力的平行四邊形法則證明探索

劉鋒

摘 要：兩個力合成時，以表示這兩個力的線段為鄰邊作平行四邊形，這兩個鄰邊之間的對角線就代表合力的大小和方向，這就叫做平行四邊形定則，它如同慣性定律一樣，這是一條永遠無法用實驗完美證明的定則。只是隨著矢量及其所遵循的運算定則的確立，力、位移、速度等被納入力的矢量體系，以及運動的獨立性、力的獨立作用原理和物體在摩擦力下運動的動力機制被揭示，人們才從邏輯上接受了這一定則，本文通過具體的圖形公式演算對力的平行四邊形法則進行分析，從而提升自我科學思維和實驗探究兩方面的素養。

關鍵詞：力的平行四邊形法則;證明;矢量

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1671-2064（2019）23-0252-02

我是在北京二龍路中學讀的初中和高中，記得我們的物理老師肖老先生，在給我們講到力的合成與分解時說過：力的平行四邊形法則是經實踐檢驗且科學界公認的公理，但是卻一直沒有理論證明，如果同學們有興趣今后可以去研究一下。帶著老師的這句話84年考入了大學，在大學期間，茶余飯后也常常思考這個問題，但思路上始終沒有突破，無法走通。但是在大一期間的一天臨睡覺前，腦海中突然出現了如下所述的證明思路，并連夜記錄下來。本文是2017年整理修改后的稿件.這只能算是對“平行四邊形法則”一種證明思路的探討，未必嚴謹也未必正確。歡迎各界朋友批評指正，共同探討。以下是正文：

首先請我們來分析這樣一個事實：當我們把一個直三棱柱體浸入某種液體中，并使其一個側面與液面重合。這時，毫無疑問該物體受到了垂直向上的浮力。并且這一浮力很顯然是由浸入液體中的各個側面所受到的液體壓力所造成的。即我們應該這樣認為：浸入液體中的各個側面所受到的液體壓力即為該物體所受到的各個分力，而這些分力綜合作用的結果，最終產生了向上的浮力，即各個分力的合力。

有了這樣的認識我們就可以運用已知的數學及物理學知識來分析各個力的大小及方向，推導它們之間的聯系及遵循的一般規律。

下面的圖形表述了一個直三棱柱體浸于液體中并使其一個側面與液面重合的情況，如圖1。

不難看出，事實上該三棱柱體，有四個面浸入到液體中并受到液體壓力的作用。面ABBA受到力c的作用，面ACB受到力Q的作用，面ACCA受到力b的作用，面ACB受到力Q的作用。

很顯然，由于該物體為直三棱柱體，力Q與Q大小相等方向相反，且作用于一條直線上，因此二力抵消，等效合力為零。

至此我們可以認為如果該物體所受到的浮力為f，那么f只能是力b與力c共同作用的結果，即f為合力，b、c為分力。

那么這三個力之間是怎樣的一種關系呢？為了便于分析我們把上面的立體示意圖改畫為下面的平面圖，如圖2。

任意三角形ABC為直三棱柱體的垂直截面。直三棱柱體的長度我們假定為l。即AA'=BB'=CC'=l。根據流體力學，AB側面與AC側面所受到的壓力是與該側面垂直的。故ob⊥AC、oc⊥AB。力b與力c的大小應該等于相應側受到的壓強與面積相乘，因為壓強與深度成正比，因而壓強的大小是呈線性連續變化的，故而AB與AC面的平均壓強可以用AB與AC的中點C1、B1點的壓強代替。下面來計算AB與AC兩個側面所受到的液體壓力：

當人們任意給定有相同作用點的兩個力時，如b1，c1兩個力的大小由b1，c1的長度代表，力的夾角為任意夾角α。我們總能找到一個直三棱柱體a、b、c為截面邊長，只要使其a面與液面重合。且令。則總能將任意大小，任意夾角的兩個力納入這個浸入液體的直三棱柱的體系中，并由這個體系表達出來，如圖3圖4所示。

又因為兩個力的合力是唯一的，因此我們通過以上的證明完全可以得出這樣的結論：

如果有兩個任意大小任意方向的力作用于一點，用有向線段的長度和方向代表這兩個力的話，那么它們的合力（等效力）的大小和方向可以用從分力的共同作用點出發的，以二分力為臨邊所做的平行四邊形的對角線來表示，對角線的長度代表合力的大小，對角線的方向代表合力的方向。

而這正是力的平行四邊形法則所表述的內容。

參考文獻

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