高低軌雙星時頻模糊雷達信號的頻差估計算法

姚山峰，賀 青，夏暢雄，歐陽鑫信

(盲信號處理重點實驗室，成都 610041)

0 引 言

高低軌雙星定位技術是一種以低軌衛星與同步衛星組合，形成雙星時/頻差定位條件、實現目標輻射源定位的技術[1]。高低軌雙星定位系統綜合了低軌電子偵察衛星與同步電子偵察衛星的優勢，具有偵察時間長、覆蓋范圍大、定位精度高、在軌衛星資源豐富等特點。通過低軌衛星與同步衛星組合大大增加了基線長度，改善了定位幾何，可以在整個低軌衛星覆蓋區域內獲得很高的定位精度。然而，對于雷達脈沖信號，基線拉長以后，將會擴大到達時間差(Differential Time Offset, DTO)取值范圍，當脈沖重復間隔(Pulse Repetition Interval, PRI)小于時差取值范圍時會導致時差估計出現模糊，脈沖重復頻率(Pulse Repetition Frequency, PRF)越高，時差模糊越嚴重。同時，由于低軌衛星高速運動使得高低軌組合定位的多普勒頻移差(Differential Frequency Offset, DFO)取值范圍很大[2]，當PRF小于頻差取值范圍時會導致頻差估計出現模糊，PRF越小，頻差估計越嚴重。也就是說，無模糊的時差估計，要求目標信號為低脈沖重復頻率(Low PRF, LPRF)信號，PRI必須大于時差取值范圍；無模糊的頻差估計，要求目標信號為高脈沖重復頻率(High PRF, HPRF)信號，PRF必須大于頻差取值范圍。不幸的是，在實際應用中，高低軌雙星定位系統接收到的絕大多數雷達信號同時存在著時/頻差模糊，這嚴重制約了系統的定位能力。

已有大量文獻對HPRF信號帶來的時差定位模糊問題開展了研究[3-8]。文獻[4]推導給出了脈沖串信號的模糊特性，針對HPRF雷達信號，提出利用無模糊的頻差與頻差變化率進行粗定位來消除時差模糊。文獻[5]依據真實目標位置在短時間內不可能突變的原理，通過多次測量，每隔一定時間依據定位點的均方差變化對定位點的發散程度進行檢測，將發散情況明顯的定位點逐一去除，消除模糊定位點。文獻[6]針對目標勻速運動模型提出利用脈沖間隔增量的方法解運動目標時差定位模糊，這種方法依據目標運動引起的脈沖到達時間間隔的微小增量，解出目標的位移矢量，以區分虛假定位點。文獻[7]通過在主站增加高精度的測向設備，綜合利用時差與測向結果，根據計算每個時差定位點和測向定位點之間距離，通過距離門限篩選真實的定位點，并對處理后剩下的多個定位點，通過多次測量利用位置的發散性進行后續處理來消除定位模糊。文獻[8]運用直方圖計算HPRF信號的不同參差頻率和對應的模糊時差，并在此基礎上進行時差組合，然后對不同參差頻率下的時差進行相關運算，最終得出真實的時差。這些方法主要針對無頻差模糊的HPRF雷達信號，應用于地面時差定位與低軌編隊衛星定位系統中，未考慮時差、頻差同時出現模糊的情況。然而，在高低軌雙星定位系統中，除了時差模糊之外還存在著頻差模糊。

本文首先給出了高低軌雙星定位系統的時/頻差分布情況，分析了時差/頻差模糊特性；提出了一種適用于高低軌雙星時/頻差定位系統中的頻差模糊消除算法，該算法避免了對時域高度模糊的脈沖進行復雜配對的難題，便于工程實現；最后，通過Monte-Carlo仿真將本文算法性能與理論CRLB[9]進行了對比分析，給出了算法的適用條件；結果表明，在適用范圍內，本文算法可以得到無模糊的頻差估計結果，估計精度逼近CRLB。

1 時差/頻差模糊特性分析

1.1 時/頻差分布

高低軌雙星定位原理與低軌雙星定位原理一樣，只是將衛星組合由編隊飛行的兩顆低軌衛星更換為一顆同步軌道衛星與一顆低軌衛星[10]：由于傳輸路徑的不同，兩顆衛星接收到的信號具有不同的時延，形成到達時間差；同時，由于兩顆衛星在目標輻射源徑向方向上的速度不同，形成多普勒頻移差。由某一個時差值可確定一個回轉雙曲面，與地球表面可相交出一條時差線；同理，頻差測量結果也可與地球表面相交出一條頻差線。時差線與頻差線的交點即為目標位置。

圖1給出了當高低軌衛星組合分別選擇170°E同步衛星與軌道高度為700 km的低軌衛星，輻射源信號載頻分別為500 MHz與10 GHz時，某一時刻高低軌組合雙星接收信號之間的時差值與頻差值在地球表面的分布圖。圖中時差單位為ms，頻差單位為kHz。

圖1 時/頻差分布圖Fig.1 Contour of DTO/DFO

可以看出，在當前衛星組合條件下，覆蓋區域內的時差取值區間約為236.8～255.8 ms，時差變化范圍約為19 ms；當信號載頻為500 MHz時，頻差取值范圍約為±11 kHz；當信號載頻為10 GHz時，頻差取值范圍約為±227 kHz。

1.2 模糊分析

1.2.1時差模糊

時差模糊現象可以通過脈沖配對出現模糊進行說明。對于地面輻射源發出的脈沖串信號，LEO將會首先接收到某一個脈沖，而GEO將會在236.8～255.8 ms之后才會接收到這個脈沖。如果PRI很大(PRF很小)，則在LEO接收到信號之后的236.8～255.8 ms區間內只會出現一個脈沖，如圖2(a)所示。此時，通過GEO接收脈沖的到達時間減去LEO接收脈沖的到達時間即可獲得時差，時差估計不會出現模糊。然而，如果目標輻射源發射信號的PRI變小(即PRF變大)，則在LEO接收到信號之后的236.8 ～255.8 ms時延區間內將會出現多個脈沖，如圖2(b)、(c)所示，此時無法確定由哪一個GEO接收到的脈沖與LEO接收到的脈沖配對，時差估計將會出現模糊。對比圖2(b)、(c)還可以看出，PRI越小，也就是PRF越大，模糊情況越嚴重。

圖2 時差估計模糊示意圖Fig.2 Schematic diagram of DTO ambiguity

在當前衛星組合條件下，當目標信號PRI小于19 ms，即PRF大于53 Hz時，時差估計將出現模糊。

1.2.2頻差模糊

頻差模糊現象可以通過模糊函數零時延切面對應的速度模糊函數加以說明。根據相參脈沖串的模糊函數表達式[11]，距離模糊函數|χ(τ,0)|相當于單脈沖的距離模糊函數按脈沖串的PRI周期重復，并由總體三角函數進行加權；速度模糊函數|χ(0,ξ)|由單脈沖速度模糊函數與加權函數組成，單脈沖速度模糊函數為標準sinc函數，第一零點位于1/tp處，加權函數為asinc函數，第一零點位于1/NTr處，并以PRF為間隔進行重復。其中，tp為信號脈沖寬度，Tr為信號PRI，N為積累脈沖個數。

圖3分別給出了PRF為300 Hz與10 kHz時，脈沖串信號的速度模糊函數。

圖3 模糊函數頻差切面圖Fig.3 DFO cut of CAF

對于脈沖串信號，由于其速度模糊函數存在多個多普勒峰，PRF越小，多普勒峰之間的間隔越小。實際應用中，受噪聲與分辨率的影響，在搜索最大峰值時，有可能搜索到其他的多普勒峰上，導致頻差估計出現模糊。模糊多普勒峰間隔與信號的PRF有關，PRF越小，模糊多普勒峰間隔越小，模糊情況越嚴重。

具體到高低軌時/頻差定位系統中，載頻為500 MHz時的頻差取值范圍約為±11 kHz，當目標信號PRF小于22 kHz時，頻差估計將出現模糊；載頻為10 GHz時的頻差取值范圍約為±227 kHz，當目標信號PRF小于454 kHz時，頻差估計將出現模糊。高低軌雙星定位中關注雷達信號的PRF主要集中在300 Hz～10 kHz范圍內，對其進行時/頻差估計時，受噪聲污染以后必然會得到模糊的估計結果。

2 頻差模糊消除算法

在低軌雙星定位系統中，消除頻差模糊是通過分時時差差分算法實現的：首先利用包絡檢波法或互模糊函數法獲得高精度的時差測量值，通過對高精度的時差進行中心差分獲得無模糊的頻差粗值，再在無模糊的頻差相關峰附近進行高分辨搜索，得到高精度的頻差估計值[12]。其前提條件是時差估計較為準確，且不存在時差模糊現象，時差估計精度越高越有利于獲得無模糊的頻差粗值。

而在高低軌雙星定位系統中，時差、頻差會同時出現模糊，之前的頻差模糊消除算法不再適用，下面將研究適用于高低軌雙星時/頻差定位系統的頻差模糊消除算法。

2.1 算法原理

假設目標輻射源從t0時刻開始以載頻fc發射脈沖串信號，脈沖序號分別為1,2,…,N，低軌衛星接收到第i個脈沖的時間為

(1)

式中，RLEO,i表示發射第i個脈沖時目標與低軌衛星之間的距離，c為光速。高軌衛星接收到第j個脈沖的時間為

(2)

式中，RGEO,j表示發射第j個脈沖時目標與高軌衛星之間的距離。于是，這兩個脈沖之間的時差為

(3)

對時間求導，可得

(4)

式中：vLEO,i為第i個脈沖發射時刻低軌衛星的速度矢量，uLEO,i為此時目標到低軌衛星的單位距離矢量；vGEO,j為第j個脈沖發射時刻高軌衛星的速度矢量，uGEO,j為此時目標到高軌衛星的單位距離矢量。

可以看出，式(3)中，第i個低軌脈沖與第j個高軌脈沖之間的PRI間隔時長(i-j)Tr經過求導以后被消除了。也就是說，即使第i個低軌脈沖與第j個高軌脈沖之間存在著周期模糊，經過時間求導以后，也能將周期模糊消除。

由衛星與目標輻射源之間相對運動產生的多普勒頻移為

(5)

代入式(4)，可得

(6)

可以看出，兩個脈沖之間時差的導數與第i個脈沖發射時刻低軌衛星的多普勒頻率fd-LEO,i，以及第j個脈沖發射時刻高軌衛星的多普勒頻率fd-GEO,j有關。

在高低軌雙星時/頻差定位系統中，高軌衛星位于地球同步軌道，相對地面來說，衛星運動較小，接收信號產生的多普勒頻率不大。因此高低軌組合中的頻差信息主要來源于低軌衛星的運動，低軌衛星接收信號產生的多普勒頻率是高低軌組合信號頻差的主要貢獻成分，如圖4所示。

圖4 高低軌頻差變化曲線Fig.4 Curve of DFO in GEO-LEO Dual-satellites geolocation system

可以看出，高軌衛星的多普勒頻率遠小于低軌衛星的多普勒頻率，并且高軌衛星的多普勒頻率變化比較緩慢，在一定時間范圍內，可近乎認為是相等的。在這種條件下，式(6)可近似為

(7)

式(7)即為高低軌雙星時/頻差定位系統中消除頻差模糊的基本思路，即對于低軌衛星接收到的第i個脈沖，該脈沖與高軌衛星接收到同一脈沖之間的頻差粗值可由時差的變化率求得。需要特別指出的是，此時與低軌衛星第i個脈沖到達時間tLEO,i計算時差的高軌衛星第j個接收脈沖不一定是目標輻射源發出的同一個脈沖。也就是說，這種方法不需要脈沖配對，即準確找出低軌衛星接收到的第i個脈沖所對應的高軌衛星接收信號中的同一個發射脈沖。通常，由于時差的模糊特性，對雙星接收到的脈沖進行準確的一一配對是很難實現的。因此，本文算法規避了脈沖配對這一極度復雜的難題，便于工程實現。

在實際工作中，求導可以由差分運算近似。假設低軌衛星接收到第i+m個脈沖的時間為

(8)

高軌衛星接收到第j+m個脈沖的時間為

(9)

兩個脈沖之間的時差為

τi+m,j+m=tLEO,i+m-tGEO,j+m=(i-j)Tr+

(10)

根據式(7)，利用差分公式，有

(11)

根據式(11)可以看出，頻差粗值的計算精度與信號載頻fc、脈沖到達時間測量精度σt、差分時間間隔ΔT等因素有關[12]：

(12)

前文已經分析指出，高軌衛星的多普勒頻率變化比較緩慢，在一定時間范圍內，可近乎認為是相等的。因此，在計算高低軌時差變化率時，高軌衛星接收信號的脈沖可以在時差范圍內隨意選取，而不必準確選擇高軌衛星接收到的同一個脈沖，也就是說不需要對低軌脈沖與高軌脈沖進行準確配對，這在實際應用中非常方便。不過需要補充說明的是，每一次選擇的規則必須一致，才能保證時差變化率不會產生跳變。本文算法的脈沖選擇規則是，在低軌衛星接收信號中選取序號為i,i+1,i+2,…的脈沖，與高軌衛星接收序號分別為j,j+1,j+2,…的脈沖進行粗略配對；然后分別依次求取兩個脈沖的時差，利用兩個時差值根據式(11)的差分公式計算頻差粗估值；最后再在頻差粗估值附近進行高分辨的插值搜索頻域相關峰，得到高精度無模糊的頻差精估值。基本步驟如下：

步驟1：根據低軌衛星與高軌衛星接收信號的分選結果獲取兩路脈沖串信號的到達時間信息；

步驟2：從某一個時刻開始，依次選擇低軌衛星接收到的脈沖PLEO,i,PLEO,i+1,PLEO,i+2，…，PLEO,i+N-1，高軌衛星接收到的脈沖PGEO,j,PGEO,j+1,PGEO,j+2,…，PGEO,j+N-1進行粗略配對；

步驟3：依次利用低軌脈沖到達時間減去高軌脈沖到達時間獲得時差序列τi,j,τi+1,j+1,τi+2,j+2，…，τi+N-1,j+N-1；

步驟4：利用式(11)計算頻差粗值；

步驟5：利用互模糊函數時/頻差聯合估計算法，在頻差粗值附近進行高分辨搜索，得到無模糊高精度的頻差估計值。

2.2 計算量分析

本文算法主要由上節所述五個步驟組成，其中主要的運算集中在第三步與第五步中。

第三步將N個低軌脈沖的到達時間減去對應的高軌脈沖到達時間，以獲得N個時差，此步驟需要N次實數減法運算。

第五步利用互模糊函數法進行頻差精估。首先對兩路信號進行共軛相乘得到混合積信號，假設信號采樣點數為M，則需要M次復乘運算；然后求取混合積信號的DFT獲得相關函數，如果采用FFT算法計算需要Mlog2M次復乘運算。由于信號采樣點數遠遠大于脈沖個數，即M?N，因此本文算法的計算量主要由第五步互模糊函數時/頻差聯合估計算法貢獻，在現有的處理能力下，能夠實現實時處理。

3 仿真分析

仿真中，首先給出了由時差差分獲得的頻差粗值與頻差真實值之間的對比圖。其中，圖5(a)仿真了低軌衛星過境時間內，輻射源載頻為500 MHz，脈沖到達時間測量精度為50 ns，差分時間間隔分別為0.1 s與1 s時的頻差粗值；圖5(b)對應的輻射源載頻為10 GHz，差分時間間隔為1 s。

圖5 頻差粗值變化曲線Fig.5 Curve of coarse DFO

圖5表明，由時差差分獲得的頻差粗值與頻差真實值的變化規律一致，不過受脈沖到達時間測量誤差的影響，頻差粗值在頻差真實值附近抖動。對于載頻為500 MHz的目標輻射源，差分間隔為0.1 s/1 s時的頻差粗值精度為503 Hz/52 Hz(理論值為500 Hz/50 Hz)；對于載頻為10 GHz的目標輻射源，差分間隔為1 s時的頻差粗值精度為1057 Hz(理論值為1000 Hz)。兩者與理論值基本一致。變化規律上，隨著載頻的增加、到達時間測量誤差的增大、差分間隔的減小，頻差粗值估計誤差隨之增大，與式(12)吻合。

下面在典型的高低軌雙星定位應用場景中，對本文算法的頻差估計性能進行了1000次Monte-Carlo仿真測試。其中，雙星接收信號信噪比為15 dB，到達時間測量精度為50 ns，頻差精估積累時間為30 ms。圖6給出了不同PRF下的模糊度變化曲線[12]，圖7為頻差估計精度曲線。

圖6 頻差估計模糊度曲線Fig.6 Degree of DFO ambiguity under different PRF

由圖6可以看出，相同條件下PRF越低模糊度越高。對于載頻為500 MHz的輻射源，無模糊頻差估計在差分間隔為1 s時要求PRF高于370 Hz；在差分間隔為0.1 s時要求PRF高于3200 Hz。對于載頻為10 GHz的輻射源，無模糊頻差估計在差分間隔為1 s時要求PRF高于6200 Hz；在差分間隔為0.1 s時，無法獲得無模糊的頻差估計值。

圖7 頻差估計性能曲線Fig.7 Performance curve of DFO estimation

結合圖6、圖7可以看出，頻差估計精度隨著PRF的增加而提高，當頻差估計模糊度為零以后，頻差估計精度逼近CRLB。時差差分間隔為1 s時，對載頻為500 MHz的輻射源，PRF高于370 Hz時可以獲得無模糊的頻差估計結果，估計精度為74 mHz；對載頻為10 GHz的輻射源，PRF高于6.2 kHz時可以獲得無模糊的頻差估計結果，估計精度為10 mHz；時差差分間隔為0.1 s時，對載頻為500 MHz的輻射源，PRF高于3.2 kHz時可以獲得無模糊的頻差估計結果，估計精度為15 mHz。

4 結 論

本文針對高低軌雙星定位系統定位雷達脈沖串信號時同時存在時/頻差模糊的問題，提出依次求取未配對的兩組脈沖串中每對脈沖的時差，通過對時差進行差分計算得到消除了頻差模糊頻差粗估值的方法，該算法通過設置合理的差分間隔，得到無模糊的頻差粗值利用無模糊的頻差粗值進行頻差精確估計精度逼近CRLB，避免了對時域高度模糊的脈沖進行配對的難題，便于工程實現。這有助于解決目前高低軌雙星定位系統中雷達信號時/頻差定位面臨的瓶頸問題，提升系統的定位能力。