幾種求面積方法之間關(guān)系及其應(yīng)用

楊祥生

（南京工程學(xué)院數(shù)理部，江蘇 南京）

定積分是積分學(xué)中的第二個(gè)重要基本概念，它在自然科學(xué)和很多技術(shù)問(wèn)題中都存在著廣泛的應(yīng)用[1]。例如求平面圖形的面積、求空間圖形的體積、求物體運(yùn)動(dòng)的位移以及變力做功等問(wèn)題。對(duì)于利用定積分求平面圖形面積問(wèn)題，主要有以下三種方法：定積分的微元法、二重積分法以及第二類(lèi)曲線(xiàn)積分法，這三種方法又可以相互進(jìn)行轉(zhuǎn)換。下面詳細(xì)闡述這三種方法，并揭示這三種方法的內(nèi)在聯(lián)系。

一 求平面圖形面積方法

（一）定積分的微元法

利用定積分的微元法求圖形面積，又分直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系兩種不同情況。

1.直角坐標(biāo)系情況下

2.極坐標(biāo)系情況下

求由P=φ（θ），θ=α，θ=β 所圍成的面積A。

（二）二重積分法

二 重 積 分?f(x,y)dδ， 當(dāng) 被 積 函 數(shù)f(x,y)=1 時(shí)，?D1dδ=A(區(qū)域D的面積)。利用二重積分法求圖形面積，也分直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系兩種不同情況。

1.直角坐標(biāo)系情況下

2.極坐標(biāo)系情況下

若 極 坐 標(biāo) 積 分 區(qū) 域D 是 由0 ≤ρ ≤ρ（θ），α ≤ρ ≤β，則區(qū)域D 的面積為

（三）第二類(lèi)曲線(xiàn)積分法

格林公式 設(shè)閉區(qū)域D 是由光滑的封閉曲線(xiàn)L 圍成的，函數(shù)P(x,y),Q(x,y) 在D 上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有，其中L 為區(qū)域D 取正向的邊界曲線(xiàn)[2]。

我們知道對(duì)于二重積分被積函數(shù)等于1，其計(jì)算結(jié)果就是區(qū)域D 的面積。選取一組特定的P、Q 函數(shù)，使得，此時(shí)二重積分的值就是區(qū)域D 的面積。

二 三種方法之間的內(nèi)在聯(lián)系

定 積 分 微 元 法 中， 由x=φ（y），x=ψ（y），y=c，y=d，φ（y）≥ψ（y）所圍成的區(qū)域，可以看成是二重積分中的Y 型積分區(qū)域D，則

同理對(duì)于極坐標(biāo)系下我們可以得出

對(duì)于第二類(lèi)曲線(xiàn)積分，L 可以看成是由曲線(xiàn)EF、FG、GH、HE 所圍成的封閉曲線(xiàn)，如下圖所示。由于線(xiàn)段EF，y=g(x)，x 是從a 到b；線(xiàn)段FG，x=b，y 是c 到d；線(xiàn) 段GH，y=f（x），x 是 從b 到a；線(xiàn) 段HE，x=a，y 是d 到c，則

三 舉例應(yīng)用

例1 求由兩條拋物線(xiàn)y2=x，y=x2所圍成的圖形面積。

解：分別用以上三種方法求解此題

方法一：

方法二：

方法三：

解：此題用兩種方法來(lái)解

方法一：

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性

方法二：

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性