關(guān)于向量與三角形“四心”一類(lèi)問(wèn)題的研究

龐嘉鵬

(遼寧省鐵嶺市高級(jí)中學(xué)三年25班 112000)

根據(jù)向量的數(shù)形特性,我們可以將三角形數(shù)量化,并通過(guò)運(yùn)算化簡(jiǎn)來(lái)解決與三角形“四心”有關(guān)的軌跡等問(wèn)題.本文研究一些有關(guān)向量與三角形的“四心”知識(shí)交匯的相關(guān)問(wèn)題，以幫助同學(xué)們更好地體會(huì)向量的獨(dú)特魅力.

一、向量在三角形“重心”中的應(yīng)用

三角形重心是三角形三條中線(xiàn)的交點(diǎn)，并且重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2∶1.在三角形重心的研究中，我們可以結(jié)合向量的中線(xiàn)形式或平行四邊形法則，用向量共線(xiàn)來(lái)研究動(dòng)點(diǎn)軌跡過(guò)三角形重心的問(wèn)題.

點(diǎn)評(píng)本題主要是通過(guò)運(yùn)用三角形法則和平行四邊形法則以達(dá)到向量共線(xiàn)的目的，再結(jié)合三角形重心定義，得出正確的結(jié)論.

點(diǎn)評(píng)本題巧妙地運(yùn)用了正弦定理，使該題等價(jià)變形為例1的形式，從而解決問(wèn)題，所以熟悉例1的題型是解決這類(lèi)問(wèn)題的基礎(chǔ).

二、向量在三角形“內(nèi)心”中的應(yīng)用

三角形的內(nèi)心是指三角形的三個(gè)內(nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，即三角形內(nèi)切圓的圓心.本類(lèi)問(wèn)題主要是通過(guò)單位向量和向量的平行四邊形法則構(gòu)造一個(gè)菱形，再利用菱形對(duì)角線(xiàn)就是角平分線(xiàn)和向量共線(xiàn)的性質(zhì)，從而解決了動(dòng)點(diǎn)軌跡過(guò)三角形內(nèi)心的問(wèn)題.

點(diǎn)評(píng)本題的關(guān)鍵是熟悉單位向量的形式，通過(guò)向量的平行四邊形法則構(gòu)造出一個(gè)菱形，再結(jié)合向量共線(xiàn)、內(nèi)心定義，從而解決這類(lèi)知識(shí)的交匯問(wèn)題.

點(diǎn)評(píng)本題結(jié)合了正弦定理，使該問(wèn)題實(shí)現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化，從而變成了例2的形式，問(wèn)題得以解決.所以熟練掌握例2的題型是解決這類(lèi)的關(guān)鍵.

點(diǎn)評(píng)本題形式比較復(fù)雜，不容易找到解決問(wèn)題的突破口，解決此類(lèi)問(wèn)題還是要等價(jià)轉(zhuǎn)化，這里兩次運(yùn)用了正弦定理，先后轉(zhuǎn)化為上述變式1例2的題型.

三、向量在三角形“垂心”中的應(yīng)用

三角形的垂心是三角形的三條高或其延長(zhǎng)線(xiàn)的交點(diǎn).利用向量研究直線(xiàn)或線(xiàn)段的垂直問(wèn)題是比較方便的，關(guān)于直線(xiàn)垂直問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為零的問(wèn)題，此時(shí)向量的優(yōu)越性就非常明顯地體現(xiàn)出來(lái).兩個(gè)向量垂直的充要條件可以把“垂直”的內(nèi)在含義淋漓盡致地體現(xiàn)在一個(gè)等式中，有效地回避了解析幾何中錯(cuò)綜復(fù)雜的位置關(guān)系的演化，而變?yōu)榧兇獾幕?jiǎn)運(yùn)算，通過(guò)這種思想來(lái)解決動(dòng)點(diǎn)軌跡過(guò)三角形垂心的問(wèn)題還是比較方便的.

再由三角形垂心的定義可得動(dòng)點(diǎn)P所在的軌跡一定經(jīng)過(guò)△ABC的垂心.

點(diǎn)評(píng)本題的切入點(diǎn)不易發(fā)現(xiàn)，首先運(yùn)用了倍角公式變形，發(fā)現(xiàn)一部分條件屬于正弦定理問(wèn)題，通過(guò)應(yīng)用正弦定理，使該題型轉(zhuǎn)化成例3的題型，所以掌握例3是解決過(guò)垂心的問(wèn)題的關(guān)鍵.

四、向量在三角形“外心”中的應(yīng)用

三角形的外心就是三角形三邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，三角形的三個(gè)頂點(diǎn)就在這個(gè)外接圓上，即三角形外接圓的圓心.用向量研究外心問(wèn)題，主要還是要結(jié)合外心定義和向量垂直問(wèn)題來(lái)共同解決動(dòng)點(diǎn)軌跡過(guò)外心的問(wèn)題.

點(diǎn)評(píng)本題難度適中，主要考察了垂直平分線(xiàn)定義、外心定義，通過(guò)三角形法則、平行四邊形法則達(dá)到向量共線(xiàn)的目的，使問(wèn)題得以解決.

在以上的問(wèn)題中，向量通常是幾何的形式出現(xiàn)的， 用向量作為工具對(duì)于解決幾何問(wèn)題有其獨(dú)到之處，將傳統(tǒng)幾何中的定性推理轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算化簡(jiǎn)的定量分析，避免了傳統(tǒng)幾何方法中繁瑣的推理及論證，充分體現(xiàn)出數(shù)學(xué)中數(shù)與形這二元結(jié)合、相輔相成的基本內(nèi)涵和本質(zhì)特征，為高中數(shù)學(xué)增加了活力.