數學語言轉換在解析幾何中的應用

王 欣

(北京工業大學附屬中學 100022)

前蘇聯教育學家、心理學家瓦季姆·克魯捷茨基 (Вадим Андреевич Крутецкий)指出，數學閱讀是一種從書面數學語言中獲得意義的心理活動過程,是包含感知、理解、記憶等一系列心理活動以及分析、綜合、推理、判斷、歸納、演繹等一系列思維活動的總和.因此數學閱讀能力可以定義為：學生通過在數學文字語言、圖形圖表語言、符號語言所呈現的信息中，提取數學信息，并能把這些信息同已有的數學知識相聯系，從而分析出數學語言表達的含義，進而借助數學語言之間的轉譯解決問題的一種能力.對數學的學習就是對數學語言的學習，語言是思維的載體，借助數學語言之間的轉換，才能獲取信息，訓練思維能力，解決問題.以解析幾何為例，解析幾何的核心是用代數方法來研究幾何問題，在這一過程中，就要用到數學語言之間的轉譯，即把問題中的文字語言轉譯為圖形語言，再把圖形語言轉譯為符號語言，最終利用符號化的坐標(代數方法)，完成幾何問題的求解.而向量在實現數學語言的轉譯過程中，發揮了橋梁的作用.向量本身就是一種符合化的語言，它既能反應圖形的幾何特征，其坐標表示又能方便進行代數運算，因此向量是解決解析幾何問題過程中，實現用代數方法解決幾何問題的重要工具.

一、問題呈現與課堂實錄

(3)以AB為直徑的圓過原點O，求k的值；

(4)橢圓上是否存在一點P，使四邊形PAOB為平行四邊形？

(5)直線l與y軸交于N點，若|AN|=|BF1|,求k的值.

生1：不對，M、A、B三點應該在一條直線上，并且AM的長度與MB的長度是一樣的，因此M是線段AB的中點.

師：回答的非常好.這位同學抓住了向量的兩個要點：方向和長度，向量相等說明方向相同，模相等.這個解析幾何問題的條件是以向量的語言表述的，這位同學幫助我們把向量語言對問題的描述轉化為了幾何圖形的性質，即M為AB的中點.我們知道解析幾何的核心是用代數方法來研究幾何問題，現在我們已經挖掘出了這個問題的幾何特征，那么我們應該如何用代數方法，即坐標來描述M為AB中點這一結果呢？

生2：設出A、B兩點的坐標，聯立方程，利用韋達定理求出中點M的坐標.

生3：可以用點差法，構造OM的斜率.

師：回答的非常好.這個問題我們借用向量這個工具，實現了幾何問題代數化.接下來我們看問題(2),向量條件說明了什么？

生4：說明了直線OA與直線OB是垂直的.

師追問：你怎么判斷的？

生4：我畫了向量加法的圖，發現了平行四邊形的對角線是相等的,說明是矩形(并上黑板進行了演示).

師：也就是說你用了向量加法的平行四邊形法則，發現了對角線相等，從而平行四邊形就是一個矩形這一幾何特點.那么接下來我們要怎樣利用OA與OB垂直這一結論呢？

生5：斜率乘積等于-1！

生6：點乘等于0比斜率乘積是-1好，你怎么知道有斜率？

師：向量的數量積為0確實避免了討論斜率是否存在這一問題.不知道同學們有沒有發現，我們通過對已知條件中的向量語言加以分析，發現了幾何性質，但是接下來的處理我們又重新轉回了向量語言？我們的工作豈不是白做了？(微笑)

生7：不是這樣啊，接下來我們要用坐標，用韋達定理計算啊.

師：回答的非常漂亮.我們一直強調，解析幾何是用代數(坐標)方法來研究幾何問題，而向量運算，恰好既有向量表達式又有坐標表達式，從而很好地搭建了代數與幾何之間的橋梁，是一個很好的工具.希望同學們可以好好利用這個工具.那么接下來我們看第(3)個問題.

生8(搶著說)：咦？這是一個問題啊.

師：具體解釋一下.

生8：第(3)個問題與第(2)個問題是一樣的問題.以AB為直徑的圓過點O，不還是說明直線OA與OB是垂直的，跟上一個問題是一樣的啊.

師：說對了.但是這兩個問題在已知條件的敘述上是不一樣的.

生9：(3)的說法更好理解.

師：(笑)但是(2)的說法更簡潔啊！(3)是用文字語言來描述一個幾何特征，而(2)是用符號語言在描述這個幾何特征，我們可以發現對同一個問題的描述還是符號語言更能體現我們數學的簡潔美.接下來我們看問題(4),還是用文字語言來表述的幾何性質，我們應該如何分析？

生10：(似乎受到了解決前面問題用向量方法的啟發)，向量相等解決吧？

師：什么向量相等？

師：看了這位同學已經學會了如何用向量語言來描述幾何圖形的性質了，有沒有其他形式的向量表示來解釋平行四邊形這個條件？

師：嗯！這樣來翻譯平行四邊形這個條件，對這個問題而言，確實比較簡潔，韋達定理直接就用上了.非常好.看來我們對于向量這個工具的運用已經有了一定的建樹.那么我們看下一個問題，大家怎么處理？我看有些同學皺眉頭，我知道你們是最不愿意處理距離問題的，公式太麻煩，計算量還大，不一定算得對，是這樣嗎？

很多學生笑.

師：那么有了我們前面幾個問題的基礎，看看我們同學有沒有什么方法可以成功避免去求距離？

生12：用向量的模相等做.

生13：(立刻反對)模相等不還是長度相等.

師：說的是.我們不能為了用向量而用向量，有沒有什么方法躲開求向量的模？

生14：其實就是向量直接相等就可以了.

師：為什么？

生14：因為共線啊，四個點在一條直線上，所以方向相同的話，模相等就是向量直接相等.

師：說的非常好，成功地將幾何性質用向量語言準確地描述出來了，距離相等轉化為了向量的坐標對應相等，實現了幾何問題的代數化.

畫圖、計算、總結部分此處略……

二、歸納總結與方法提煉

本節課的教學設計，以向量這個工具為媒介，通過符號語言、圖形語言與文字語言之間的轉化，實現了幾何與代數之間的轉化，使學生更加深刻地體會了解析幾何的本質.

以2010年北京高考題為例：

還有很多類似的，以向量為工具，實現幾何問題代數化的例子.譬如A、P、B三點共線問題，用向量語言翻譯，有如下可能：(1)存在非零實數λ，使得AP=λPB;(2)OP=tOA+(1-t)OB;(3)|PA||PB|=PA·PB.

歸納一下高中階段解析幾何中，一些可以被向量語言來翻譯的幾何模型如下：

向量條件幾何關系AM→=MB→;OM→=12(OA→+OB→) M為線段AB中點OA→·OB→=0 點O在以AB為直徑的圓上(或∠AOB為直角)OA→·OB→<0且OA→≠λOB→點O在以AB為直徑的圓內(或∠AOB為鈍角)OA→·OB→>0且OA→≠λOB→點O在以AB為直徑的圓外(或∠AOB為鈍角)AP→=λPB→ 或OP→=tOA→+(1-t)OB→或|PA→||PB→|=PA→·PB→A、P、B三點共線PQ→·AB→=0已知PA=PB的等腰?APB,取AB的中點Q,|PA|=|PB|AP→=QB→;或AB→=AP→+AQ→四邊形APBQ是平行四邊形AB→=AP→+AQ→且AQ→·AP→=0;或|AP→+AQ→|=|AP→-AQ→| 四邊形APBQ是矩形AB→=AP→+AQ→且AB→·PQ→=0四邊形APBQ是菱形OA→·OB→=12OC→·OD→S△AOB=12SΔCOD

運用向量法解決解析幾何問題，并沒有削弱坐標法解決解析幾何問題的主體地位，因為向量運算的本質仍然是坐標運算.向量法在幾何圖形性質的表述上更加簡潔和直接，向量兼具“數”和“形”的雙重特點，借助向量在解決與共線、垂直、長度、角度等問題時，可以減少運算量，使得幾何與代數的聯系更加自然和緊密.

從數學本質的角度看，數學學習的過程就是發展數學能力的過程，也就是數學素養培養和構建的過程.

從信息加工的理論看，要完成上述數學學習的過程，就要完成數學信息提取與數學信息加工這兩個過程.而數學信息的呈現是通過不同的數學語言來實現的，也就是說數學語言是數學內容和數學思維的載體.因此數學學習過程的實質，就是對數學語言的學習，而對數學語言的學習過程，又培養了數學思維，獲得了解決問題的方法，發展了數學能力.

數學語言共分三種，文字語言、圖形圖表語言、符號語言，其中文字語言通俗易懂，圖形語言直觀形象，符號語言簡潔抽象，各有所長.數學把現實生活中的量的關系、量的變化、形的特征抽象成為一個一個的數學模型，并把它們符號化，所以對數學語言的把握就要把符號化的數學知識轉譯成通俗易懂的文字語言或者是直觀形象的圖形語言.在教學過程中，教師要引導學生在這三種語言之間進行切換，轉譯，從而達到重新認識數學模型，或者構建新的數學模型的目的，獲得新的數學知識、解決新的問題.