ZC序列及其調制的OFDM信號波形特性研究

(國防科技大學電子對抗學院， 安徽合肥 230037)

0 引言

OFDM信號波形具備波形捷變、抗干擾、低截獲的性能優勢，同時有應用于雷達通信一體化、分布式一體化電子信息系統等新體制雷達的潛力，具有廣闊的應用前景，是現階段各國關于雷達波形的研究熱點之一。但同時，OFDM信號波形在實際應用上存在著兩大主要缺陷[1]：1)發射波形的包絡峰均比(PMEPR)較高，導致射頻放大器功率效率低。OFDM信號包絡是時變的，由于雷達發射機的功率放大器一般都不是線性的，且其動態范圍有限，當 OFDM 信號這種變化范圍較大的信號通過非線性部件(例如進入放大器的非線性區域時)，信號會產生非線性失真，產生諧波，造成較明顯的頻譜擴展干擾以及帶內信號畸變，從而導致整個雷達系統性能的下降，而且同時還會增加 A/D 和 D/A 轉換器的復雜度并降低它們的準確性。2)對OFDM的模糊函數研究表明，大多數OFDM 雷達信號具有圖釘狀模糊函數，這就意味著 OFDM 雷達同時具備距離高分辨和多普勒高分辨，不存在距離多普勒耦合。然而，圖釘狀的模糊函數也使 OFDM 雷達信號成為“多普勒敏感”信號，在回波處理時如果匹配濾波器存在細微的多普勒失配，將導致濾波器性能迅速下降。大量的研究圍繞解決這兩個問題展開，其中，研究適當的OFDM信號調制碼字是解決這兩個問題的一種重要手段。

ZC作為碼字調制的OFDM信號被廣泛地用于4G通信中，用作時頻同步序列。文獻[2-4]均說明了ZC序列作為碼字調制的OFDM符號具有良好的相關特性。文獻[2]通過比較在不同信噪比條件下ZC序列調制的OFDM符號與PN序列調制的OFDM符號、通信符號自身CP和修正過的CP四種符號序列作為時頻同步序列進行同步的同步精度，說明了ZC序列調制的OFDM符號在低信噪比條件仍能保持較高的同步精度；文獻[3]比較了在不同信噪比條件下分別利用PN序列調制的OFDM符號和ZC序列調制的OFDM符號作為同步序列進行通信情況下的通信誤碼率，說明了在信噪比從-10 dB到15 dB的條件下，ZC序列調制的OFDM符號作為同步序列進行通信的通信誤碼率明顯要低于PN序列調制的OFDM符號作為同步序列進行通信的通信誤碼率；文獻[4]比較了在信噪比從-10 dB到4 dB的條件下，ZC序列調制的OFDM符號作為同步序列進行通信的通信誤碼率明顯要低于Gold序列調制的OFDM符號作為同步序列進行通信的通信誤碼率。

僅僅基于用于通信同步的相關性無法說明ZC序列調制的OFDM信號作為雷達信號的探測性能，文章重點研究了ZC序列調制的OFDM信號的峰均比特性和匹配特性以及多普勒容限特性，并比較了ZC序列調制的OFDM信號波形與線性調頻信號波形的模糊函數特性，論證了ZC序列調制的OFDM信號作為雷達探測信號的可行性。

1 ZC序列的定義及其相關性質

ZC序列(又名Zadoff-Chu序列)的定義[5]如下：

k=0,1,2,…,N-1

(1)

式中,WN=e-j2π/N,N為序列的長度，μ∈N+為序列的根序列，μ和N滿足gcd(μ,M)=1。可改寫為如下形式：

k=0,1,2,…,N-1

(2)

式中，cf=Nmod 2，q∈Z為參數。

OFDM信號的調制方式提供了一種在頻域上設計信號波形的辦法。OFDM信號的數學表達式為

(3)

式中，fk=f0+kΔf，f0為起始頻率，Δf為頻率間隔。欲表示信號的采樣信號，對式(3)以Ts(1/fs)為間隔周期進行采樣，令t=nTs，有

(4)

若令起始頻率f0=0，則頻率間隔為Δf=1/NTs=fs/N，即頻率間隔為采樣頻率的1/N，則得OFDM信號的采樣信號序列表達式：

(5)

式(3)、(4)、(5)表達了調制序列xk與OFDM信號的采樣信號Qn的離散傅里葉變換關系，也表達了調制序列xk的特性，即OFDM信號的頻域特性。

1.1 ZC序列的傅里葉不變性

n=0,1,2,…,N-1

(6)

注意到文獻[6]：

ejπ(μ×(μ-1n)×(μ-1n+cf+2q))/N×

e-jπ[μ(k+μ-1n)(k+μ-1n+cf+2q)]/N

(7)

式中，μ-1為μ關于1模N的乘法逆元，即滿足μ×μ-1≡1modN。因此ZC序列Zμ(k)的傅里葉變換可寫作[7]：

n=0，1,2，…，N-1

(8)

有

(9)

所以有

n=0,1,2,…,N-1

(10)

結合式(6)、 (7)、 (8)、 (9)、 (10)可得ZC序列經過傅里葉變化后仍然是ZC序列，且經過傅里葉變換后的ZC序列的根植μ-1與原ZC序列的根植μ滿足μ×μ-1≡1modN。同理，ZC系列經過逆傅里葉變換也有同樣的性質。表1給出了在N=67，cf+2q=1情況下，ZC序列的部分根植和其對應的傅里葉變化后的根植。

表1 ZC序列原始根植與傅里葉變換后序列根植對應表

根據ZC序列的傅里葉不變性和OFDM信號中調制序列和OFDM信號采樣序列之間的關系可得：基于ZC序列調制的OFDM信號的采樣序列仍然是ZC序列，ZC序列的特性即OFDM信號的時域特性和頻域特性。

1.2 ZC序列的循環相關性

定義ZC序列的循環自相關函數：

n=1,2,3,…,N-1

(11)

經公式推導[8]有

r0=N,rn=0,n=1,2,3,…,N-1

(12)

對N=60,cf+2q=0,μ=7的ZC序列的循環自相關函數仿真如圖1所示。

圖1 ZC序列的循環自相關函數仿真

1.3 ZC序列的低峰均比特性

將ZC序列的定義式用歐拉公式展開可得

Zμ(k)=e-jπμk(k+cf+2q)/N=

cos(πμk(k+cf+2q)/N)-

jsin(πμk(k+cf+2q)/N)

j2=-1

(13)

對ZC序列的實部和虛部進行峰均比PAR(real)、PAR(imag)計算：

PAR(real)=

0≤k≤N-1

PAR(imag)=

0≤k≤N-1

(14)

易得

Max{cos(πμk(k+cf+2q)/N)}≈

Max{sin(πμk(k+cf+2q)/N)}≈1

(15)

注意到文獻[9]：

(16)

由式(15)、 (16)可得

PAR(real)≈PAR(imag)≈2=3 dB

(17)

仿真如圖2所示。

圖2 不同長度ZC序列的峰均比

1.2節和1.3節分別說明了ZC序列的循環自相關特性和低峰均比特性，又根據1.1節有ZC序列的特性既反映ZC序列調制的OFDM信號波形的頻域特性又反映其頻域特性，可以得出ZC序列調制的OFDM信號波形具有1.2節和1.3節所得出的循環自相關特性和低峰均比特性。

2 ZC序列調制的OFDM信號波形的探測特性研究

為充分論證ZC序列調制的OFDM信號的探測特性，將ZC序列調制的OFDM信號和線性調頻信號的模糊函數、距離分辨特性、頻率分辨特性進行對比分析，并提出匹配特性檢測算法和多普勒容限特性檢測算法，用以對比分析ZC序列調制的OFDM信號波形和線性調頻信號波形的匹配特性和多普勒容限特性。

線性調頻信號的數學表達式為

G(t)=ej(2πfct+πkt2)

(18)

式中，f0為起始頻率，k為頻率調制斜率，k=B/t。定義其復包絡信號為

(19)

2.1 ZC序列調制的OFDM信號波形的模糊函數分析

由式(3)，ZC序列調制的OFDM信號波形的復包絡信號:

(20)

作為探測回波，在雷達接收處，信號波形表現為時延特性和因探測目標的徑向運動導致的多普勒特性。現假設信號波形的時延為τ，探測目標有徑向速度為υ，電磁波傳播速度為c,c=3×108m/s，信號在傳播過程中信號衰減為原來的A倍，則信號回波可表示為

(21)

模糊函數作為雷達探測波形分析的重要工具，它可以刻畫波形與相應匹配濾波器的特征，通過分析波形的模糊函數，可以得到雷達系統在采用最優匹配濾波處理時的距離分辨率、速度分辨率與多普勒容限特性。連續時間信號的模糊函數的定義為[10]

(22)

式中，E為信號的總能量。利用傅里葉變換性質，式(22)可得到一種等效的表示形式：

(23)

(24)

對于離散時間序列，即雷達的碼字序列，模糊函數定義為[11]

(26)

由于OFDM信號的離散序列是其調制序列的離散傅里葉逆變換，也即調制序列就是OFDM離散序列所對應的頻域序列，可得ZC序列調制的OFDM信號波形模糊函數為

(27)

線性調頻信號和ZC序列調制的OFDM信號波形和線性調頻信號波形的模糊函數仿真如圖3(a)和圖3(b)所示。

(a) ZC序列調制的OFDM信號的模糊函數

(b) 線性調頻信號的模糊函數圖3 ZC序列調制的OFDM信號和線性調頻信號的模糊函數圖

由圖3可以看出，ZC序列調制的OFDM信號波形的模糊函數和線性調頻信號波形的模糊函數呈現相同的“斜刀刃”特性。

2.2 匹配特性檢測算法以及ZC序列調制的OFDM信號波形的匹配特性研究

雷達信號回波處理時通常采用脈沖壓縮的方法進行處理，良好的探測信號具有回波脈沖壓縮處理后主副瓣比大的特點。定義信號波形在噪聲環境下經過脈沖壓縮處理后主副瓣比的特性為信號波形的匹配特性。定義匹配性檢測函數rp(Δt)：

(28)

(29)

可得離散匹配性檢測函數rp(n)：

(30)

由采樣定理可得時長t是采樣時間間隔長度Ts與采樣點數M的乘積，反之有

M=Ts×fs

(31)

為比較同等時寬、帶寬條件下ZC序列調制的OFDM信號和線性調頻信號的探測特性，不妨設信號采樣率為fs=20 MHz、帶寬為B=10 MHz，時寬長度為t=10 μs，根據式(31)有M=200。由式(4)和式(5)可得調制序列的長度N為

N=B×t

(32)

ZC序列的OFDM信號時寬為t=10 μs,帶寬B=10 MHz，可得N=100。按照同等的時寬和帶寬參數設置的線性調頻信號基帶信號[13]參數為f0=0，k=B/t=1(MHz/μs)。

在噪聲σSNR(m)=10 dB的情況下，根據式(30)，對μ=1，M=100的ZC序列調制的OFDM信號和線性調頻信號的自身匹配特性分析如圖4和圖5所示。

(a) ZC序列調制的OFDM信號的匹配性檢測函數

(b) ZC序列調制的OFDM信號的匹配性檢測函數(歸一化)圖4 噪聲σSNR(m)=10 dB的情況下ZC序列調制的OFDM信號的匹配特性

(a) 線性調頻信號的匹配性檢測函數

(b) 線性調頻信號的匹配性檢測函數(歸一化)圖5 噪聲σSNR(m)=10 dB的情況下線性調頻信號的匹配特性

信號的噪聲σSNR(m)從1 dB到20 dB情況下，ZC序列調制的OFDM信號和線性調頻信號的自身匹配性檢測函數的最小主副瓣比[14]比較如圖6所示。

圖6 不同信噪比下ZC序列調制的OFDM信號和線性調頻信號的匹配性檢測函數的最小主副瓣比

從圖6可以看出，在噪聲信噪比從1 dB到20 dB情況下,ZC序列調制的OFDM信號與線性調頻信號有幾乎相同的優良匹配特性，優良的匹配特性決定了在雷達波形能量在相同情況下可以獲得較遠的探測距離。

2.3 多普勒容限檢測算法以及ZC序列調制的OFDM信號的多普勒容限特性研究

定義雷達探測信號受多普勒效應影響后，其回波在進行脈沖壓縮處理后的最大峰值能量為其多普勒容限特性。多普勒容限檢測函數為

(33)

同理，對式(33)兩邊以Ts(1/fs)為間隔周期進行采樣，令t=nTs，有

(34)

可得離散多普勒容限檢測函數rq(m)：

(35)

根據式(35)，在同等采樣率fs=20 MHz、帶寬B=10 MHz、時寬長度t=10 μs的條件下，對ZC序列調制的OFDM信號的多普勒容限特性和線性調頻信號的自身多普勒容限特性分析如圖7所示。

(a) ZC序列調制的OFDM信號的多普勒容限特性

(b) 線性調頻信號的多普勒容限特性圖7 ZC序列調制的OFDM信號和線性調頻信號的多普勒容限特性分析

仿真結果表明，ZC序列調制的OFDM信號和線性調頻信號擁有相同的多普勒容限特性。

2.4 多普勒估計

3 結束語

文章證明了ZC序列碼調制的OFDM信號具有低峰均比特性、寬多普勒容限特性，克服了大多數OFDM信號所面臨的峰均比過大導致信號放大失真、多普勒敏感導致匹配濾波器失效的兩大難題。通過對ZC序列碼調制的OFDM信號和線性調頻信號的對比研究分析，得到ZC序列碼調制的OFDM信號具有和線性調頻信號相同的 “斜刀刃型”的模糊函數特性以及不亞于線性調頻信號的高距離分辨率特性、高速度分辨率特性和良好的匹配特性的結論。但同時，由于ZC序列碼調制的OFDM信號擁有“斜刀刃型”的模糊函數特性，因此該信號存在著距離和多普勒頻移耦合的現象；并且該信號的匹配濾波器輸出壓縮脈沖包絡仍近似為sinc(x)函數，需要采取數字加權的辦法并以增大主瓣寬度為代價來降低副瓣，這在一定程度上也降低了系統的靈敏度。