因式分解常見錯誤分析

須宏明

(上海市楊泰實驗學校 201901)

一、對分解因式的意義理解不正確

例1 把(2a-b)2+8ab分解因式.

錯解原式=4a2+b2-4ab+8ab=4a2+b2+4ab.

錯解分析結果不是幾個整式積的形式，而是一個多項式，沒有達到分解因式的目的.

正解原式=4a2+b2-4ab+8ab=4a2+b2+4ab=(2a+b)2.

二、提公因式后漏項出錯

例2 把4x3y2-6x2y+2xy分解因式.

錯解原式=2xy(2x2y-3x).

錯解分析1作為系數可以省略，但如果它作為因式分解后單獨的一項，則不能漏掉.

正解原式=2xy(2x2y-3x+1).

三、分解因式的結果不整理

例3 把4ab(a+b)2-6a2b(a+b)分解因式.

錯解原式=2ab(a+b)[2(a+b)-3a].

錯解分析因式[2(a+b)-3a]沒有進行化簡整理，對分解后的因式還要進行計算.

正解原式=2ab(a+b)[2(a+b)-3a]=2ab(a+b)[2a+2b-3a]

=2ab(a+b)(-a+2b)=-2ab(a+b)(a-2b).

四、符號錯誤

例4 把6(a-b)3-12(b-a)2分解因式.

錯解原式=6(a-b)3+12(a-b)2=6(a-b)2[(a-b)+2]=6(a-b)2(a-b+2)

錯解分析對于式子 (y-x)n，當變換被減數y與減數x的位置時，括號前的符號是否需要改變，要看指數n，當n是奇數時，(y-x)n=-(x-y)n，也就是說，當n是奇數時，括號前的符號要改變，當n是偶數時，則不需要改變.

正解原式=6(a-b)3-12(a-b)2=6(a-b)2[(a-b)-2]=6(a-b)2(a-b-2).

五、分解不徹底

分解不徹底是分解因式時最容易犯的錯誤，應注意要把每個因式分解到不能再分解為止.

1.有系數公因數但沒有提出來

例5 把4a2-16分解因式.

錯解原式=(2a+4)(2a-4).

錯解分析先用平方差公式分解，很容易造成結果沒有分解到底.

正解原式=4(a2-4)=4(a+2)(a-2).

2.還可以用平方差或完全平分公式等再分解

例6 把a4-2a2+1分解因式.

錯解原式=(a2-1)2.

錯解分析沒有對因式a2-1利用平方差公式再分解.

正解原式=(a2-1)2=[(a+1)(a-1)]2=(a+1)2(a-1)2.

六、不會先分組再分解

例7 把9a2-b2-4b-4分解因式.

錯解原式=(9a2-b2)-(4b+4)=(3a+b)(3a-b)-4(b+1).

錯解分析學生看不出-b2-4b-4提取負號后b2+4b+4是一個完全平方式.

正解原式=9a2-(b2+4b+4)=(3a)2-(b+2)2=(3a+b+2)(3a-b-2).

七、乘法公式用錯

在利用公式x2+px+q=(x+a)(x+b)進行十字相乘法時常發生錯誤.

1.把a，b搞錯

例8 把(x2+6)2-25x2分解因式.

錯解原式=(x2+6+5x)(x2+6-5x)

=(x2+5x+6)(x2-5x+6)

=(x+1)(x+6)(x+1)(x-6).

錯解分析6=1×6，但1+6≠5；1+(-6)=-5，但1×(-6)≠-5.

正解原式=(x2+6+5x)(x2+6-5x)

=(x2+5x+6)(x2-5x+6)

=(x+2)(x+3)(x-2)(x-3).

2.型如x2+pxy+qy2的二次三項式，分解后把字母y漏掉

例9 把x2+9xy-36y2分解因式.

錯解原式=(x-3)(x+12).

錯解分析學生注意了字母x的二次三項式，而疏忽了字母y.

正解原式=(x-3y)(x+12y).

八、不會利用“整體”思想

例10 把(y2-4y)(y2-4y+1)-6分解因式.

錯解原式=y4-4y3+y2-4y3+16y2-4y-6.

錯解分析利用乘法展開后，分組更加困難，造成做不下去而發生錯誤.

正解原式=(y2-4y)2+(y2-4y)-6=(y2-4y+3)(y2-4y-2)

=(y-1)(y-3)(y2-4y-2).

總之，因式分解的錯誤原因很多，要認真審題，牢記分解方法，并能靈活運用.