組Bootstrap數據，其容量為(n,n).

（3）每組蒙特卡洛數據下可以得到B 對α?,β?估計值，從而得到B個θ?估計值.

（4）計算N×B個θ?估計值的均值.

（5）計算N×B個θ?估計值的均方誤差.

（6）對每組蒙特卡洛數據構造一個95%等尾置信區間，并計算覆蓋概率（即N個置信區間中包含θ真值的個數與N的比例）.

3.3 統計模擬結果

表1、表2 是統計模擬結果. 從表1、表2 可以看出，參數真值與估計值的均值相差較小. 隨著樣本容量增加，參數真值與估計值均值逐漸接近，均方誤差逐漸減小.另外，置信區間覆蓋概率與預期的95%非常接近.因此，該方法是可行的.

表1 正態分布模擬結果（g( x )～N( 1,4 ),h( x )～N( 3,4 ),N=500,B=1000）

表2 指數分布模擬結果（g( x )～exp( 2 ),h( x )～exp( 1 ),N=500,B=1000）

4 實例分析

4.1 擬合優度檢驗

在給定數據下使用半參數密度比模型時一個必要的步驟是檢驗該模型對于數據的適合度即擬合優度. 該模型的擬合優度檢驗統計量有很多種，例如Qin[1]提供的KS 統計量，Zhang[11]給出的卡方型檢驗統計量，Zhang[12]給出的信息矩陣統計量等等. 以下用到的實例數據已經完成擬合優度檢驗，其結果可參考Qin[1].

4.2 數據來源

采用Glovsky & Rigrodsky（1964）的數據作為分析案例.作者分析比較了智力缺陷兒童的發展歷史數據，研究了參加新澤西維蘭培訓學校的語言治療項目的41 名兒童. 其中有20 個兒童在其早年發展中被診斷出患有失語癥，剩下的21個兒童被診斷患有智力障礙. 令隨機變量Z 代表患有失語癥兒童的指標變量，X代表患有智力障礙兒童的指標變量.根據威尼蘭社會成熟量表測量得到的每個兒童的得分如下：

4.3 估計與檢驗

考慮以下假設檢驗

根據前面的推斷算法，得到θ?=1.088，置信區間為( 0.752,1.591 ). 另外，θ0=1 落在置信區間內，因此選擇保留原假設. 換句話說，無法做出拒絕原假設的判斷.