高考題中解答存在漏洞的四道題

武增明

(云南省玉溪第一中學 653100)

試題1 (2017年高考全國Ⅲ卷文科數(shù)學第19題)如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD.

(1)證明：AC⊥BD；

(2)已知△ACD是直角三角形，AB=BD，若E為棱BD上與D不重合的點，且AE⊥EC，求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比.

為了方便表述，現(xiàn)把命題者(官方)給出的解答照錄如下：

解(1)取AC的中點O，連接DO，BO，如圖1.

因為AD=CD，所以AC⊥DO.

又由于△ABC是正三角形，所以AC⊥BO.

從而AC⊥平面DOB，故AC⊥BD.

(2)連接EO.

由(1)及題設(shè)知∠ADC=90°，所以DO=AO.

在Rt△AOB中，BO2+AO2=AB2.

又AB=BD，所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2，

故∠DOB=90°.

上述解答，漏洞在哪里？漏在哪一步？漏什么？我們先看下面的結(jié)論1.

證明方法1(解析幾何法) 以直角頂點C為原點，邊CA所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，如圖2.

方法3(幾何畫板法) 借助幾何畫板，可畫出如圖3的圖，由圖直觀看到，點D不一定是斜邊AB的中點.

漏什么？這個漏洞怎么補？我們先看下面的結(jié)論2.

此結(jié)論通過作圖，如圖4，觀察圖形就可理解.

由上述結(jié)論2我們可看出，上述高考題的解答，漏了說明OB與OD的關(guān)系式或OB與AB的關(guān)系式或OD與AB的關(guān)系式這個條件.

這個漏洞可以說是很嚴重的，甚至致使了解答上的錯誤，也很容易誤導(dǎo)學生.當然這也許是命題者的疏忽，但是由于數(shù)學是一門非常嚴謹?shù)淖匀豢茖W，所以我們都要引以為戒！

許多學生和老師都認為這道高考題是道容易題，筆者認為是道難題，難在不容易嚴謹?shù)嘏袛喑鯡是BD的中點.這種觀點，可能命題者不同意，也可能命題者在命制這道高考題時，沒有意識到嚴格地判斷出E是BD的中點確實不容易.

試題2 (2017年高考北京卷文科數(shù)學第15題)已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5.

(1)求{an}的通項公式；

(2)求和：b1+b3+b5+…+b2n-1.

為了方便表述，現(xiàn)把命題者(官方)給出的解答照錄如下：

解(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，

因為a2+a4=10，所以2a1+4d=10，解得d=2.

所以an=2n-1.

(2)設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q，

因為b2b4=a5，所以b1qb1q3=9，解得q2=3.

所以b2n-1=b1q2n-2=3n-1，

(1)求f(x)的最小正周期；

為了方便表述，現(xiàn)把命題者(官方)給出的解答照錄如下：

為了方便表述，現(xiàn)把命題者(官方)給出的解答照錄如下：

由an=(1-an-1)an-1，得an=(1-an-1)(1-an-2)…(1-a1)a1>0.

所以Sn=a1-an+1， ①

命題者(官方)給出的解答過程中，有三處漏洞，甚至可以說是有三處錯誤，第一、二處漏洞是③處、④處的等號不應(yīng)該有，否則an+1=an=0.第三處漏洞是⑤處不應(yīng)該是“閉”，否則an=0.

另外，筆者有一些不成熟想法：雖然在證明不等式時，可以不考慮等號成立的條件，再說，“3>2”可以改寫為“3≥2”，“3=3”可以改寫為“3≥3”，但是由于數(shù)學是一門非常嚴謹?shù)淖匀豢茖W，所以我們在教學過程和學習數(shù)學的過程中都會很自然地想到等號成立的條件.在此高考試題的第(1)問和第(2)問待證不等式左邊的等號既然不成立，這個等號就不要加上去了，否則會誤導(dǎo)考生，甚至會影響考生的前途和命運.