對歸納類問題的總結

李輝

歸納類問題課本講解的比較簡單，而在實際做題工程中，學生不知如何下手，有點“丈二和尚摸不找頭腦，下面結合幾個有關歸納的例題，總結一下此類問題。

例1：在數列{an}中，a1=1， a2=3+5， a3=7+9+11， a4=13+15+ 17+19，…，由此確定a10。

分析：很多同學都得到a10=91+93+95+…+109這一結果，實際上這就是對推理的的結果不明確，實際上本題的目的是讓你確定a10的數值，因此我們計算a1=1=13， a2=8=23， a3=27=33， a4=64=43，因此歸納a10=103=1000

例2：從1-4=-（1+2）， 1-4+9=1+2+3， 1-4+9-16=-（1+2+3+4）， …，推廣到第n個等式。

分析：通過觀察可以看出要歸納的結論為一個等式，而等式分兩部分，我們化整為零，先歸納左邊，在歸納右邊。

左邊：1-1，1-4=1-22， 1-4+9=1-22+32， 1-4+9-16=1-22+32-42，因此我們歸納右邊為1-22+32-42+…+（-1）n+1n2

左邊：1， -（1+2）， 1+2+3， -（1+2+3+4），因此我們可以歸納右邊為（-1）n+1（1+2+3+…+n）

于是我們歸納第n個等式為1-22+32-42+…+（-1）n+1n2=（-1）n+1 （1+2+3+…+n）。

例3：，經過計算得，

f （4）>2， f （8）>， f （16）>3， f （32）>，推測當n≥2時， 有______.

分析：通過觀察可以看到有一個等式，4個含有“>”號的不等式，因此我們可以得出要歸納的結果是含有“≥”號的不等式，同樣，我們也是先歸納右邊，在歸納左邊。

右邊：f （2），f （4）= f （22），f （8）= f （23）， f （16）= f （24）， f （32）= f （25），于是歸納第n個式子為f （2n ）。

左邊：，于是歸納第n個式子為。

于是第n個式子為。

但是題目要求是n ≥ 2，所以要歸納的式子為?。

由上述幾個例題可知歸納類問題首先要明確推理的結論是什么，如果推理的結論由幾部分，我們可以化整為零，分部分歸納，這樣我們做題更有目的性，而且能夠起到化繁為簡的效果。