基于晶格場理論和動態(tài)規(guī)劃的國債期貨定價(jià)研究

馮 玲，雷麗梅,2

(1.福州大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院, 福建 福州 350002；2.福建商學(xué)院，福建 福州 350012)

1 引言

利率從政府管制過渡到由市場的供求決定，如何有效規(guī)避因利率大幅波動所帶來的風(fēng)險(xiǎn)，越來越為市場所重視。而為了順應(yīng)市場的需求，我國于2013年9月宣布重啟國債期貨，宣告了中國國債市場重新進(jìn)入雙邊市場時(shí)代，近幾年，我國的國債期貨市場日益繁榮，種類亦愈豐富，5年期和10年期的國債期貨合約相繼問世，而2年期的國債期貨合約也在2018年8月17日正式掛牌上市。自此，這3種期限的國債期貨合約中規(guī)定的可交割國債的范圍囊括了短、中、長期國債，構(gòu)建與1至10年的時(shí)間跨度的國債收益率曲線相匹配的一系列債券衍產(chǎn)品，將有助于金融機(jī)構(gòu)進(jìn)一步提高利率風(fēng)險(xiǎn)管理能力。但是，一方面以國債為標(biāo)的的各種金融產(chǎn)品定價(jià)的準(zhǔn)確性顯著依賴于一個(gè)精確的遠(yuǎn)期利率模型。另一方面，由于國債期貨是內(nèi)嵌了期權(quán)的期貨產(chǎn)品，如何準(zhǔn)確求解其理論價(jià)格更為復(fù)雜。

在遠(yuǎn)期利率建模方面，雷麗梅和馮玲[1]的研究表明，通過用一個(gè)二維量子場取代傳統(tǒng)金融上的布朗運(yùn)動，可有效納入遠(yuǎn)期利率在到期時(shí)間和日歷時(shí)間兩個(gè)維度上的相關(guān)性，而在其基礎(chǔ)上構(gòu)建的考慮心理感知剩余時(shí)間變量后的最優(yōu)場理論模型，提供了對實(shí)際遠(yuǎn)期利率的92.67%的定價(jià)精度，顯著優(yōu)于傳統(tǒng)金融上只能考慮日歷時(shí)間方向上的相關(guān)性的主流兩因子HJM模型的69.02%的擬合優(yōu)度。因而，在本文的國債期貨定價(jià)過程中，將繼續(xù)運(yùn)用量子場理論來對國債遠(yuǎn)期利率進(jìn)行建模。

而在國債期貨定價(jià)方面，質(zhì)量期權(quán)是國債期貨內(nèi)嵌期權(quán)最重要的一個(gè)組成部分，已成為了大部分學(xué)者的共識。國外如Ritchken和Sankarasubramanian[2]基于遠(yuǎn)期利率隨機(jī)過程、Carr和Chen[3]基于Vasicek模型、Rendleman和Richard[4]基于BDT模型、Nunes和Oliverira[5]基于多因子HJM模型分別提出了相應(yīng)的國債期貨定價(jià)模型，并對質(zhì)量期權(quán)價(jià)值進(jìn)行分析。在同時(shí)考慮擇時(shí)期權(quán)和質(zhì)量期權(quán)價(jià)值方面，Chen等[6]以及Ramzi和Hatem[7]等對此做出了較為經(jīng)典的論述。而國內(nèi)，周子康等[8]研究表明，最便宜可交割券的選擇與國債期貨定價(jià)密切相關(guān)；周榮喜和王曉光[9]基于多因子仿射期限結(jié)構(gòu)模型對國債期貨標(biāo)的——國債的定價(jià)進(jìn)行研究；陳蓉和葛駿[10]則對國債期貨定價(jià)的經(jīng)典模型做了相對完整的綜述。隨后徐靜[11]和王蘇生等[12]基于持有成本模型為國債期貨進(jìn)行了定價(jià)，他們均忽略了國債期貨交易交割規(guī)則內(nèi)嵌的質(zhì)量期權(quán)和擇時(shí)期權(quán)的影響，之后，有學(xué)者開始考慮對國債期貨內(nèi)嵌期權(quán)進(jìn)行定價(jià)后，再對國債期貨合約進(jìn)行定價(jià)。如陳蓉和葛俊[13]基于兩樹拼接改進(jìn)的BDT模型，利用“直接定價(jià)法”和“兩步定價(jià)法”對我國國債期貨及質(zhì)量期權(quán)進(jìn)行定價(jià)。

通過分析國債期貨定價(jià)的相關(guān)文獻(xiàn)可知，在國債期貨定價(jià)方面，考慮內(nèi)嵌期權(quán)的大多數(shù)學(xué)者對國債期貨的定價(jià)通常是利用不同的模型分別對國債的遠(yuǎn)期價(jià)格和質(zhì)量期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，然后將不考慮期權(quán)時(shí)的國債期貨理論結(jié)算價(jià)減去質(zhì)量期權(quán)價(jià)值作為國債期貨的結(jié)算價(jià)。這種定價(jià)方式一方面可能存在由定價(jià)模型不統(tǒng)一帶來的模型誤差問題，另一方面可能忽視了不含權(quán)國債期貨價(jià)格、內(nèi)嵌期權(quán)價(jià)值與考慮內(nèi)嵌期權(quán)價(jià)值的國債期貨價(jià)格三者之間的相互影響的關(guān)聯(lián)性。而雷麗梅和馮玲所構(gòu)建的國債遠(yuǎn)期利率的量子場理論模型以及Hatem等[14]利用動態(tài)規(guī)劃方法為可贖回債券中內(nèi)嵌的贖回期權(quán)定價(jià)的思路，給了我們將晶格場理論下的遠(yuǎn)期利率模型與動態(tài)規(guī)劃方法相結(jié)合來直接對國債期貨及其內(nèi)嵌期權(quán)進(jìn)行定價(jià)的啟發(fā)，本研究正是在雷麗梅和馮玲的研究基礎(chǔ)上，利用動態(tài)規(guī)劃方法將國債期貨的所有交易交割規(guī)則納入一個(gè)模型進(jìn)行建模，實(shí)現(xiàn)了在統(tǒng)一的模型框架下對國債期貨及其內(nèi)嵌的擇時(shí)期權(quán)和質(zhì)量期權(quán)進(jìn)行定價(jià)。

2 遠(yuǎn)期利率的晶格場理論模型

2.1 遠(yuǎn)期利率的量子場理論模型

在構(gòu)建遠(yuǎn)期利率的晶格場理論模型之前，首先需要對雷麗梅和馮玲所構(gòu)建的國債遠(yuǎn)期利率的量子場理論模型作簡單回顧。通過用一個(gè)既依賴于日歷時(shí)間t，也依賴于到期時(shí)間T的二維量子場A(t,T)取代傳統(tǒng)主流兩因子HJM模型中只依賴于日歷時(shí)間的白噪聲W(t)，將國債瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率的演化方程以二維量子場A(t,T)形式表示為：

(1)

其中，f(t0,T)是t0時(shí)刻觀測到的瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率，即初始遠(yuǎn)期利率曲線，α(t,T)和σ(t,T)分別對應(yīng)現(xiàn)實(shí)世界的遠(yuǎn)期利率的漂移率和波動率。

而刻畫瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率演化的拉格朗日算符是由參數(shù)μ和λ來定義的[15]：

(2)

其對應(yīng)的作用量(action)指數(shù)S[A]為：

(3)

其中，μ是刻畫場A(t,T)的“rigidity”參數(shù)，λ刻畫的是遠(yuǎn)期利率曲線的“stiffness”，則稱該理論為剛性作用量下的量子場理論。

而量子場A(t,T)在點(diǎn)(t,T)和(t′,T′)間的相關(guān)性定義為：

〈A(t,T)A(t′,T′)〉=E[A(t,T)A(t′,T′)]

(4)

其中D(T,T′;t)稱為傳播子(propagator)算符，是場A(t,T)在點(diǎn)(t, T)的波動對A(t′,T′)在另一個(gè)點(diǎn)(t′,T′)的波動的影響的度量。δ(t-t′)為狄拉克δ函數(shù)，當(dāng)t≠t′時(shí)，δ(t-t′)=0。

在剛性作用量下的遠(yuǎn)期利率場理論模型中，傳播子(propagator)算符具有如下表達(dá)式：

(5)

其中

g+(θ+)=e-λθ+cosh(b)sinh[b+λθ+sinh(b)];

g-(θ-)=e-λ|θ-|cosh(b)sinh[b+λ|θ-|sinh(b)];

2.2 遠(yuǎn)期利率的晶格場理論模型

遠(yuǎn)期利率的量子場理論是定義在連續(xù)的t—T平面上的梯形域上。為了得到一個(gè)數(shù)值算法，t—T平面被離散化在包含有限個(gè)點(diǎn)的晶格上，日歷時(shí)間t方向被離散化為間隔為εt的晶格上，而未來時(shí)間T方向被離散化為間隔為εT的晶格上。

則由式(2)和(3)可知，連續(xù)日歷時(shí)間t和未來時(shí)間T下的剛性作用量(stiff action)為：

S=

(6)

在實(shí)證中定義的時(shí)間晶格，取t0=0。與日歷時(shí)間一樣，未來時(shí)間均是以向后標(biāo)記的，未來時(shí)間的起點(diǎn)放在回報(bào)函數(shù)。也就是說，離散化連續(xù)的日歷時(shí)間和未來時(shí)間的標(biāo)記(t,T)，以使晶格剩余時(shí)間定義為t*-t，而未來剩余時(shí)間定義為TFR-T，其中TFR是標(biāo)的工具的到期時(shí)間。

給定由T≥t定義的遠(yuǎn)期利率梯形域，并由圖1所示。離散的Tn范圍取決于離散時(shí)間τm，日歷時(shí)間和未來時(shí)間晶格分別間隔ε和a。在到期日t*，未來時(shí)間取N=(T-t*)/a個(gè)晶格點(diǎn)，即對應(yīng)定義的回報(bào)函數(shù)的N個(gè)遠(yuǎn)期利率。

因此，對t∈[0,t*]，離散化的日歷時(shí)間和未來時(shí)間為：

t→τm=(M-m+1)/ε;m=1,2,…,M+1

?0≤τm≤Mε;τ1=t*=Mε;τM+1=0

n=1,2,…,N+m

(7)

圖1 晶格場論遠(yuǎn)期利率的梯形域

為了定義晶格場理論，需要對場f(t,T)和所有參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，以獲得只有無量綱的量出現(xiàn)在晶格場理論下作用量(action)中。定義下列的無量綱的晶格量。

=af((M-m+1)ε,Mε+(N-n+1)a);

由無量綱的量子場變量fm,n可得到下列的離散化：

因此，由式(6)可得到下列完全以無量綱的場變量和參數(shù)的形式表示的晶格作用量：

SL

(8)

對式(8)進(jìn)行分部積分可得：

SL

(9)

(10)

其中fm=(fm1,fm2,…,fm,N+m)，注意到遠(yuǎn)期利率向量fm的成分的個(gè)數(shù)取決于時(shí)間晶格m且有N+m-1個(gè)組成部分；原因在于遠(yuǎn)期利率是定義在T≥t上，它位于晶格上，意味著遠(yuǎn)期利率依賴于τm。

3 基于晶格場理論和動態(tài)規(guī)劃的國債期貨定價(jià)模型構(gòu)建

3.1 我國國債期貨交易交割規(guī)則研究

我國當(dāng)前國債期貨合約，從進(jìn)入最后交割月后至最后交易日，一般可擁有 8到14天的交割選擇期限。按《中金所國債期貨交割細(xì)則》規(guī)定，國債期貨進(jìn)入交割選擇期后，由期貨空方主動提出交割申請，然后交易所依據(jù)“申報(bào)意向優(yōu)先，持倉日最久優(yōu)先，相同持倉日按比例分配”的原則確定買方交割對手，保證所有空方的交割申請都完成交割。

3.2 基本假設(shè)

本節(jié)所構(gòu)建的期貨定價(jià)模型包含以下四個(gè)基本假設(shè)條件：一是不存在交易費(fèi)用；二是市場一直處于出清狀態(tài)；三是投資者保證金充足、不存在被強(qiáng)制平倉的情形；四是可交割券在現(xiàn)券市場上流動性充足，投資者在市場上易于獲得。除此之外，為方便起見，假設(shè)所有的期望都是在遠(yuǎn)期測度下進(jìn)行求解。

3.3 構(gòu)建國債期貨定價(jià)模型

使用動態(tài)規(guī)劃方法來為所有交易交割規(guī)則建模的關(guān)鍵在于，在交割期內(nèi)的任一天，需要分別求出用瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率f和期貨價(jià)格F表示的空方擁有的國債期貨合約的價(jià)值V的表達(dá)式。而我們想獲得的國債期貨的理論價(jià)格應(yīng)該是使期貨合約對于空方的價(jià)值V等于0時(shí)的價(jià)格，即所謂的最優(yōu)結(jié)算價(jià)。

(11)

其中，(c,M)∈Θ表示所有可交割債券的集合Θ中的一個(gè)到期時(shí)間為M、票面利率為c的可交割券；B(n,c,M,f)表示當(dāng)f(n,T)=f時(shí)，n時(shí)刻，到期日為M，在Ti時(shí)刻收到的票面利率為c的面值為P的附息債券的現(xiàn)值，其中i=1,…,N，表示從t時(shí)刻到M時(shí)刻期間的第i次付息；而CFcM表示可交割債券(c,M)對應(yīng)的轉(zhuǎn)換因子。

在交割月份內(nèi)，除了最后交割日，期貨空頭方既可以選擇交割，也可選擇繼續(xù)持有期貨直到下一天來獲取收益，我們稱該收益為持有價(jià)值，用Vh來表示。而正是因?yàn)槠谪浐霞s空方在整個(gè)交割月內(nèi)，在擁有交割價(jià)值的同時(shí)，還擁有持有價(jià)值，因而國債期貨合約對空方的實(shí)際價(jià)值應(yīng)是Ve和Vh兩者的最大值，即當(dāng)Ve小于Vh時(shí)，期貨空方會選擇繼續(xù)持有至第二天，否則選擇當(dāng)天交割。用V表示期貨價(jià)值，則V與Vh和Ve的關(guān)系如式(12)所示：

Vn(F,f)

(12)

而最優(yōu)結(jié)算價(jià)是使得期貨合約價(jià)值為0時(shí)的期貨價(jià)格，用g來表示。則對任意瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率f，第n天的國債期貨最優(yōu)結(jié)算價(jià)gn(x)滿足(13)式：

Vn(gn(f),f)=0

(13)

綜上，可推導(dǎo)出用瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率f和期貨價(jià)格F表示的Vh的公式。Vh表示選擇不進(jìn)行交割、繼續(xù)持有期貨合約而得到的所有未來收益的期望值，即包含持有到第2天的逐日盯市收益和第2天期貨合約具有的期望值。在市場出清的假設(shè)條件下，我們假定第2天的期貨合約的期望價(jià)格是最優(yōu)結(jié)算價(jià)，最終可推得：

(14)

(15)

因而可推出，在進(jìn)入交割月份之前，任意相鄰2天的國債期貨合約的最優(yōu)結(jié)算價(jià)會滿足下面的遞歸方程：

(16)

式(11)至(15)即定義了一個(gè)在交割月份內(nèi)尋求最優(yōu)執(zhí)行策略(何時(shí)選擇何種債券進(jìn)行交割)的動態(tài)規(guī)劃方法。

4 我國國債期貨定價(jià)的實(shí)證分析

4.1 數(shù)據(jù)選取和處理

由于本節(jié)將利用所構(gòu)建的基于晶格場理論和動態(tài)規(guī)劃的國債期貨定價(jià)模型對5年期國債期貨合約TFl703、TFl706、TFl709、TFl712以及10年期國債期貨合約Tl703、Tl706、Tl709和Tl712 八只期貨合約來進(jìn)行實(shí)證檢驗(yàn)，根據(jù)前面構(gòu)建的國債期貨定價(jià)模型，計(jì)算了八只期貨合約自上市之日起的每個(gè)交易日的擇時(shí)期權(quán)和質(zhì)量期權(quán)的理論價(jià)值以及國債期貨的理論結(jié)算價(jià)，且在所有可交割券中，債券代碼為170025.IB的國債到期日時(shí)間最遠(yuǎn)，于2027年11月2日到期。因而，需要計(jì)算2016年6月14日至2017年12月8日期間的每天的最長到期時(shí)間為11.5年的國債瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率的期限結(jié)構(gòu)。為此，本章節(jié)使用的原始數(shù)據(jù)除通過Choice金融終端獲得的2012年6月1日到2016年5月31日的0.1年期、0.2年期、0.3年期……11.4年期以及11.5年期等115個(gè)期限的國債瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率的日數(shù)據(jù)外，還包括八只期貨合約每天的期貨市場結(jié)算價(jià)，以及從Wind查詢得到的每個(gè)期貨合約規(guī)定的一攬子可交割債券的發(fā)行期限、票面利率、起息日期、到期日期、年付息次數(shù)、收盤價(jià)(凈價(jià)、全價(jià))以及轉(zhuǎn)換因子等信息。

4.2 基于晶格場理論確定期貨合約上市期間的利率期限結(jié)構(gòu)

由第4.1節(jié)可知，我們需要對TFl703等8只期貨合約上市期間的遠(yuǎn)期利率期限結(jié)構(gòu)進(jìn)行估計(jì)，其對應(yīng)時(shí)間跨度為2016年6月14日至2017年12月8日。由數(shù)據(jù)的可得性，選取了2012年6月1日至2016年5月31日期間的最小時(shí)間間隔為0.1年的0.1年期、0.2年期……11.4年期以及11.5年期等115個(gè)期限的國債瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率的日數(shù)據(jù)作為估計(jì)窗口，來對第2.2節(jié)構(gòu)建的遠(yuǎn)期利率的晶格場理論模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。

由雷麗梅和馮玲的研究結(jié)果可知，考慮心理感知剩余時(shí)間變量z(θ)的量子場理論模型對國債瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率的擬合和預(yù)測效果均是最優(yōu)的。因而，本節(jié)亦使用該最優(yōu)模型來對遠(yuǎn)期利率進(jìn)行建模，通過1stOpt軟件，使用非線性函數(shù)參數(shù)估計(jì)的Levenberg-Marquardt法得到參數(shù)估計(jì)結(jié)果見表1。

表1 國債遠(yuǎn)期利率的量子場模型參數(shù)的最優(yōu)擬合結(jié)果

圖2 市場相關(guān)性結(jié)構(gòu)

圖3 模型預(yù)測的相關(guān)性結(jié)構(gòu)

比較圖2和圖3可看出：兩個(gè)圖形所表示的相關(guān)性結(jié)構(gòu)幾乎是完全吻合的，即圖2表示的不完全的市場相關(guān)性結(jié)構(gòu)確實(shí)可以有效地通過引入心理感知剩余時(shí)間變量的量子場理論模型來進(jìn)行準(zhǔn)確刻畫。

4.2.1 初始的遠(yuǎn)期利率期限結(jié)構(gòu)

由于選取的8只期貨合約樣本對應(yīng)的時(shí)間跨度為2016年6月14日至2017年12月8日，假定當(dāng)前時(shí)刻為2016年6月1日，即以2016年6月1日的0.1年期、0.2年期……11.4年期以及11.5年期的國債瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率作為初始的遠(yuǎn)期利率期限結(jié)構(gòu)。由于所能獲得的遠(yuǎn)期利率的最小時(shí)間間隔為0.1年，而我們需要的數(shù)據(jù)時(shí)間間隔為1/365年，因而，利用三次樣條插值法確定初始瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率期限結(jié)構(gòu)。

4.2.2 期貨合約上市期間的遠(yuǎn)期利率期限結(jié)構(gòu)

為了對期貨合約樣本進(jìn)行定價(jià)，根據(jù)第2.2節(jié)建立的遠(yuǎn)期利率的晶格場理論模型，且在實(shí)證中，將日歷時(shí)間間隔和未來時(shí)間間隔設(shè)為相等，每一步的時(shí)間間隔設(shè)定為1天，即：

ε=a=1

(17)

由于八只期貨合約上市時(shí)間的對應(yīng)時(shí)間跨度為2016年6月14日至2017年12月8日，共542天。因而，需要估計(jì)這542天的瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率期限結(jié)構(gòu)，其具體步驟如下：

首先，按照雷麗梅和馮玲的思路，將表1中的參數(shù)估計(jì)結(jié)果代入式(5)，并根據(jù)八只期貨合約上市的對應(yīng)期限(542天)將傳播子矩陣進(jìn)行Cholesky分解，得到了更新瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率期限結(jié)構(gòu)所需的下三角矩陣。

其次，將量子場離散化時(shí)，需要設(shè)定式(7)中的初始值。本節(jié)以2016年6月1日作為0時(shí)刻，即以2016年6月1日的瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率期限結(jié)構(gòu)作為，其對應(yīng)的。則以TF1706期貨合約為例(在本節(jié)的余下內(nèi)容中，將全部以TF1706期貨合約為例，進(jìn)行詳細(xì)說明，其他期貨合約的定價(jià)過程與之類似。)，其首上市日和最后交割日分別為2016年9月12日和2017年6月9日，分別與 2016年6月1日間隔103天和373天，即(7)式中的M=270，m=103,104,…,M+103。

而在TF1706上市期間，在所有可交割券中，發(fā)生首次付息時(shí)間最早的是債券代碼為140024.IB的國債，于2016年10月23日發(fā)生首次付息，而債券代碼為120015.IB的國債到期日時(shí)間最遠(yuǎn)，于2022年8月23日到期，分別與2016年6月1日間隔144天和2274天，即(7)式中的。因而，要為TF1706期貨合約定價(jià)，需要求出如表2所示的矩陣式的瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率，其中表示2016年6月1日后第天的剩余到期時(shí)間為(即)天的瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率。而按照類似于雷麗梅和馮玲的思路，利用初始遠(yuǎn)期利率期限結(jié)構(gòu)、表1的參數(shù)估計(jì)結(jié)果和遠(yuǎn)期利率的晶格場理論模型，即可求出2016年9月12日至2017年6月9日期間的181個(gè)交易日的遠(yuǎn)期利率期限結(jié)構(gòu)。

表2 TF1706上市期間對應(yīng)的瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率期限結(jié)構(gòu)

4.3 一攬子可交割國債的期望價(jià)格求解

由前文的分析可知，TFl706期貨合約的上市期間為2016年9月12日至2017年6月9日，此外，通過晶格場理論模型得到該期間內(nèi)的瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率期限結(jié)構(gòu)。即可求出未來回報(bào)為1、到期日為T的零息債券在時(shí)刻的價(jià)格為：

(18)

則t時(shí)刻，到期日為M，在Ti時(shí)刻收到的票面利率為c的面值為P的附息債券的現(xiàn)值為：

(19)

其中i=1,…,N，表示從t時(shí)刻到M時(shí)刻期間的第i次付息。

結(jié)合TF1706上市每一天后的各可交割券的付息(還本)時(shí)間矩陣、現(xiàn)金流矩陣、瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率期限結(jié)構(gòu)矩陣，利用式(18)和式(19)即可求出上市期間TF1706的一攬子可交割國債的期望價(jià)格。此外，也可得出相應(yīng)可交割券的應(yīng)計(jì)利息和凈價(jià)。

4.4 基于晶格場理論和動態(tài)規(guī)劃的國債期貨定價(jià)

根據(jù)第2.2節(jié)建立的國債遠(yuǎn)期利率的晶格場理論模型和第3.3節(jié)利用動態(tài)規(guī)劃方法建立的國債期貨模型，借助Matlab編程，即可計(jì)算出相應(yīng)期貨合約從首日上市交易到最后交易日期間的最優(yōu)結(jié)算價(jià)格。此外，通過修改國債期貨的交易交割規(guī)則，可在同一個(gè)系統(tǒng)框架下直接對各期貨合約的質(zhì)量期權(quán)價(jià)值和擇時(shí)期權(quán)價(jià)值進(jìn)行定價(jià)，如通過將一攬子可交割券的交割規(guī)則修改為只能選擇標(biāo)準(zhǔn)券交割，可求出不含質(zhì)量期權(quán)的國債期貨最優(yōu)結(jié)算價(jià)；通過將最后交割月份的交割時(shí)間選擇規(guī)則修改為只能在最后交割日交割，可求出不含擇時(shí)期權(quán)的國債期貨最優(yōu)結(jié)算價(jià)；然后將原規(guī)則計(jì)算出的最優(yōu)結(jié)算價(jià)分別減去以上的兩種價(jià)格即為質(zhì)量期權(quán)和擇時(shí)期權(quán)的價(jià)值。此外，為了驗(yàn)證晶格場理論下國債期貨定價(jià)的準(zhǔn)確性，除了將其定價(jià)結(jié)果與實(shí)際市場結(jié)算價(jià)進(jìn)行比較外，亦對雷麗梅和馮玲中使用的傳統(tǒng)金融上應(yīng)用最廣泛的兩因子HJM模型下的國債期貨定價(jià)結(jié)果進(jìn)行了對比分析。

類似地，使用非線性函數(shù)參數(shù)估計(jì)的Levenberg-Marquardt法對2012年6月1日至2016年5月31日期間的最小時(shí)間間隔為0.1年的0.1年期、0.2年期……11.4年期以及11.5年期等115個(gè)期限的國債瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率的日數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，得到的兩因子HJM模型的最優(yōu)擬合結(jié)果如表3所示。

表3 兩因子HJM模型下參數(shù)的最優(yōu)擬合結(jié)果

4.4.1 期貨合約的定價(jià)結(jié)果

利用晶格場理論模型和主流兩因子HJM模型計(jì)算出來的TFl703、TFl706、TFl709、TFl712、Tl703、Tl706、Tl709以及Tl712八只期貨合約的理論結(jié)算價(jià)和市場結(jié)算價(jià)分別如圖4至圖11所示，這部分的結(jié)果均由Excel和MATLAB得到。

圖4 TF1703的理論結(jié)算價(jià)和實(shí)際結(jié)算價(jià)

圖5 TF1706理論結(jié)算價(jià)和實(shí)際結(jié)算價(jià)

圖6 TF1709理論結(jié)算價(jià)和實(shí)際結(jié)算價(jià)

圖7 TF1712理論結(jié)算價(jià)和實(shí)際結(jié)算價(jià)

圖8 T1703理論結(jié)算價(jià)和實(shí)際結(jié)算價(jià)

圖9 T1706理論結(jié)算價(jià)和實(shí)際結(jié)算價(jià)

圖10 T1709理論結(jié)算價(jià)和實(shí)際結(jié)算價(jià)

圖11 T1712理論結(jié)算價(jià)和實(shí)際結(jié)算價(jià)

由圖4至圖7可知，我們所構(gòu)建的基于晶格場理論和動態(tài)規(guī)劃方法的國債期貨定價(jià)模型對我國市場上5年期國債期貨的定價(jià)效果顯著優(yōu)于傳統(tǒng)的主流兩因子HJM模型的定價(jià)結(jié)果，且與真實(shí)市場結(jié)算價(jià)的貼合性較強(qiáng)。特別地，在距離最后交割日的前兩、三個(gè)月，我們所構(gòu)建的國債期貨模型的定價(jià)誤差顯著降低，而在臨近交割月份時(shí)，定價(jià)誤差均降至0.05%以內(nèi)；造成這一現(xiàn)象的可能原因在于，一般而言，國債期貨是在其合約到期的前三個(gè)月才成為主力合約，在此之前，相應(yīng)的期貨合約品種的成交量都較小，流動性不強(qiáng)，因而，市場價(jià)格偏離其價(jià)值的概率較大。

此外，我們還發(fā)現(xiàn)，對TF1703、TF1706、TF1709這三只國債期貨而言，其國債期貨價(jià)格整體是被低估的，而對TF1712期貨品種，其國債期貨價(jià)格在剛上市的兩個(gè)月內(nèi)，其價(jià)格也是被低估的，但在2017年5月至最后交割月份，其市場價(jià)格一直存在整體被高估的情形。

而由圖8至圖11亦可看出，我們所構(gòu)建的基于晶格場理論和動態(tài)規(guī)劃方法的國債期貨定價(jià)模型亦適用于對我國市場上10年期國債期貨進(jìn)行定價(jià)，其定價(jià)效果亦顯著優(yōu)于傳統(tǒng)的主流兩因子HJM模型，與真實(shí)市場結(jié)算價(jià)的貼合性較強(qiáng)。與5年期國債期貨的定價(jià)結(jié)果類似，在距離最后交割日的前兩、三個(gè)月，我們所構(gòu)建的國債期貨模型的定價(jià)誤差顯著降低，特別地，對T1709和T1712這兩個(gè)期貨品種而言，其理論結(jié)算價(jià)與真實(shí)市場結(jié)算價(jià)的貼合性很強(qiáng)。此外，我們還發(fā)現(xiàn)，對10年期的4個(gè)期貨品種而言，其國債期貨價(jià)格整體上是被低估。

4.4.2 質(zhì)量期權(quán)和擇時(shí)期權(quán)的定價(jià)結(jié)果

由前文的分析可知，通過將一攬子可交割券的交割規(guī)則修改為只能選擇標(biāo)準(zhǔn)券進(jìn)行交割，利用相同的定價(jià)思路，可求出不含質(zhì)量期權(quán)的國債期貨最優(yōu)結(jié)算價(jià)；通過將最后交割月份的交割時(shí)間選擇規(guī)則修改為只能在最后交割日交割，亦可求出不含擇時(shí)期權(quán)的國債期貨最優(yōu)結(jié)算價(jià)；最后將原規(guī)則計(jì)算出的最優(yōu)結(jié)算價(jià)分別減去上述兩種價(jià)格即可得到相應(yīng)國債期貨的質(zhì)量期權(quán)和擇時(shí)期權(quán)的價(jià)值，其定價(jià)結(jié)果分別如圖12至圖19所示。

圖12 TF1703質(zhì)量期權(quán)和擇時(shí)期權(quán)價(jià)值

圖13 TF1706質(zhì)量期權(quán)和擇時(shí)期權(quán)價(jià)值

圖14 TF1709質(zhì)量期權(quán)和擇時(shí)期權(quán)價(jià)值

圖15 TF1712質(zhì)量期權(quán)和擇時(shí)期權(quán)價(jià)值

由圖12至圖15可知，對5年期國債期貨合約而言，其質(zhì)量期權(quán)的理論價(jià)值均是國債期貨面值的2%至5%之間，這點(diǎn)與Kane和Marcus[16]的研究結(jié)論是一致的；此外，質(zhì)量期權(quán)的價(jià)值在期貨合約上市初始時(shí)，一般較小，約是國債期貨面值的2%，而隨著最后交易日的臨近，尤其在進(jìn)入交割月份后，質(zhì)量期權(quán)價(jià)值迅速增加。此外，我們還發(fā)現(xiàn)，質(zhì)量期權(quán)價(jià)值均顯著大于擇時(shí)期權(quán)價(jià)值，雖然對于大部分時(shí)間而言，擇時(shí)期權(quán)價(jià)值均在0附近，該結(jié)果與大部分研究相符。但是隨著交割月份臨近，擇時(shí)期權(quán)開始迅速上升，最大時(shí)約為期貨合約面值的0.5%，因而，以往國內(nèi)學(xué)者直接假定我國國債期貨合約的擇時(shí)期權(quán)價(jià)值為0是有偏的。

圖16 T1703質(zhì)量期權(quán)和擇時(shí)期權(quán)價(jià)值

圖17 T1706質(zhì)量期權(quán)和擇時(shí)期權(quán)價(jià)值

圖18 T1709質(zhì)量期權(quán)和擇時(shí)期權(quán)價(jià)值

圖19 T1712質(zhì)量期權(quán)和擇時(shí)期權(quán)價(jià)值

由圖16至圖19可知，對10年期國債期貨合約而言，其質(zhì)量期權(quán)的理論價(jià)值總體上略高于5年期國債期貨合約內(nèi)含的質(zhì)量期權(quán)價(jià)值，最大時(shí)，T1709達(dá)到國債期貨面值的6%；此外，與5年期國債期貨類似，質(zhì)量期權(quán)的價(jià)值在期貨合約上市初始時(shí)，一般較小，約是國債期貨面值的2.5%，而隨著最后交易日的臨近，尤其在進(jìn)入交割月份后，質(zhì)量期權(quán)價(jià)值迅速增加。對擇時(shí)期權(quán)而言，其大部分時(shí)間均在0附近，亦隨著交割月份臨近，擇時(shí)期權(quán)開始迅速上升，最大時(shí)約為期貨合約面值的0.6%。

5 結(jié)語

本文在晶格場論下的國債瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率期限結(jié)構(gòu)模型的基礎(chǔ)上，結(jié)合動態(tài)規(guī)劃方法，將國債期貨的所有交易交割規(guī)則納入一個(gè)模型進(jìn)行建模，實(shí)現(xiàn)了在統(tǒng)一的模型框架內(nèi)對國債期貨及其內(nèi)嵌的質(zhì)量期權(quán)和擇時(shí)期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，克服了傳統(tǒng)定價(jià)方式存在的由定價(jià)模型不統(tǒng)一帶來的模型誤差問題。而對TFl703、TFl706、TFl709、TFl712以及Tl703、Tl706、Tl709和Tl712八只期貨合約進(jìn)行的實(shí)證分析，結(jié)果證實(shí)了基于晶格場理論和動態(tài)規(guī)劃的國債期貨定價(jià)模型定價(jià)效果的優(yōu)越性。其結(jié)論主要包括以下兩個(gè)方面：

一是所構(gòu)建的基于晶格場理論和動態(tài)規(guī)劃方法的國債期貨定價(jià)模型適用于對我國市場上的5年期和10年期國債期貨進(jìn)行定價(jià)，且其定價(jià)效果均顯著優(yōu)于傳統(tǒng)的主流兩因子HJM模型，與真實(shí)市場結(jié)算價(jià)的貼合性均很強(qiáng)，其平均定價(jià)誤差均在3%以內(nèi)。而各國債期貨合約的質(zhì)量期權(quán)價(jià)值都在其期貨面值的2%至6%之間，所有合約的擇時(shí)期權(quán)價(jià)值均明顯小于質(zhì)量期權(quán)價(jià)值，其大部分時(shí)間都在 0 附近，但在臨近交割日之前，無論是質(zhì)量期權(quán)還是擇時(shí)期權(quán)都表現(xiàn)出迅速上升的趨勢；

二是在期貨合約開始(即距離合約最后交易日較遠(yuǎn))時(shí)，基于晶格場理論和動態(tài)規(guī)劃方法建立的國債期貨定價(jià)模型，所得到的理論最優(yōu)結(jié)算價(jià)與實(shí)際結(jié)算價(jià)之間的誤差時(shí)較大，但這種誤差隨最后交易日臨近而明顯縮小。從TFl703到Tl712的理論最優(yōu)結(jié)算價(jià)和市場結(jié)算價(jià)的走勢可發(fā)現(xiàn)，在國債期貨合約成為主力合約后，其市場價(jià)格隨交易量的放大而快速趨于均衡，即本研究所構(gòu)建的國債期貨定價(jià)模型較好地刻畫了這一市場特征。