基于冪風險譜和蒙特卡洛模擬的貸款優化配置模型

遲國泰，張亞京，丁士杰

(大連理工大學管理與經濟學部，遼寧 大連 116024)

1 引言

貸款組合優化配置模型本質上是在綜合考慮貸款收益和貸款風險條件下，求解一組恰當的貸款配置比例[1]。而商業銀行中小概率的極端損失是不可避免的，因此研究考慮商業銀行尾部風險的貸款配置問題具有重要意義。

在VaR風險測度方面，VaR (Value at Risk)是指在給定置信水平下貸款組合在一定時間內可能發生的最大損失[2]。劉艷萍等[3]通過約束貸款組合的VaR進行貸款配置。匡海波等[4]利用VaR建立了港口物流質押貸款組合模型。Lwin等[5]提出了MODE-GL演化算法求解均值-VaR的投資模型。

在CVaR風險測度方面，Artzner等[2]提出了CVaR(Conditional VaR)條件風險價值度量，CVaR是指資產組合損失大于給定VaR的條件下，資產組合的平均損失值，滿足次可加性、凸性、一致性。Rockafellar和Uryasev[6]給出了將CVaR投資組合問題轉化為線性規劃模型求解的方法。Andersson等[7]以CVaR最小為目標函數進行資產配置。Alexander等[8]提出了一種基于平滑技術的方法實現CVaR的仿真。Najafi和Mushakhian[9]通過隨機均值-半方差-CVaR方法構建了投資組合模型。Gao Jianjun等[10]通過LMP和CVaR建立了投資組合模型。

在譜風險測度方面的研究，Acerbi[11]提出了譜風險。Acerbi和Prospero[12]給出了譜風險在投資組合中的規劃求解方式。Cotter和Dowd[13]比較了多種數值積分方法估算譜風險的精度。Adam等[14]對比了扭曲風險、譜風險在投資組合中的優劣。Lim[15]通過施加不同參數值的譜風險約束來解決誤差敏感問題。韓萱和楊永愉[16]將風險厭惡系數與反映投資者心理的效用函數相結合構造了混合型譜風險。Abad和Iyengar[17]通過迭代梯度算法解決了多個譜風險約束的投資組合問題。刁訓娣等[18]將極值理論與譜風險測度方法相結合進行資產配置。

在蒙特卡洛模擬應用于資產配置方面，歷史數據往往較少或者較難獲得，不足以可靠地估計貸款可能造成的風險，因此許多研究采用蒙特卡洛方法進行貸款收益或損失的模擬與仿真。馬志衛和劉應宗[19]將貸款看做投資項目，以投資項目的財務內部收益率和波動反映貸款收益和風險，并以蒙特卡洛進行收益模擬，結合無差異曲線與有效前沿進行貸款配置。司繼文等[20]通過蒙特卡洛模生成股票收益情景，并利用CVaR和混合整數規劃進行貸款配置。

上述研究不足在于：一是VaR僅將信用風險轉化為單一分位點，但也因此不能充分考慮超出分位點的下方風險值分布；CVaR同等看待尾部風險的大小，并沒有給不同損失賦以不同厭惡權重。二是現有譜風險研究并沒有將譜風險與貸款信用風險相結合，僅單一考慮了尾部風險，沒有兼顧信用風險。

針對上述存在問題，本文建立了基于冪風險譜和蒙特卡洛模擬的貸款優化配置模型。本文根據貸款組合尾部損失越大、對應風險厭惡權重也應越大的思路，通過冪風險譜對極端風險進行控制，即彌補了CVaR僅均等看待尾部風險、忽略風險較大的損失應予以更大權重，也同時彌補VaR僅提供某一置信水平下資產損失的最大值、無法反映超過閾值的損失的弊端。

2 科學問題的提出及難點

2.1 商業銀行貸款配置的特點

(1)商業銀行貸款配置面臨風險是不可避免的，如果僅約束貸款組合的發生概率，而不控制極端風險出現時的損失大小，則極易出現“黑天鵝”事件。若銀行在99%的置信水平下發生1000萬損失的概率是1%，顯然對銀行影響不大；但若在萬分之一的小概率下發生500億損失，則銀行的生存就可能有問題。前者是“概率大小”問題；而后者則講的是“損失大小”問題。顯見，損失大小的“黑天鵝”事件，才是銀行應該重點控制的問題。

(2)貸款配置時，信用等級變化引起的風險常常被忽略，且由于貸款歷史數據較少，往往無法獲得貸款客戶的歷史損失分布，造成貸款配置時很少考慮信用等級變化的風險。

2.2 問題的難點

難點1：用何種方法度量貸款組合的尾部風險，避免資產配置的“黑天鵝”事件發生。尾部風險出現概率雖小，但是一旦發生，對于銀行將產生極端的損失。恰當的風險度量方法是商業銀行在貸款配置過程中不可或缺的風險防范手段。

難點2：如何將信用等級變化引起的風險納入總體風險的度量？信用等級的微小變化就會引起的總體風險變化，準確度量信用等級改變引起的風險對于銀行風險控制極為重要。

2.3 突破問題的思路

思路1：根據貸款組合尾部損失越大、對應風險厭惡權重也應越大的思路，通過冪風險譜對極端風險進行控制，即彌補了CVaR僅均等看待尾部風險、忽略風險較大的損失應予以更大權重，也同時彌補VaR僅提供某一置信水平下資產損失的最大值、無法反映超過閾值的可能損失的弊端。

思路2：通過蒙特卡洛模擬信用等級遷移引起貸款收益的變化情景，將信用遷移引起的風險引入風險度量中，彌補了現有研究僅考慮違約風險忽視信用等級變化的不足，并解決貸款歷史數據不足的問題。

3 貸款組合優化模型的建立

3.1 冪風險譜測度

3.1.1 風險價值VaR

VaR(Value at Risk)是指在一定置信水平1-α下，某金融資產組合在將來的一段時間內可能的最大損失。利用公式表示為[11]：

P(X<-VaRα)=α

(1)

令貸款組合收益率X的累積分布函數為F(x)，則可將式(1)轉化為[11]：

(2)

3.1.2 條件風險價值CVaR

條件風險價值CVaR是指在一定置信水平1-α下，某金融資產組合在未來一段時間內損失超過VaR的平均值，利用公式表示為[14]:

(3)

式(3)中CVaR指在1-α置信水平下貸款組合損失大于VaRα的全部損失值的算數平均值。

3.1.3 譜風險測度

(1)連續形式的譜風險

(4)

在式(4)中的風險厭惡函數φ(p)是p∈[0,1]上的可積函數。且φ(p)滿足非負、正則、弱遞減性[21]：

(i)φ(p)≥0,?p，非負性。

(iii)φ(p1)≥φ(p2),ifp1≤p2，弱遞減性。

式(4)中φ(p)是風險厭惡函數，從條件(iii)知p1≤p2時，φ(p1)≥φ(p2)，故φ(p)為單調遞減的。

圖1 譜風險測度的風險厭惡權重

(2)離散形式譜風險

很多情況下資產分布F(x)并不是確定的，是根據歷史資產收益進行計算譜風險，此時使用到譜風險的離散形式，將式(4)轉化為離散形式如下[8]：

(5)

其中，N為有N種情景。

①式(5)中φi：為風險厭惡函數φ(p)的離散形式，通過積分表達后為[8]：

(6)

②式(5)中Xi:N：Xi:N是個有序變量，為N個收益由小到大排列后的第i個收益。{Xi:N|i=1,…,N}={Xi|i=1,2,…,N}，并且Xi:N

式(5)的含義：式(5)中的收益Xi:N是由小到大排列的，即將損失-Xi:N由大到小排列。而式(5)中的風險權重φi是由大到小排列的。即對較大的損失-Xi:N，賦予較大的風險權重φi，反映了對風險的厭惡偏好。

(3)冪風險譜PSR (Power Spectral Risk)

令式(4)中的φ(p)為冪函數[18]：

φ(p)=(1-β)p-β,(0<β<1)

(7)

其中，β為絕對風險厭惡系數，根據金融機構自己風險厭惡程度自行在0-1之間取值[18]。β越大代表對尾部風險厭惡程度越大，由圖2可知，β=0.8對應的φ(p)曲線中尾部風險厭惡程度大于β=0.5時的風險厭惡程度。

圖2 冪風險譜測的風險權重

(8)

將式(8)代入式(5)，得到冪風險譜測度PSR[18]：

(9)

因此冪風險譜式(9)既彌補了下文式(14)風險價值VaR[2-5]僅考慮了一個點的損失，即某一置信水平下資產損失的最大值-XNα：N、無法反映一旦超過這一數值的可能損失的弊端。又彌補了下文式(17)中條件風險價值CVaR[6-9]同等看待尾部風險，即相當于對尾部風險均賦予同等權重φi=1/Nα，忽略風險較大的損失應予以更大權重的不足。

3.2 風險價值VaR和條件風險價值CVaR是本文譜風險的一個特例

3.2.1 VaR與CVaR是連續型譜風險式(4)的特例

(1)風險價值VaR是本文連續型譜風險式(4)的一個特殊情況。

設：δ為脈沖響應函數(Dirac-delta狄利克雷函數)，則風險價值VaR對應的風險權重φ(p)[18]：

(10)

式(10)賦予尾部概率p=α時對應的損失額無窮大的權重，而其余收益分位點上的權重為0。即風險價值VaR對應的φ(p)僅在α分位點對應一個風險數值，其他分位點的風險沒有考慮。

(11)

故，式(2)的VaR即為本文式(4)的一個特例。

本文式(4)的譜風險Mφ與式(2)的風險價值VaR的區別至少有二：

二是對待風險大小的態度不同。風險價值VaR無論風險大小，都是一個常數VaRα。而對于本文式(4)的譜風險Mφ，它對較大損失賦予越大權重φ(p)，因此譜風險是反映風險厭惡偏好的風險測度指標。

(2)條件風險價值CVaR是本文連續型譜風險式(4)的一個特殊情況。

設：φ(p)-風險權重，有[18]：

(12)

其中I為示性函數，當p≤α時，I=1，否則為I=0。

式(12)的CVaR對應的風險權重φ(p)，在p≤α時，表示CVaR對0～α分位點的損失賦予的權重均為1/α。沒考慮損失越大、厭惡權重越大，賦予同等權重，沒反映風險偏好。在p>α時，表示CVaR對于α～1分位點的損失賦予的權重均為0。沒考慮α～1分位點的損失較小的情況。

將式(12)的兩種表現形式代入式(4)，則[18]：

(13)

因此得到式(13)的CVaR，也就是得到了上文式(3)中的CVaR。故CVaR即為本文式(4)的一個特例。

本文式(4)的譜風險Mφ與式(3)的條件風險價值CVaR的區別至少有二：

一是測度風險區間不同。CVaR是對p∈[0,α]分位點對應的風險。而本文式(4)中對應的譜風險Mφ是p∈[0, 1]全部分位點對應的風險。二是對待風險大小的態度不同。CVaR無論尾部損失大小，對于p∈[0,α]對應的損失，賦予的權重均為1/α。而對于本文式(4)的譜風險Mφ，它對較大損失賦予越大權重φ(p)，反映了風險厭惡的偏好。

綜合上述，本研究用反映損失越大、風險權重越大的式(4)譜風險Mφ來度量風險，改變了條件風險價值CVaR對于損失超出閾值部分的風險權重為同一定值，并沒有體現出商業銀行對于銀行風險越極端、厭惡程度越高、控制力度越大的不足。

3.2.2 VaR與CVaR是離散型譜風險式(5)的特例

(1)離散形式的風險價值VaR式(14)是離散形式譜風險式(5)的特例。

VaRα=-Xn:N=-XN·α:N

(14)

當置信水平1-α=95%，模擬次數N=10,000時，則n=N·α=10,000×5%=500，風險價值VaRα的值即為貸款組合收益Xi由小到大排序，即損失-Xi由大到小排序后，在第500位的那一個損失-X500：10 000。

(15)

將式(15)中兩種情況下的φi代入式(5)，并注意到式(14)中的VaR，則：

(16)

因此，離散型風險價值VaR式(14)即為本文離散型譜風險式(5)中的一個特例。

上文冪風險譜的式(9)彌補了式(14)風險價值VaR僅考慮了一個點的損失，即某一置信水平下資產損失的最大值、無法反映一旦超過這一數值的可能損失的弊端。式(9)中冪風險譜考慮了多個點的損失，且對于較大的損失-Xi:N賦予較大的風險權重φi，反映了對風險的厭惡偏好。

(2)離散形式條件風險價值CVaR式(17)是離散形式譜風險式(5)的特例。

設：CVaRα-置信水平取1-α時的條件風險價值，E(·)-期望函數，X-貸款收益，VaRα-置信水平取1-α時的風險價值，N-模擬總次數，Xi:N-資產收益X由小到大排列后的第i個資產收益，則[13]：

(17)

式(17)的含義：在由小到大排列后Nα個資產組合收益進行算術平均計算，即為條件風險價值CVaR。

將式(12)代入式(6)，得到條件風險價值CVaR離散形式的權重φi[13]：

(18)

式(18)中字母與式(6)、式(12)中含義相同。

將式(18)中兩種情況下的φi代入式(5)，并注意到式(17)中的CVaRα，則[13]：

(19)

因此，離散型條件風險價值CVaR為離散型譜風險式(5)中的一個特例。

上文冪風險譜式(9)彌補了條件風險價值CVaR式(17)對尾部風險均賦予同等權重φi=1/Nα，忽略風險較大的損失應予以更大權重的不足。式(9)中冪風險譜對較大損失-Xi:N，賦予較大權重φi，反映了對風險的厭惡偏好。

3.3 貸款收益的Monte Carlo模擬

用Monte Carlo模擬信用等級遷移引起貸款收益的變化情景，將信用等級變化引起的風險引入風險度量中，解決貸款歷史數據不足的問題。

3.3.1 貸款收益率

設：ri-第i筆貸款信用等級變為Si時(Si為非違約級別)的貸款收益率；pi-一年后的利息；Ti-第i筆貸款的貸款期限；rSi,t-信用等級為Si的貸款第t年的遠期利率(見表4)。則[22]：

(20)

式(20)考慮一年后信用等級變化情況[22]，考察時間點為一年末，信用等級在一年末一旦發生遷移，就按照遷移后的信用等級對應的零息票收益曲線中的遠期利率進行折現，通過式(20)反映信用等級遷移對貸款收益率的影響。

若一年后等級Si為違約級別時，通過下文式(21)求貸款收益率。設：ri-貸款收益率，di-違約時的挽回率，則[22]：

ri=di-1

(21)

其中，一筆貸款違約時的挽回率di在模擬過程中，通過在滿足貝塔分布β(a,b)的數中隨機產生，其中a,b為決定貝塔分布均值和方差的相關參數[22]，下文實證4.2中參照現有研究[22]選取貝塔分布的參數為β(a,b)=β(2,8)。

3.3.2 信用等級遷移

根據CreditMetrics框架[23]，可知一個企業貸款從初始信用等級K級，遷移到S級的概率分布服從標準正態分布N(0,1)，如圖3[23]所示。信用等級從低等級到高等級排列后為違約Defualt(1)、CCC(2)、B(3)、BB(4)、BBB(5)、A(6)、AA(7)、AAA(8)個等級。

圖3 貸款收益與信用等級之間的關系[23]

設：Pk,s-貸款信用等級從k級轉移到s級的概率，Φ(·)-標準正態分布的累積概率分布函數，Ck,s-信用等級從k級遷移到s級的臨界點，x-模擬時隨機產生的標準貸款收益率，則[23]：

Pk,s=Φ(Ck,s-1

(22)

(23)

式(22)為貸款從k等級轉移到s等級的概率Pk,s。當隨機生成的標準貸款收益率x處于Ck,s-1

由此將下文3.3.3中每個模擬出的貸款收益x，與信用等級轉移臨界點Ck,s進行對比，便可知企業一年后的信用等級。

以BBB級為例，說明信用等級遷移臨界點Ck,s確定的過程。

表1是信用等級遷移矩陣[23]，如表1第4行是BBB級客戶遷移分別到Default級、CCC級、…、AAA級的概率，為0.16%、0.06%、…、0.03%。

將表1第4行第1列BBB級遷移到違約的概率PBBB,1=0.16%代入式(23)并查正態分布表，可得BBB級遷移到違約Default(1)級的臨界點CBBB,1：

CBBB,1=Φ-1(PBBB,1)=Φ-1(0.16%)=-2.945。

將結果列入表2第4行第1列。

…，…，…

BBB級遷移到AA(7)的臨界點CBBB,7:

CBBB,7=Φ-1(PBBB,1+PBBB,2+…+PBBB,7)=Φ-1(0.16%+0.06%+…+0.23%)=Φ-1(99.97%)=3.412

表1 一年內信用等級轉移矩陣[23]

表2 信用等級遷移臨界點Ck,s

BBB遷移到各等級的臨界點如表2第4行所示。同理，可得AAA、AA、…、CCC等級向其他等級遷移的臨界點Ck,s，如表2其他行所示。

3.3.3 貸款收益率的Monte Carlo模擬

步驟1：隨機生成一組符合m維正態分布N(0,Cov)的向量x=(x1,…,xm)T，代表m筆貸款的標準收益率。

步驟2：根據貸款i的初始信用等級，將步驟1中得到的每一個貸款收益xi分別與表2其初始信用等級所在行的等級遷移臨界點Ck,s進行比較，如初始等級為BBB級，則與表2中BBB級所在行第4行進行比較。當第i個貸款收益xi滿足關系Cki,si-1

步驟3：計算信用等級遷移后的貸款收益r。

①當遷移后等級si為非違約等級，則由式(20)可以計算一年末的收益率。②當遷移后等級si為違約等級，則通過式(21)計算貸款收益率。由此，模擬出m筆貸款一年后經過信用等級遷移后的收益率值r1j=(r11，…，r1m)，得到第一次模擬情景的值。

步驟4：重復N次步驟1-步驟3，可模擬出m筆貸款的N種不同情景下的收益值，即：rij=(ri1，ri2，…，rim),i=1,…，N。

步驟5：計算每筆貸款N種情景下收益率的均值uj。

設：uj-第j筆貸款全部N種情景模擬的收益率均值，N-模擬總次數，rij-第i種情景模擬出的第j筆貸款收益率，m-貸款筆數。則[22]：

(24)

步驟6：確定信用遷移后的收益率的變化量Xij。

設：Xij-第i種情景第j筆貸款信用等級遷移后引起的收益率變化量，則[22]：

Xij=rij-uj

(25)

式(25)通過信用等級遷移后貸款收益率rij與收益率均值uj之間的差值Xij，反映信用等級遷移引起的貸款收益變化。

3.4 基于冪風險譜的貸款組合配置模型的構建

3.4.1 目標函數中的主要參數

設：Xi-第i種情景信用等級遷移引起的貸款組合收益變化量，wj-第j筆貸款配置比例。則[22]：

(26)

式(26)的含義：通過上文式(25)中得到的第i種情景第j筆貸款信用等級遷移后收益率變化量Xij，乘以對應貸款配置權重wj，確定信用風險遷移后第i個情景下的貸款組合收益的變化量Xi。當Xi>0，表示情景i的貸款組合收益因信用等級遷移產生了收益。反之，表示因信用遷移產生了損失。

其中，下文式(27)中的Xi:N即為式(26)中所得的收益率變化量Xi由小到大排序后所得值。

式(26)中的rij為信用等級遷移后的貸款利率，通過式(26)將信用等級遷移的風險納入總體風險度量體系之中，從而在總體上對信用風險的不確定性有了較可靠的把握。完善了現有研究中常常忽略信用等級變化風險的不足。

3.4.2 目標函數的確定

以上文式(9)的貸款組合收益的冪風險譜MPSR最小為目標，建立目標函數如下[18]：

(27)

式(27)目標函數的好處：根據給不同貸款組合損失-Xi越大，其風險權重φi也就越大的思路，構建冪風險譜MPSR最小建立非線性規劃的目標函數，使資產配置的最優組合反映的風險厭惡的價值偏好。即彌補了現有研究條件風險價值CVaR[6-9]僅均等看待尾部風險、忽略風險較大的損失應予以更大權重，也同時彌補了現有研究風險價值VaR[2-5]僅提供某一置信水平下資產損失的最大值、無法反映一旦超過這一數值的可能損失的弊端。

3.4.3 約束條件的確定

(1)貸款組合收益大于給定目標收益。

設：u-貸款組合收益，m-貸款個數，uj-第j筆貸款N種情景模擬的收益率均值，wj-第j筆貸款的配置權重，r0-給定目標收益，則[22]：

(28)

(2)權重加和為1。

設：m-貸款個數，wj-貸款的配置權重，則[22]：

(29)

(3)風險集中度約束

設：wj-第j筆貸款的配置權重，則[22]：

0

(30)

式(30)的含義：通過單個資產權重wj小于20%[22]，避免資產過于集中[22]。

以式(27)為目標函數，以式(28)-式(30)為約束，構建基于冪風險譜的貸款優化配置模型。

特點：通過蒙特卡洛模擬信用等級遷移引起貸款收益的變化量Xi。并以信用等級遷移后貸款組合損失越大、則風險厭惡權重越大的思路構建式(27)的冪風險譜PSR最小為目標函數，以貸款組合的收益大于目標收益為約束，構建貸款優化配置模型，同時控制信用風險和尾部極端風險。

4 應用實例

4.1 基礎數據

本文待配置貸款共有12筆，12筆貸款信息如表3所示遠期利率[23]。表5前10行收集了某銀行十年間，與12筆貸款同信用等級、同貸款年限的實際收益率歷史數據。

表3 貸款信息

表4 不同信用等級遠期利率(零息票曲線對應利率)rSi,t[23]

表5 全部貸款的歷史收益率hti(%)

4.2 Monte Carlo模擬貸款收益率

(1)Monte Carlo模擬收益率

步驟1：確定12筆貸款的相關系數矩陣。

(31)

將表5數據代入式(31)得到貸款之間的相關系數，結果如表6所示。用矩陣ρ的形式表示：

(32)

表6 各企業貸款收益率之間的相關系數矩陣ρ=[ρij]m×m

步驟2：隨機生成一組12筆貸款的標準收益率。

令貸款1、…、貸款12的貸款收益率隨機變量分別記為x1、…、x12，且分別服從標準正態分布，x1～N(0,1)，…，x12～N(0,1)。

12個貸款的標準化收益率的聯合分布(x1,x2, …,x12)服從12維的正態分布N(0,Cov)。

其中，12維正態分布N(0,Cov)中0=(0,0,…0)12×1，Cov為12筆貸款的協方差矩陣。12筆貸款的協方差矩陣Cov為式(32)所得相關系數矩陣。

由Matlab軟件中的函數mvnrnd(μ,Cov)可隨機生成服從12維正態分布N(0,Cov)的收益率。第一次隨機生成的12筆貸款的收益率向量為x=(x1，…，x12)T=(-1.601, …, -1.438)T，結果列入表7第1行。

重復本步驟步驟2可以得到表7第2-10000行。

表7 Monte Carlo模擬得到的不同貸款標準化收益率x

步驟3：將步驟2中隨機生成的標準化收益率分別與表2中信用等級遷移臨界點Ck,s進行對照，確定12筆貸款其一年后的信用等級。結果列入表8。

步驟4：信用等級遷移后的貸款收益率的確定。

第1次模擬貸款1時，將貸款利率p1=4.10%、貸款期限T1=3、AA級1年后的遠期利率rAA,1=3.65%、AA級2年后的遠期利率rAA,2=4.22%代入式(20)，則第1次模擬的貸款1的等級遷移后的利率r1,1=3.896%，列入表9第1行第1列。

同理可得剩余11筆貸款信用等級遷移后的收益率，如表9第1行第2-12列所示。

表8 Monte Carlo模擬第一年末時貸款信用等級S

表9 Monte Carlo模擬第一年末時貸款收益rij

表10 信用等級遷移引起的收益變化量Xij

a)重復本步驟步驟4可以得到表9第2-10000行。

應該指出，若信用等級遷移后變為“違約”等級，則根據式(21)計算收益率。

(2)信用等級遷移后貸款收益的變化量Xij。

①確定每筆貸款在10000種情景收益率的均值uj。將表9第1列前10000行代入式(24):u1=(3.896%+…+3.99%)/10000=3.981%。結果列入表9最后一行第1列所示。

同理可以得到其他11筆貸款的收益率均值uj，如表9最后一行第2-12列所示。

②信用等級遷移引起的收益率變化量Xij。將表9第1行第1列r1,1=3.896%、及最后1列u1=3.981%代入式(25)：X1,1= 3.896%-3.981%= -0.085%。結果如表10第1行第1列。得到第1種情景中貸款1因信用等級遷移引起的收益率變化量X1,1= -0.085%<0，表明信用等級遷移后引起損失，表明貸款1信用等級由AAA級遷移到AA級引起損失。

同理可得其他情景中每筆貸款因信用等級遷移引起的收益率變化量Xij，如表10其他行列所示。

4.3 基于冪風險譜的貸款組合優化配置模型

4.3.1 目標函數的確定

(1)信用等級遷移后貸款組合收益變化量Xi。

將表10中的信用等級遷移引起的貸款收益變化量Xij逐行分別代入式(26)中，可得到每一次模擬因信用等級遷移引起總變化量表達式Xi：

(33)

其中，w=(w1,w2,…,w12)表示組合中12筆貸款的配置比例，為待求解變量。

雖然式(33)中的X1,…，X10000含有未知變量wj，但在求解過程中每次給定一組wj，即可確定出式(33)的Xi，將式得到X1,…，X10000由小到大排列后對應的值即為目標函數式(34)中X1:10000,…，X10000:10000。直至式(34)最小時，得到最終的貸款配置比例wj。

因此、下文式(34)中X1:10000,X2:10000,…，X10000:10000是式(33)得到Xi由小到大排列后對應的值。

(2)冪風險譜的風險厭惡權重φi。

通過式(8)確定10000種情景貸款組合收益排序后對應的風險厭惡權重φi，i=1, …，10000。

同理可得φ2，…，φ10000，結果如表11第1行第2-10000列所示。

(3)基于冪風險譜最小的目標函數。

將表11中風險厭惡權重φi代入式(27):

=-(0.01X1:10000+…+0.000050X10000:10000)

(34)

式(34)根據“不同貸款組合的損失-Xi越大，其風險權重φi越大”的思路，以冪風險譜MPSR最小建立非線性規劃模型，使資產配置的最優組合反映的風險厭惡的價值偏好。

4.3.2 約束條件的確定

約束1：貸款組合收益大于給定目標值r0。

將表9最后一行uj值，代入式(28)不等號右側，得到貸款組合收益：

u=3.981%w1+4.475%w2+…+11.836%w12

(35)

再將給定目標收益r0=6.5%[19]，代入式(28)：

3.981%w1+4.475%w2+…+11.836%w12≥r0=6.5%

(36)

約束2：貸款配置比例wj加和為1。根據式(29):

w1+w2+…+w12=1

(37)

約束3：單筆貸款權重wj小于等于20%[19]。

0

(38)

4.3.3 模型的求解

以式(34)為目標函數，以式(36)-(38)為約束，構建基于冪風險譜PSR最小的貸款組合優化模型，通過非線性規劃求解最優資產配置比例w。

求解過程由Matlab實現，求解的貸款配置結果wj如表12第1行前12列所示。

將表12第1行第1-12列代入式(35)得到貸款組合收益0.068，結果列入表12第1行第13列。

將表12第1行第1-12列代入式(33)后求得10000個Xi，將Xi由小到大排序后代入式(34)可求得冪風險譜為0.0101，結果列入表12第1行第14列。

將表12第1行第13、14列，代入“收益/冪風險譜”=0.068/0.101=6.73，表示單位冪風險譜上獲得的收益，結果列入表12第1行第15列。

5 模型的對比分析

5.1 對比模型1

思路：將式(34)中目標函數替換為式(21)的貸款組合收益的風險價值VaR最小，其他約束條件式(36)-(38)不變，構建對比模型1。求解所得貸款配置結果如表12第2行前12列所示。

表11 冪風險譜的風險厭惡權重φi

表12 貸款配置結果

將表12第2行第1-12列代入式(35)得貸款組合收益0.0675，結果列入表12第2行第13列。

將表12第2行第1-12列代入式(33)后求得10000個Xi，將Xi由小到大排序后代入式(34)可求得冪風險譜為0.0197，結果列入表12第2行第14列。

將表12第2行第13、14列，代入“收益/冪風險譜”=0.0675/0.0197=3.43，表示單位冪風險譜上獲得的收益，結果列入表12第2行第15列。

5.2 對比模型2

思路：將式(34)中目標函數替換為貸款組合收益的條件風險價值CVaR式(27)最小，其他約束條件式(36)-(38)不變，構建對比模型2。求解所得貸款配置結果如表12第3行前12列所示。

與上文5.1同理求得貸款組合收益0.0693、冪風險譜為0.0129、“收益/冪風險譜”=0.0693/0.0129=5.37，結果列入表12第3行第13-15列。

5.3 對比結果與分析

由表12可知，表12第1行第1-12列是本模型對于12筆貸款的配置結果，表12第2行是對比模型1用VaR最小為目標函數的貸款配置結果，表12第3行是對比模型2用CVaR最小為目標函數的貸款配置結果。

收益方面，由表12第12列可知，是對比模型2采用CVaR為目標函數時，獲得的收益最大為0.0693。

風險方面，由表12第13列可知，是本模型采用冪風險譜為目標函數時，其風險最小為0.0101。

單位風險的收益，由表12最后一列可知，是本模型采用冪風險譜為目標函數時，其貸款配置結果的單位風險的收益最大為6.73。故本模型為最優模型。

6 結語

(1)本文通過蒙特卡洛模擬信用等級遷移引起貸款收益的變化情景，并以冪風險譜PSR最小為目標函數，以貸款組合的收益大于目標收益為約束，構建貸款優化配置模型。通過冪風險譜PSR、條件風險價值CVaR、風險價值VaR三種模型對比，實證結果表明基于冪風險譜PSR的貸款配置模型在單位冪風險譜下的收益優于條件風險價值CVaR與風險價值VaR的貸款配置模型。

(2)利用冪風險譜來度量資產組合的風險，通過損失-Xi越大、其風險權重?i也就越大的思路，構建冪風險譜PSR最小建立非線性規劃的目標函數，使資產配置的最優組合反映的風險厭惡的價值偏好。即彌補了現有研究條件風險價值CVaR[6-9]僅均等看待尾部風險、忽略風險較大的損失應予以更大權重，也同時彌補了現有研究風險價值VaR[2-5]僅提供某一置信水平下資產損失的最大值、無法反映一旦超過這一數值的可能損失的弊端。

(3)通過蒙特卡洛模擬信用等級遷移引起貸款收益的變化情景，并以信用等級遷移后貸款組合損失越大、則風險厭惡權重越大的思路構建冪風險譜PSR最小為目標函數，以貸款組合的收益大于目標收益為約束，構建貸款優化配置模型，改變了現有研究[2-9]貸款配置時沒有同時控制信用風險和尾部風險的不足。