數形結合一字訣

張書源

(河南省商丘市民權縣高級中學 476800)

“蠻干一身汗,妙想一揮扇”.解題不可只是下苦功夫,要動點腦筋、略施小計,才能使問題得以迎刃而解.數形結合也是如此,關鍵時多一點思考,解題就會勢如破竹,結論自然滾滾而來.

一、多一點識圖畫圖意識

評注由于所定義的函數是分段結構,從代數量上比較倒不如從幾何直觀上確切,這樣函數圖象的信息就得到了充分的展現.

二、多一點由數想形思維

例2 已知函數f(x)=|x2+3x|，x∈R，若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4個互異的實數根，則實數a的取值范圍是____．

解設y1=f(x)=|x2+3x|，y2=a|x-1|，在同一直角坐標系中作出y1=|x2+3x|，y2=a|x-1|的圖象如圖2所示．

評注新的背景,依舊是老的問題.在確定了圖象之后, 直接求出具體的根會得不償失,而采用數形結合將數化為形，從數形結合的角度將不等式從幾何直觀上給予全新的解釋,解法養眼，令人耳目一新.

三、多一點由形思數策略

例3 已知函數f(x)=2x，x∈R.

(1)當m取何值時，方程|f(x)-2|=m有一個解？兩個解？

(2)若不等式[f(x)]2+f(x)-m>0在R上恒成立，求m的取值范圍．

解(1)令F(x)=|f(x)-2|=|2x-2|，

G(x)=m，畫出F(x)的圖象如圖3所示.

由圖象看出，當m=0或m≥2時，函數F(x)與G(x)的圖象只有一個交點，即原方程有一個解；當0

評注從幾何直觀上給出了代數形式下的新結構,因此利用數形結合的轉化途徑,達到了幾何直觀性與對數嚴謹性的有機統一.數形結合,溝通了數學各個分支的聯系,似乎意料之外,著實情理之中,解法相當精彩.

四、多一點數形互化思考

評注優美解由函數的圖象即可突破, 試題的解法于“平凡”中顯“非凡”.由此可見,只要我們在學習中夯實基礎,深刻領悟看似“平常”的數學概念、方法,善于進行解題反思、總結經驗,所謂的高難題也就不足畏懼了.