如何利用函數(shù)的單調(diào)性解題

龐宇軒

(山東省青島第二中學 266100)

一、函數(shù)單調(diào)性的概念

1.函數(shù)單調(diào)性的概念

在函數(shù)f(x)中，假設f(x)中存在兩個自變量x1和x2且兩個自變量在區(qū)間V中，區(qū)間V在函數(shù)的定義域里，如果x1小于x2時，有f(x1)大于f(x2)，就說明函數(shù)f(x)在區(qū)間V上是單調(diào)減函數(shù)；反之如果x1小于x2時，有f(x1)小于f(x2)，就說明函數(shù)f(x)在區(qū)間V上是單調(diào)增函數(shù).

在研究函數(shù)的單調(diào)性時一定要在相應的定義域中討論，如果題目中沒有給出明確的區(qū)間和區(qū)間單調(diào)性，此時求解函數(shù)的單調(diào)性就沒有意義.

2.利用函數(shù)單調(diào)性的概念解題

分析由題意可知，x不等于0，因此該函數(shù)的定義域是負無窮到0和0到正無窮的并集.

當a<0時，仿照上述方法可得f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)內(nèi)分別是單調(diào)遞增的.

二、函數(shù)單調(diào)性的不同解題方法

高中數(shù)學在函數(shù)單調(diào)性這一模塊中主要的研究方法有：函數(shù)單調(diào)性的定義、導數(shù)的應用、復合函數(shù)的研究以及數(shù)形結合的方法.

函數(shù)定義：用這種方法做題一般是三個步驟，首先要在相應的單調(diào)區(qū)間中分別設定兩個不同的自變量；其次用兩個因變量來比較大小，確定兩個因變量的大小關系；最后運用函數(shù)單調(diào)性的定義在區(qū)間下得出結論.

復合函數(shù)求解：判斷復合函數(shù)的單調(diào)性首先應該確定定義域下，內(nèi)外層函數(shù)的函數(shù)單調(diào)性，然后應用復合函數(shù)單調(diào)性的復合法則來進行判定，在定義區(qū)間下，如果內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性相同，復合函數(shù)是單調(diào)增；相反的如果內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性不相同，復合函數(shù)是單調(diào)減.

數(shù)形結合：圖象是解決函數(shù)問題時比較常用的方法之一，利用圖象進行觀察，可以使問題變得更加直觀簡單.學生熟練掌握各種基本函數(shù)的具體圖象和其特點后，就可以直接通過對函數(shù)圖象的分析去解決相關問題.觀察函數(shù)的圖象，當自變量不斷變大時，此區(qū)間中該函數(shù)的函數(shù)值是不斷增加的，那么說明該函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞增的；同理，如果自變量不斷變大，區(qū)間中該函數(shù)的函數(shù)值是不斷減少的，那么說明該函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞減的.圖形的對稱性也是解題的關鍵點，學生可以利用兩個函數(shù)的對稱性和函數(shù)自身的對稱性來研究函數(shù)的單調(diào)性.無論如何學生學習這一部分內(nèi)容都需要認真觀察熟練掌握.

三、解決一些實際問題

1.求值

例1 設x，y為實數(shù)，且滿足

解由已知條件，可得：

故若設f(t)=t3+1997t，則上述條件即為：f(x-1)=f(1-y)=-1.

又易知函數(shù)f(t)=t3+1997t在R上是單調(diào)增函數(shù)，所以由上式有：x-1=1-y，即x+y=2.

2.解方程

例2 解方程(5x+3)3+x3+6x+3=0.

解原方程變?yōu)椋?5x+3)3+(5x+3)=-(x3+x).

設f(x)=x3+x，則原方程即為：f(5x+3)=-f(x).又f(-x)=-f(x)，從而原方程即為：f(5x+3)=-f(x).

3.求最值

例3 已知點B(0，6)，C(0，2)，試在x軸正半軸上求一點A，使得∠BAC最大.

4.比較大小

例4 已知a>1，且ax-logay>ay-logax，試比較x，y的大小.

解由條件得：ax+logax>ay+logay.

引入函數(shù)f(t)=at+logat，則上式即為：f(x)>f(y).

易知函數(shù)f(t)=at+logat在(0，+∞)上是增函數(shù)，所以x>y.

5.證明不等式

例5 設a∈R，求證：a8-a5+a2-a+1>0.

證明當a≤0或a=1時，不等式顯然成立.

當a>1時，函數(shù)y=ax在R上是增函數(shù)，所以a8>a5，a2>a，所以a8-a5+a2-a+1>0；

當0a5，1>a，又a8>0,

所以a8-a5+a2-a+1>0.

故對一切a∈R，不等式a8-a5+a2-a+1>0成立.

6.求參數(shù)范圍

例7 設函數(shù)

7.解不等式

例8 函數(shù)f(x)對任意a、b∈R，都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1，且當x>0時，f(x)>1.若f(a)=5，解不等式f(3m2-m-2)<3.

解析可以先根據(jù)單調(diào)性的定義來判定函數(shù)f(a+b)=f(a)+f(b)-1的單調(diào)性.

任取實數(shù)x1,x2,設x10，則f(x)>1.

f(x2)=f(x1+x)=f(x1)+f(x)-1>f(x1).

所以f(x)在R上是增函數(shù).

由f(4)=f(2)+f(2)-1=5，得到f(2)=3.所以f(3m2-m-2)<3=f(2).

運用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，要注意該函數(shù)的定義域，要明確相應定義域上的函數(shù)單調(diào)性，不然的話在做題過程中很容易出錯.

同時，在判斷函數(shù)單調(diào)性的過程中還可以通過觀察函數(shù)圖象的奇偶性的方法來進行.如果函數(shù)是奇函數(shù)，那么以原點為中心，關于原點對稱的區(qū)間內(nèi)該函數(shù)的單調(diào)性相同;如果函數(shù)是偶函數(shù)，那么關于原點對稱的區(qū)間內(nèi)該函數(shù)的單調(diào)性相反.

總之，函數(shù)知識一直是高中數(shù)學教學過程的重點和難點，函數(shù)知識的有效學習對于學生未來數(shù)學知識的學習過程具有重要的地位. 因此，加強高中函數(shù)知識的教學是十分必要的.充分掌握函數(shù)單調(diào)性的知識可以幫助學生更好地解決不等式，例如參數(shù)的不斷建立和方程參數(shù)的范圍.因此，掌握函數(shù)的單調(diào)知識是非常重要的.