基于壽命周期費用的系統可靠性與維修性關系研究*

潘洪亮 徐 曌,2 唐少強

(1. 同濟大學國家磁浮交通工程技術研究中心， 201804， 上海；2. 同濟大學道路與交通工程教育部重點實驗室， 201804， 上海//第一作者，副研究員)

系統的可靠性和維修直接影響系統的可用性和壽命周期費用。因此，需以可用性為目標進行可靠性與維修性的綜合權衡，并獲取最優壽命周期費用效能，使系統在穩定運行前提下擁有最低的系統壽命周期費用。

1 可靠性與維修性的權衡分析

可靠性與維修性的權衡分析以可用性為目標。假設系統具有穩定可靠性R(t)，是單一總成或嚴格串聯的[1]。系統在t= 0時以可使用狀態開始工作，在t時刻仍處于可使用狀態(即刻可以工作)的有效度為A(t)，則由更新方程(renewal equation)，有:

(1)

式中:

R(t)——系統可靠度,以至t時刻為止無故障的概率表示；

n(t)——系統的更新率(renewal rate)，即當系統進行一系列運轉-故障-修理-再運轉循環時，其進入“運轉”狀態的比率。

(2)

式中：

h(t)——失效前時間與修復時間之和的聯合概率密度函數。

若用g(t)表示失效前時間(即“工作”時間)的概率密度函數，用f(t)表示修復時間(即“停機”時間)的概率密度函數, 則通過g(t)與f(t)的卷積可得到h(t):

(3)

假設其系統有

g(t)=λexp(-λt)

(4)

f(t)=μexp(-μt)

(5)

式中:

λ——故障率；

μ——修復率。

對式(1)～(5)取拉普拉斯變換，得：

A(s)=R(s)+R(s)n(s)

(6)

n(s)=h(s)+h(s)n(s)

(7)

h(s)=g(s)f(s)

(8)

把式(8)代入式(7)，得：

n(s)=g(s)f(s)/[1-g(s)f(s)]

(9)

再將式(9)代入式(6)，并用概率密度函數g(s)來表達R(s)，有：

R(s)=[1-g(s)]/s

(10)

故式(6)可轉變為：

A(s)=[1-g(s)]/{s[1-f(s)g(s)]}

(11)

因為密度函數g(t)與f(t)的拉普拉斯變換是：

(12)

把式(12)代入式(11)，并變換為時間定義域，得：

A(t)=μ/(λ+μ)+

[λ/(λ+μ)]exp[-(λ+μ)t]

(13)

也可用平均故障間隔時間(tMTBF)和平均維修時間(tMTTR)來表示：

(14)

由式(14)可見，當t增加時，式(14)右邊的第二項逐漸減小，有效度趨近其極限成為常數，即

(15)

通過式(15)即可進行磁浮列車懸浮系統的維修性與可靠性的綜合權衡分析。

依據長沙磁浮列車現場狀況，假設懸浮系統tMTBF最小值為400 h，tMTTR最大值為6 h。A依次取0.970,0.980,0.990,0.995,0.999，計算tMTBF與tMTTR的關系，并指出當tMTBF>400 h，tMTTR<6 h時，符合要求的tMTBF與tMTTR的綜合權衡范圍(見圖1)。

圖1 可靠性與維修性權衡分析范圍

2 系統壽命周期費用計算模型的建立

壽命周期費用(CLC)是系統在預期的壽命周期內，為其論證、研制、生產、使用與保障以及退役處理所支付的所有費用之和[2]。CLC涉及經濟，技術，管理多方面學科的理論研究，可覆蓋系統從決策論證、設計、生產試驗、使用、后期維護直至報廢處理的整個壽命周期產生的費用，也可針對系統壽命周期的某階段費用進行分析研究。通過CLC的分解、預測和評價，可實現對CLC的優化和方案的取舍[3]。可見，CLC是一個極其重要的經濟性量化指標，為系統的設計、選擇、使用及報廢提供了決策依據[4]。

系統都是以實現一定的功能為目的。影響到系統實際功能的各種因素，就是影響系統CLC的因素。系統的實際功能由其技術性能及可用性決定。因此，影響系統技術性能及可用性的因素也就是影響系統CLC的因素。圖2為CLC的影響因素。

在系統壽命周期分析的基礎上，可以建立費用計算模型如下：

CLC=C0+Cos+Cdr+Cf

(16)

式中：

C0——原始投資費用，包括調研、研制及生產制造等費用；

Cos——運行費用，包括能耗、人工等費用；

Cdr——退役處理費；

Cf——維修保障費用。

Cos與Cdr為常數，可由經驗得到。C0與Cf由可靠性和維修性決定。

圖2 CLC影響因素

2.1 原始投資費用C0

系統的造價C0與R的關系可以歸結為系統中各單元的造價與可靠度之間的函數關系。系統中單元i的造價Ci與可靠度Ri關系難以建立，其原因為：① 缺乏足夠的統計數據；② 對任何單元都有效的函數關系式是不可能存在的，單元材料、型式有多種選擇和組合，而Ci與Ri都同材料、型式有關，故當單元采用不同材料和型式時其Ci與Ri的關系也不會相同；③ 影響Ci與Ri關系的因素很多，除材料和型式外，還有加工質量、環境、生產力發展水平和人力物力資源等。因此,嚴格說來,Ci與Ri的關系不是一一對應的[5]。

為此，定義Ci與Ri的關系為：Ri達到某一值所需的最小造價，或在Ci一定時把該費用充分用于提高其可靠度所達到的最大Ri。

有關Ci與Ri關系的公開發表文獻很少見到。文獻[6]指出，CiRi具有下列基本性質：1個低可靠度單元的成本較低，1個高可靠度單元的成本很高；C1對Ri的導數是1個單調遞增函數。根據經驗有：

(17)

式中：

ai——待定經驗參數，無量綱量；

bi——R趨于0時的系統造價。

ai決定曲線的趨勢，ai值愈小，C(R) 曲線前段的坡度愈平，而后段愈陡。

對于磁浮交通系統，適用于指數分布。將Ri=1-λ=1-1/tMTBF代入式(17)得：

C0=Σ(ailn (tMTBF)+bi)

(18)

C0與tMTBF的函數關系如圖3所示。

圖3 C0與tMTBF關系圖

2.2 維修保障費用Cf

Cf一般占CLC的60%以上，尤為重要。而保障費用是Cf的主要費用來源。由文獻[7]，有

Cf=CaLt/tMTBF

(19)

式中：

Lt——系統壽命周期；

Ca——每次故障平均費用。而且

Ca=Cs(tMTTR+tr)+CrtMTTR+Crp

(20)

式中：

tMTTR——平均維修時間；

Cs——單位時間停機損失;

tr——維修等待時間;

Cr——單位時間維修費用;

Crp——維修零件費用。

將式(20)代入式(19)，有

(21)

結合式(16)可得:

CLC=Cos+Cdr+Σ(ailn (tMTBF)+bi)+

(22)

為權衡tMTBF和tMTTR的取值，考慮到Cos、Cdr、bi為常數，對取值沒有影響，因此對C0+Cf取最小即可得最小CLCo且

C0+Cf=Σailn (tMTBF)+

(23)

CLC與tMTBF的關系如圖4所示。

圖4 CLC與tMTBF的關系

3 算例分析

根據系統CLC計算模型，結合可用度進行可靠性與維修性權衡分析，以中低速磁浮列車懸浮系統為例對其CLC進行計算。

中低速磁浮列車依靠列車下部懸浮架上安裝的懸浮電磁鐵通電后與軌道F形磁極面之間產生的電磁吸力，從而實現懸浮。中低速磁浮列車的懸浮系統極為重要，關系到磁浮列車的正常運行[8]。

根據現場情況，整理3組中低速磁浮列車懸浮系統相關數據如表1所示。

表1 磁浮列車懸浮系統數據

中低速磁浮列車懸浮系統有效度目標為A=0.999，tMTBF≥400 h，tMTTR≤6 h。根據式(1)～(15)得到約束條件：

(24)

取CLC最小值為：

CLC,min=Cos+Cdr+Σ(ailn (tMTBF)+bi)+

(25)

通過Matlab軟件得到tMTBF與CLC的仿真計算結果如圖5～6所示。

圖5 tMTBF與CLC關系仿真結果圖

圖6 仿真結果求導處理圖

通過圖5可以看出CLC與tMTBF的函數關系，并對tMTBF求導得到圖6，證明CLC存在最小值。3組數據計算結果如下：

第一組：當tMTBF=3 125 h，tMTTR=3.13 h時,CLC,min=352.13萬元。

第二組：當tMTBF=5 250 h，tMTTR=5.26 h時,CLC,min=597.64萬元。

第三組：當tMTBF=5 833 h，tMTTR=5.84 h時,CLC,min=871.33萬元。

在懸浮系統設計階段，以0.999的有效度為目標，每組懸浮系統的數據都可得到tMTBF及tMTTR，以在保證系統穩定性的同時達到最小的CLC。

由計算結果可以看出，先通過有效度進行維修性與可靠性的綜合權衡，再通過壽命周期費用模型進行計算，可得到最小CLC對應的維修性與可靠度關系，為系統設計提供數據支持。

4 結語

通過以可用性為目標的可靠性與維修性權衡分析，可使得系統的CLC達到最低。首先，根據可用性對系統的可靠性和維修性之間進行綜合平衡，以確保串聯系統在其整個運行期間足夠穩定；然后，對維修性及可靠性進行量化處理，建立系統壽命周期費用計算模型，計算出合理的可靠性與維修性，并使得系統的CLC最小；最后，以長沙中低速磁浮列車懸浮系統為例，利用Matlab軟件建立模型，進行仿真計算，從而獲得最佳方案。