數(shù)學(xué)方法在物理平衡中的應(yīng)用

王天煬 指導(dǎo)教師：李慶林

(山東省肥城市泰西中學(xué) 271600)

物體的平衡在物理學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，歷年來(lái)高考中經(jīng)常出現(xiàn).在解決平衡問(wèn)題時(shí)用到的數(shù)學(xué)知識(shí)很多，下面列舉幾例說(shuō)明.

一、函數(shù)解析法

利用函數(shù)解析法解題，要求寫(xiě)出所求物理量的表達(dá)式，然后根據(jù)表達(dá)式分析求解.

例1 一盞電燈重為G，懸于天花板上A點(diǎn)在電線(xiàn)O處系一細(xì)繩OB，使電線(xiàn)OA與豎直方向的夾角為β=30°，如圖1(a)所示，現(xiàn)保持β角不變，緩慢調(diào)整OB方向至OB線(xiàn)上拉力最小為止，此時(shí)OB與水平方向夾角α等于多少？OB繩中的最小拉力為多大？

解析在電線(xiàn)OA、OB、OC的拉力TA、TB、TC作用下，結(jié)點(diǎn)O處于平衡狀態(tài)，電燈亦處于平衡狀態(tài).結(jié)點(diǎn)O受力圖如圖1(b)，根據(jù)三力平衡特點(diǎn)，任意兩個(gè)力的合力一定與第三個(gè)力等值反向，故TA、TB的合力F=TC=G.根據(jù)正弦定理有：TB/sinβ=F/sin(90°+α-β)=G/sin(90°+α-β)，所以TB=Gsin/cos(β-α).

由此式可以看出，當(dāng)sin(90°+α-β)=1,即α=β=30°時(shí)，TB最小，且TB=Gsinβ=G/2.

二、圖象法

圖象貫穿于整個(gè)高中物理學(xué)習(xí)中，它把抽象、隱含的物理問(wèn)題還原成形象、直觀的物理模型，利用圖象可以將復(fù)雜的物理過(guò)程簡(jiǎn)捷化.

例2 如圖2(a)所示，質(zhì)量為m的球放在傾角為α的光滑斜面上，試分析檔板AO與斜面間的傾角β多大時(shí)，AO所受壓力最??？

解析根據(jù)牛頓第三定律，擋板對(duì)小球的壓力等于小球?qū)醢宓膲毫?故把小球作為研究對(duì)象.小球受到的重力產(chǎn)生兩個(gè)作用效果，一是對(duì)斜面有擠壓，一是對(duì)擋板有擠壓，根據(jù)作用效果，將重力進(jìn)行分解，其兩個(gè)分力為F1、F2，如圖2(b)所示.

重力和兩個(gè)分力構(gòu)成矢量三角形，如圖.在這個(gè)三角形中重力大小、方向保持不變，F(xiàn)1的方向保持不變，隨著F2的方向變化，其大小和F1的大小不斷發(fā)生變化，但始終和重力構(gòu)成三角形，故從變化的圖中可以看出，F(xiàn)1不斷變小，F(xiàn)2先變小后變大，當(dāng)F1和F2垂直時(shí)，F(xiàn)2具有最小值.即β=90°時(shí)，擋板所受壓力最小.且最小壓力F2min=mgsinα.

三、三角形相似法

三角形相似法是找出邊三角形和相應(yīng)的力三角形，根據(jù)相似三角形的知識(shí)解決問(wèn)題的一種方法.

例3 如圖3(a)，空氣中有兩個(gè)帶電小球A和B，B被長(zhǎng)為l的絕緣細(xì)線(xiàn)懸于固定點(diǎn)O，且被絕緣支架固定于O點(diǎn)的正下方，與O點(diǎn)的距離也為l,與A球相距d1，由于漏電，過(guò)一段時(shí)間后，A的帶電量變?yōu)樵瓉?lái)的4/9，B的帶電量變?yōu)樵瓉?lái)的2/3，試求此時(shí)A、B兩球間的距離.

帶入上式得d1/d2=3/2

即d2=2d1/3

四、極限法

極限法是物理中常用的一種方法，一般情況下先寫(xiě)出所求物理量的表達(dá)式，再根據(jù)數(shù)學(xué)方法求極值，把比較隱蔽的臨界現(xiàn)象挖掘出來(lái).

例4 木箱重為G，與地面的動(dòng)摩擦因素為μ，用斜向上的力F拉木箱使之沿水平地面勻速前進(jìn)，如圖4(a)，問(wèn)角α為何值時(shí)拉力F最小，這個(gè)最小值是多少？

解析對(duì)木箱進(jìn)行受力分析，重力G、支持力F1、拉力F、摩擦力F2如圖4(b).根據(jù)平衡條件有：

水平方向：Fcosα=F2=μF1,

豎直方向：F1+Fsinα=G

由上兩式得Fcosα+μFsinα=μG

F=μG/(μsinα+cosα)

令μ=tanβ

帶入得F=Gtanβ/(tanβ+cosα)=Gsinβ/cos(β-α)

從以上例子可以看出，我們?cè)谖锢斫虒W(xué)和學(xué)習(xí)中，要打破學(xué)科之間的界限，加強(qiáng)學(xué)科之間的滲透，這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力.