新課標高考中導數內容常考題型拙見

胡彩云

(廣西馬山縣馬山中學 530600)

我們都知道在高中階段，導數已成為研究函數性質的一種重要工具,尤其是利用導數探討函數的單調性來解決相關的函數極值、最值、含參數以及不等式等問題，一直是高考命題的一大熱點.現將常考的題型做一個小歸納.

一、導數的概念及其幾何意義

函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)的幾何意義是在曲線y=f(x)上點(x0,f(x0))處的切線的斜率．相應地，切線方程為y-y0=f′(x0)(x-x0)．

導數的幾何意義是每年高考的必考內容，考查題型既有選擇題、填空題，也常出現在解答題的第(1)問中，難度偏小，屬中、低檔題．常見的命題角度有：(1)求切線方程；(2)求切點坐標；(3)根據參數切線的性質求參數．

(2)已知直線l為曲線f(x)=x3+x-16的切線，且經過原點，則它們的切點坐標為____.

(3)若曲線y=f(x)=lnx+ax2(a為常數)不存在斜率為負數的切線，則實數a的取值范圍是( ).

C．(0，+∞) D．[0，+∞)

二、求函數的單調性或用單調性解決簡單的極值最值問題

這類問題要求考生會正確掌握求導公式和求導法則，理解并掌握用導數判斷函數單調性的方法以及求極值、最值的方法步驟.函數的極值(最值)是每年高考的必考內容，題型既有選擇題、填空題，也有解答題，難度適中，為中、高檔題．常見的命題角度有：(1)知圖判斷函數極值(最值)；(2)已知函數求極值(最值)；(3)已知函數極值(最值)情況求參數值(范圍)．而所有這些問題的解決，都依賴于用導數研究函數的單調性.其相關結論是：若f(x)函數在區間(a，b)上可導,則在區間(a，b)上f(x)遞增?f′(x)≥0；f(x)遞減?f′(x)≤0.

例2 (1)函數f(x)=x+lnx的單調遞增區間為____.

(2)(2017課標2，理11)若x=-2是函數f(x)=(x2+ax-1)ex-1的極值點，則f(x)的極小值為( ).

A.-1 B.-2e-3C.5e-3D.1

(3)(2017課標3，理11)已知函數f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零點，則a=____.

三、利用導數解決不等式的證明問題

利用導數研究函數單調性來證明不等式 ，在高考的壓軸題中是最常見的也是難度較大的問題.在證明的過程中，需綜合考慮不等式相關的特點，然后通過恒等變形不等式或構造出函數，接著利用導數證明構造出的函數的單調性達到證明不等式的目的.常見的有：一是直接構造函數,然后用導數證明該函數的增減性；二是先把不等式變形后再構造函數,然后利用導數證明該函數的單調性,達到證明不等式的目的.三是轉化為用導數求函數的最值來證明不等式.

例3 證明：當x>0時，x-ln(1+x)>0.

故有f(x)>f(0)=0即x-ln(1+x)>0.

例4 證明：當x>0時，x>sinx.

分析先把不等式變形為x-sinx>0，就轉化為例3類的問題，用同樣的方法即可證明.

例5 證明：當x≠0時，ex-x>1.

證明設f(x)=ex-x-1(x≠0)，則f′(x)=ex-1.

令f′(x)=0得到x=0，且當x<0時，f′(x)<0;當x>0時，f′(x)>0;

所以f(x)在(-∞,0)上單調遞減，在(0,+∞)上單調遞增.x=0為極小值點，也是最小值點.即f(x)>f(0)=0，ex-x>1.

當然，在利用導數證明不等式問題中，還有一類難度較大的題型，那就是構造函數，證明數列不等式問題，在這里就不做闡述和舉例.

四、不等式恒成立問題的處理方式

所謂不等式恒成立，其實就是指函數無論取最大值或最小值時不等式都能成立.通過證明不等式的恒成立問題，將其轉化成解決函數最值的問題，就可以利用其證明不等式是否成立.而要證明不等式的恒成立就會涉及參數的證明問題，通過變量分離，證明某個值大于或小于函數值，就可以證明不等式恒成立.也就是往往把變量分離后可以轉化為m>f(x) (或m

而解決這類問題的策略常有：

①首先要構造函數,利用導數研究函數的單調性,求出最值,進而得出相應的含參不等式,從而求出參數的取值范圍.

②分離變量,構造函數,直接把問題轉化為函數的最值問題.

當然，在高中階段，導數相關的題型還有很多，比如存在性問題，實際應用問題等等，高考考查的題目靈活多變，常考常新.雖然在2018年理科高考壓軸題中，考查不等式問題的難度稍有下降，但是還是會常考不衰.這類題目的解答過程中，教師應引導學生選擇正確的切入點，構建出不等式，只有這樣，才能準確地利用導數知識證明不等式是否成立.因此，在實際的教學中，教師必須組織、引導學生學好導數的知識，不僅為高考考一個好分數，更要為日后的學習微積分知識奠定堅實的基礎.