延遲介入 亦能深入

江蘇淮安生態文旅區實驗小學 戴 俊

雖然我們一直倡導“動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式……學習是一個生動活潑、主動和富有個性的過程”，但是以觀察代替操作、以提問代替探究、以講解代替實踐的課堂卻屢見不鮮，看似教得激情澎湃，實則學得無精打采。究其原因，是教師過早介入學生的探究過程，致使學習活動被固化、學生主體地位被弱化、自主建構被淡化。因此，教師要樹立正確的教學觀，延遲介入，順學而教，方能使學生深度參與到數學學習中來，促進教與學良好生態的形成。

一、延遲揭示概念：感悟知識生發的過程

概念是數學學習的重要組成部分，它有很強的嚴密性和抽象性。個別教師在教學中過早地將概念以直接定義的方式告知學生，要求學生識記，讓學生做概念的“復讀機”和“打印機”。這一方面不符合學生的認知規律，因為學生會對每一個新接觸到的概念建構自己的理解，這種理解不是通過感官或談話交流就能夠獲得的，它需要通過學生個體的反思抽象再進行自主的建構；另一方面，概念的產生形成過程衍生著數學文化，蘊含著數學思想，需要教師給學生一定的時間和空間來體驗，乃至是重現概念發生、發現、發展的過程。

例如，在“認識分數”的教學中，一位教師先讓學生將4瓶水、2個蘋果分別平均分成兩份，分得的結果可以用自然數來表示。接下來，教師出示一塊蛋糕，問：“如果平均分成2份，每份你能用什么數來表示？”一個學生回答：“可以用0.5表示。”小數與這節課的教學并無直接關聯，教師仍然請該生介紹在哪里見過小數，表示什么意思。接下來，教師問：“你還能用什么樣的數表示呢？”“能不能發明一個數來表示出這半塊蛋糕，你覺得發明的這個數會和哪些數字有關系？”學生回答：“和2有關，因為平均分成了兩份。”“和1有關，是其中的一份。”教師提問：“既然與2、1都有關系，你能寫出這樣的數嗎？”同學們討論以后，在黑板上寫出了各式各樣由1和2組成的數的樣子，出示正確的書寫形式后，教師引導學生給這樣的數起個名字，學生分別說：“叫組合數，因為是兩個數合成的。”“叫份數，因為是分成了幾份。”“叫分數，因為每一份都是平均分的。”在學生的討論交流中，分數這一概念自然而然地揭示出來。

在上面的案例中，面對無法用自然數來表示的情形，教師讓學生在討論、交流中建構其對分數的書寫、構成、意義的理解，教師沒有在開始和中途過多地介入，而是讓學生體驗了分數的創造、定義的過程，之后再揭示概念。這樣的學習過程不再是由學生復制教材上的內容，而是一個自主發現、自力建構、自我成長的深刻學習活動。事實上，“含有未知數的等式叫方程”這樣的定義式概念和“用來表示物體個數的1、2、3、4、5……是自然數”這樣的描述式概念，是小學階段的主要概念呈現形式。在我們成人看來，這樣的定義或描述理所當然，如果是作為冷冰冰的規定去“塞”給學生，企圖去遞送知識，那么數學必然會給他們一種冰冷、生硬的不良感受。我們要清楚地認識到，兒童需要用自己的經驗來解釋和沉淀新的概念，并將其同化、內化，這都需要一定時間和空間。作為教師切忌包辦，而要適時引導、支持幫助，為學生進行理解加工創設良好的環境和條件。

二、延遲總結規律：體悟自主探究的經驗

數學是揭示我們所存在的世界中規律的學科。對于存在的一些規律，我們往往通過歸納和推理，從一些特殊現象中概括出一般性結論，或是從已有的定律中推導出新的結論。在教學中，有些教師會將教學的重心沉積于規律的總結，要求學生用更多的時間去背誦或者是在應用中熟悉規律的陳述，而忽視、淡化了規律形成的探索過程。

例如，在教學“正方體的展開圖”一課中，對于一個正方形的表面展開后會有哪些形狀？哪些是正方體的展開圖？如何快速地進行判斷？很多教師可謂“絞盡腦汁”，總結出很多“巧”辦法。

一位教師直接告訴同學們，每個小正方形擺放的位置為“141”“231”“222”“33”形，并且不出現“U”形和“田”形就可以圍成正方體。另一位教師是讓學生在課前準備了很多這樣的圖形（見上圖），并給每個小正方形編上號，讓同學們先猜想一下誰和誰可能是相對的，再通過折一折來驗證，最后引出結論：如果可以找到三組相對面，就可以圍成一個正方體。在同學們了解了正方體側面展開的基本原理后，再讓學生找一找展開圖的規律。對比兩種教學流程，第一種教師過早介入，直接告知規律，忽視了規律背后的原理，學生知其然卻不知其所以然；第二種教師不急于總結，讓位于學生的自主探索，側重于從現象中明晰原理，于理解后提煉規律，在此過程中，同學們有猜想、實踐、觀察、反思，學活且學透。

從上面的案例可以看出，規律的發現與總結應該是一個整體的學習過程，這就意味著不能偏重于規律的總結表述，學生在現象中積極探索、猜想驗證，這個過程的重要性甚至比規律的表述還重要。如果教師過早地介入，將規律直接告知學生，依據的數學現象過于單一，研究的案例片面零碎，那么規律的推導往往不夠嚴謹，結論難以信服，學生停留在了對于規律陳述的記憶，而忽略了更為重要的規律推導過程和其中數學思維訓練。所以，不能武斷地從外部將規律進行“填灌”，應給學生留出探索與實踐的時空，使學生在探究中發現和總結規律推導的方法，提升對數學現象的直覺思維能力。

三、延遲優化方法：領悟問題解決的思想

為了培養學生的創造性思維，我們常常在解決問題時引導學生從不同的視角、迥異的路徑去解決問題，同時，為了使解題更快捷，目標更聚焦，我們又常常引導學生得到“最好方法”。這樣做本無可厚非，但是教學中過早或過重聚焦于方法的優化，而忽略方法多樣化過程中學生繽紛多彩的探究活動，就會使學生淡漠主動探究的濃厚興趣，從而降低學習質量，禁錮思維發展。

例如，在“解決問題的策略”教學中，一位教師首先呈現了例題：梅山小學有一塊長方形花圃，長8米。在修建校園時，花圃的長增加了3米，這樣花圃的面積就增加了18平方米。原來花圃的面積是多少平方米？接下來，教師讓大家用喜歡的方法來解決。在匯報環節，學生除了用畫圖的方法外，還呈現下面兩種方法：1.列舉的方法，即寬應小于8米，學生從1米至7米進行列舉，通過兩種長方形的面積差來進行推算；2.直接計算法，18平方米即為寬乘上3，算出原來寬是6米，再進行計算。教師提出“列舉法和直接計算法與畫圖比起來，計算過程多，書寫步驟長，不形象也不直觀。”于是，在接下來的學習中，用列舉和直接計算的方法就再未被提及和出現，所有的解答都統歸成了畫圖法。

在上面的案例中，教師對方法的優化似乎并無不妥，但是教學圖畫的策略并不意味著就要回避、弱化其他方法，更不能從有沒有用、簡不簡便來判斷其他方法的利弊。授之以魚，不如授之以漁。任何一節課都不是數學學習的終點，任何一種方法的背后都蘊含著深厚的數學思想。最優的策略不一定等同于書寫步驟的簡單，而應包括適用的范圍、思維的角度、應用的價值，而且我們不能簡單地評價一種方法好另一種不好，因為好的方法是相對而言的，任何方法都有其局限性。方法的優化，應基于夯實方法多樣化的基礎上，解決問題不是學生學習的終點，解決問題過程中承載的思維的訓練、思想的熏陶有時比得到答案更為重要。在學生進行方法的探究時，教師不應過早地就將方法進行統一，結論給予固定，思維進行聚合，而應盡可能地讓學生敞亮疑問，展示方法，拓展思維。

當然，我們不能將教師的延遲介入理解為減少教學過程中教師參與的比重，不能認為要降低教師的作用和價值。與此相反，而是要對教師的介入提出更高層次的要求，這是一種“欲擒故縱”的教學智慧和“靜待花開”的教育哲學，即教師能在盡可能少的時間內尊重學生的認知水平和學習規律，增加課堂活動的“不確定性”，讓學生有更充分的時間去假設和驗證、操作和發現、探索和思考，使學生在真實、具體、復雜而有挑戰性的學習環境中，真正成為學習的主人，習得更有深度、更有溫度的數學知識和能力。